2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+
D ．236(3)9x x -=-
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．（3分）一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6
B ．3.8或3.2
C ．3.6或3.4
D ．3.6或3.2
5．（3分）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实
数k 的取值范围是( ) A ．1
4
k <
B ．14
k
C ．4k >
D ．1
4
k
且0k ≠ 6．（3分）如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k
y x
=
的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
7．（3分）已知关于x 的分式方程422x k
x x
-=
--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<<
B ．8k >-且2k ≠-
C ．8k >- 且2k ≠
D ．4k <且2k ≠-
8．（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )
A ．4
B ．8
C 13
D ．6
9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买
A 、
B 、
C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不
超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种
B ．15种
C ．16种
D ．14种
10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且2AF BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、
EG ．则下列结论：
①45ECF ∠=︒； ②AEG ∆的周长为2
(1a ； ③222BE DG EG +=；
④EAF ∆的面积的最大值是21
8
a ；
⑤当1
3
BE a =时，G 是线段AD 的中点．
其中正确的结论是( )
A ．①②③
B ．②④⑤
C ．①③④
D ．①④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数12
y x =
-中，自变量x 的取值范围是 ．
13．（3分）如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．
14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为 ．
15．（3分）若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->⎧⎨-<⎩
有2个整数解，则a 的取值范围是 ．
16．（3分）如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=︒，则ACB ∠= ︒．
17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm ．
18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为 ．
19．（3分）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3
5
BE a =，连接AE ，
将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 ． 20．（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以
22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 ．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：22
169
(2)11
x x x x x -++-÷+-，其中3tan303x =︒-． 22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点(5,2)A 、(5,5)B 、(1,1)C 均在格点上． （1）将ABC ∆向左平移5个单位得到△111A B C ，并写出点1A 的坐标；
（2）画出△111A B C 绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的△221A B C ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△111A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留)π．
23．（6分）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，B (3,0)，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．
24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求ME 的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26．（8分）如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．
（1）BE 与MN 的数量关系是 ．
（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m ，n 的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克(x 为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出
2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(0)t >． （1）线段CN = ；
（2）连接PM 和MN ，求PMN ∆的面积s 与运动时间t 的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当PMN ∆是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+
D ．236(3)9x x -=-
【解答】解：A 、22422a a a =，正确；
B 、826x x x ÷=，故此选项错误；
C 、222()2x y x xy y -=-+，故此选项错误；
D 、236
(3)27x x -=-，故此选项错误；
故选：A ．
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B ．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个； 第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个； 所以最多有：21317+++=（个)．
故选：B ．
4．（3分）一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6
B ．3.8或3.2
C ．3.6或3.4
D ．3.6或3.2
【解答】解：从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，
2x ∴=或1x =，
当2x =时，这组数据的平均数为23445
3.65
++++=；
当1x =时，这组数据的平均数为13445
3.45
++++=；
即这组数据的平均数为3.4或3.6， 故选：C ．
5．（3分）已知关于x 的一元二次方程22
(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实
数k 的取值范围是( ) A ．1
4
k <
B ．14
k
C ．4k >
D ．1
4
k
且0k ≠ 【解答】解：关于x 的一元二次方程22
(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，
∴△22[(21)]41(2)0k k k =-+-⨯⨯+，
解得：14
k
． 故选：B ．
6．（3分）如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k
y x
=
的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【解答】解：四边形ABCD 是菱形，
BA AD ∴=，AC BD ⊥，
120ABC ∠=︒，
60BAD ∴∠=︒， ABD ∴∆是等边三角形，
点(1,1)B -，
OB ∴=，
tan30OB
AO ∴=
=︒
直线BD 的解析式为y x =-，
∴直线AD 的解析式为y x =，
6OA =
∴点A 的坐标为，
点A 在反比例函数k
y x
=
的图象上，
3k ∴==，
故选：C ．
7．（3分）已知关于x 的分式方程422x k
x x
-=
--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<< B ．8k >-且2k ≠-
C ．8k >- 且2k ≠
D ．4k <且2k ≠-
【解答】解：分式方程
422x k
x x
-=
--， 去分母得：4(2)x x k --=-， 去括号得：48x x k -+=-， 解得：8
3
k x +=
