n维线性空间的基与向量的坐标

621
线性代数讲稿
α = x1α 1 + x 2 α 2 + L + x n α n = [α 1
α2
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ L αn ] ⎢ 2 ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦
成立，则称这组有序数 x1，x2，……，xn 为元素α 在基α1 ，α2 ，……，αn 下的坐 标，记作(x1，x2，……，xn )T，称为坐标向量．
⎡1 2⎤ 2.例子：V = R2×2 中的元素 α = ⎢ ⎥ ，则 ⎣3 4⎦ ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ + 2⎢ + 3⎢ + 4⎢ α=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = [E 1 ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎡1 ⎤ ⎢ 2⎥ E4 ] ⎢ ⎥ ， ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4⎦
讨论所成矩阵的秩： A = [X 1
⎡1 ⎢1 X3]= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1
X2
1 − 1⎤ ⎡1 ⎢0 ⎥ 0 0⎥ →⎢ ⎢0 1 2⎥ ⎢ ⎥ 0 3⎦ ⎣0
0 0⎤ ⎡1 ⎥ ⎢0 1 − 1⎥ →⎢ ⎢0 1 2⎥ ⎥ ⎢ 0 3⎦ ⎣0
0 0⎤ 1 − 1⎥ ⎥ ， 0 3⎥ ⎥ 0 0⎦
即 R( A ) = 3，所以 X1 , X2 , X3 线性无关，从而α1 , α 2 , α 3 也线性无关． 四、基变换与坐标变换 1.同一线性空间中，两个（实为两套）基之间的变换矩阵称为过渡矩阵—— 设线性空间 V 中，有两个基α i 与β i ，i = 1, 2, ……, n ； 其关系写成矩阵式：
线性代数讲稿
§6.2 n 维线性空间的基与向量的坐标
一、线性空间的基与维数[P.185] 若在线性空间 V 中存在 n 个线性无关的向量α1 ，α2 ，……，αn 使得 V 中的任 何元素α 都可由它们表出，则称 α1 ，α2 ，……，αn 为 V 的一个基，基所含向量的 个数 n 称为线性空间 V 中的维数，记为 dimV，并称 V 为 n 维线性空间． 1.简单的例子 ① 二维线性空间 R2（平面），常用基向量 i = ( 1, 0 )，j = ( 0, 1 ) ． ② 三维线性空间 R3，常用基向量 i = ( 1, 0, 0 )，j = ( 0, 1, 0 ) ，k = ( 0, 0, 1 ) ． ③ n 维线性空间 Rn，常用基向量 e1 = ( 1, 0, …, 0 )，j = ( 0, 1, …, 0 ) ，……，k = ( 0, 0, …, 1 ) ． 2.抽象的例子 ① V 的元素是二阶方阵 A = ( a i j )2×2 ，方阵的元素 a i j 是实数 R ；F 为实数 ⎡0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡1 0⎤ 域 R ．可用基 E1 = ⎢ ， E2 = ⎢ ， E3 = ⎢ ， E4 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ； ⎣0 0 ⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ 可知为 4 维线性空间；记 R2×2 ． ② V 的元素是所有实系数多项式，F 为 R ．可用基 1，x，x2，……，xn，……； 为无限维线性空间． 3.有关定理 ① 子空间的维数 dimW ≤ 母空间的维数 dimV ． ② 向量组 α1 ，α2 ，……，αn 的生成子空间的维数等于该向量组的秩． dimL( α1 ，α2 ，……，αn ) = R{ α1 ，α2 ，……，αn } ． ③ V 中向量组 α1 ，α2 ，……，αn 可以作为基的充分必要条件，是 V = L( α1 ，α2 ，……，αn ) ． 二、向量在基下的坐标 1.定义[P.188]：设 α1 ，α2 ，……，αn 为 n 维线性空间 V 的一个基，若取 α ∈V，总有且仅有一组有序数 x1，x2，……，xn 使得
[β1
其中
β 2 L β n ] = [α 1 ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a n1 a12 a 22
α2 L αn ] A ，
⎥ ； O M ⎥ ⎥ L a nn ⎦
也可写成向量的表出式：
⎧ β 1 = a11α 1 + a 21α 2 + L + a n1α n ⎪β = a α + a α + L + a α ⎪ 2 n2 n 12 1 22 2 ， ⎨ M ⎪ ⎪ ⎩β n = a1n α 1 + a 2 n α 2 + L + a nn α n
]
[
x2
⎡1⎤ ⎢0 ⎥ x3 ⎢ ⎥ , α3 = 1 x ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦
]
[
x2
⎡− 1⎤ ⎢0⎥ x3 ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎣3⎦
]
（化为在 R4 中）讨论下面三个坐标向量的线性相关性．
⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡− 1⎤ ⎢1⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ X1 = ， X2 = ， X3 = ⎢ ⎥ ， ⎢0 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1⎦ ⎣0 ⎦ ⎣3⎦
E2
E3
即α的坐标为(1,2,3,4)T ． 3.性质：设α、β∈V，λ∈F ；α 的坐标为( x1，x2，……，xn )T，
β 的坐标为( y1，y2，……，yn )T，则
① α + β 的坐标为(x1+ y1，x2+ y2，……，xn+ yn )T ； ② λα 的坐标为(λ x1 ，λ x2 ，……，λ xn )T ． 三、线性空间的同构 1.定义[P.190]：设 V1 与 V2 是两个线性空间，若在 V1 与 V2 的元素之间存在 一个一一对应关系，且该对应关系保持两线性空间各自的线性组合关系一一对 应，则称线性空间 V1 与 V2 同构． 2.同构的一般例子：① 任何 n 维称线性空间 Vn 都与 Rn 同构；② 维数相同 的线性空间都同构． 3.同构关系的意义：讨论 Vn 中向量之间的关系，转化为讨论 Rn 中向量（主 要是坐标）之间的关系． 4.应用举例[P.190 例 6]：由次数不超过 3 的全部多项式所构成的线性空间 R[x]3 中，有三个向量
α1 = x 3 + x + 1 ， α 2 = x 2 + 1 ， α 3 = 3x 3 + 2 x − 1 ，
讨论这三个向量的线性关系． 解：取 R[x]3 的一个基 1，x，x2，x3 则
622
线性代数讲稿
α1 = 1 x
[
x2
⎡1 ⎤ ⎢1 ⎥ x3 ⎢ ⎥ , α2 = 1 x ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
矩阵就称为由基α i 到β i 的过渡矩阵． 2.同一线性空间中的同一向量，在两个基下的坐标之间的变换，可借助于过 渡矩阵完成 —— 作业（P.193）：
623