， 由分式方程的解为正数，得到8
03
k +>，且823k +≠， 解得：8k >-且2k ≠-． 故选：B ．
8．（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )
A ．4
B ．8
C 13
D ．6
【解答】解：四边形ABCD 是菱形，
6OA OC ∴==，OB OD =，AC BD ⊥， 12AC ∴=， DH AB ⊥，
90BHD ∴∠=︒， 1
2
OH BD ∴=，
菱形ABCD 的面积11
124822
AC BD BD =⨯⨯=⨯⨯=，
8BD ∴=， 1
42
OH BD ∴==；
故选：A ．
9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买
A 、
B 、
C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不
超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种
B ．15种
C ．16种
D ．14种
【解答】解：设购买A 种奖品m 个，购买B 种奖品n 个， 当C 种奖品个数为1个时， 根据题意得102030200m n ++=， 整理得217m n +=，
m 、n 都是正整数，0217m <<，
1m ∴=，2，3，4，5，6，7，8；
当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得102060200m n ++=， 整理得214m n +=，
m 、n 都是正整数，0214m <<，
1m ∴=，2，3，4，5，6； ∴有8614+=种购买方案．
故选：D ．
10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、
EG ．则下列结论：
①45ECF ∠=︒； ②AEG ∆的周长为2
(1)2
a +； ③222BE DG EG +=；
④EAF ∆的面积的最大值是21
8
a ；
⑤当1
3
BE a =时，G 是线段AD 的中点．
其中正确的结论是( )
A ．①②③
B ．②④⑤
C ．①③④
D ．①④⑤
【解答】解：如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH ．
BE BH =，90EBH ∠=︒，
2EH BE ∴，
2AF BE =， AF EH ∴=，
45DAM EHB ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒， 135FAE EHC ∴∠=∠=︒， BA BC =，BE BH =，
AE HC ∴=，
()FAE EHC SAS ∴∆≅∆，
EF EC ∴=，AEF ECH ∠=∠， 90ECH CEB ∠+∠=︒， 90AEF CEB ∴∠+∠=︒， 90FEC ∴∠=︒，
45ECF EFC ∴∠=∠=︒，故①正确，
如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，则()CBE CDH SAS ∆≅∆，
ECB DCH ∴∠=∠， 90ECH BCD ∴∠=∠=︒， 45ECG GCH ∴∠=∠=︒， CG CG =，CE CH =，
()GCE GCH SAS ∴∆≅∆，
EG GH ∴=，
GH DG DH =+，DH BE =， EG BE DG ∴=+，故③错误， AEG
∴∆的
周
长
2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a =++=+=++=++=+=，故②错误，
设BE x =，则AE a x =-，AF =，
222222*********
()()()222244228
AEF S a x x x ax x ax a a x a a ∆∴=
-⨯=-+=--+-=--+， 1
02-<， 12x a ∴=时，AEF ∆的面积的最大值为21
8a ．故④正确，
当13BE a =时，设DG x =，则1
3
EG x a =+，
在Rt AEG ∆中，则有22212
()()()33
x a a x a +=-+，
解得2
a
x =，
AG GD ∴=，故⑤正确，
故选：D ．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为 8310⨯ ．
【解答】解：8300000000310=⨯． 故答案为：8310⨯． 12．（3分）在函数2
y x =
-中，自变量x 的取值范围是 2x > ．
【解答】解：由题意得，20x ->， 解得2x >． 故答案为：2x >．
13．（3分）如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 (AB ED BC DF ==或AC EF =或AE CF =等） ，使Rt ABC ∆和
Rt EDF ∆全等．
【解答】解：添加的条件是：AB ED =， 理由是：在ABC ∆和EDF ∆中
B D
AB ED
A DEF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
()
ABC EDF ASA
∴∆≅∆，
故答案为：AB ED
=．
14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为
2
5
．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，
∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为
82
205
=，
故答案为：
2
5
．
15．（3分）若关于x的一元一次不等式组
10
20
x
x a
->
⎧
⎨
-<
⎩
有2个整数解，则a的取值范围是68
a
<．
【解答】解：解不等式10
x->，得：1
x>，
解不等式20
x a
-<，得：
2
a
x<，
则不等式组的解集为1
2
a
x
<<，
不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
则34
2
a
<，
解得68
a
<，
故答案为：68
a
<．
16．（3分）如图，AD是ABC
∆的外接圆O的直径，若40
BAD
∠=︒，则ACB
∠=50︒．
【解答】解：连接BD ，如图，
AD 为ABC ∆的外接圆O 的直径，
90ABD ∴∠=︒，
90904050D BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 50ACB D ∴∠=∠=︒．
故答案为50．
17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 10 cm ．
【解答】解：1
2
S l R =，
∴1
151502
l π=，解得20l π=， 设圆锥的底面半径为r ，
220r ππ∴=，
10()r cm ∴=．
故答案为：10．
18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为 45 ．
【解答】解：如图，连接DE ，作点D 关于直线AE 的对称点T ，连接AT ，ET ，CT ．
四边形ABCD 是正方形，
4AB BC AD ∴====，90ABC ∠=︒，45ABD ∠=︒， //AE BD ，
45EAD ABD ∴∠=∠=︒， D ，T 关于AE 对称，
4AD AT ∴==，45TAE EAD ∠=∠=︒，
90TAD ∴∠=︒， 90BAD ∠=︒， B ∴，A ，T 共线，
2245CT BT BC ∴+
EG CD =，//EG CD ， ∴四边形EGCD 是平行四边形，
CG EC ∴=，
EC CG EC ED EC TE ∴+=+=+，
TE EC TC +，
45EC CG ∴+，
EC CG ∴+的最小值为45
19．（3分）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3
5
BE a =，连接AE ，
将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 2或
30
． 【解答】解：分两种情况：
①当点B '落在AD 边上时，如图1所示：
四边形ABCD是矩形，
90
BAD B
∴∠=∠=︒，
将ABE
∆沿AE折叠．点B的对应点B'落在矩形ABCD的AD边上，
1
45
2
BAE B AE BAD
'
∴∠=∠=∠=︒，
ABE
∴∆是等腰直角三角形，
1
AB BE
∴==，22
AE AB
==；
②当点B'落在CD边上时，如图2所示：
四边形ABCD是矩形，
90
BAD B C D
∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a
==，
将ABE
∆沿AE折叠．点B的对应点B'落在矩形ABCD的CD边上，
90
B AB E'
∴∠=∠=︒，1
AB AB
'==，
3
5
BE BE a
'==，
32
55
CE BC BE a a a
∴=-=-=，222
1
B D AB AD a
''
=--
在ADB'
∆和△B CE
'中，90
B AD EB
C AB D
'''
∠=∠=︒-∠，90
D C
∠=∠=︒，ADB'
∴∆∽△B CE
'，
∴
B D AB
EC B E
''
=
'
2
11
3
55
a
a a
-
=，
解得：
5
a，或0
a=（舍去），
35
5
BE a
∴==，
22225301()5AE AB BE ∴=+=+=； 综上所述，折痕的长为2或30
； 故答案为：2或
30． 20．（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以
22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 2020231⨯-，20203 ．
【解答】解：点B 坐标为(1,1)，
11OA AB BC CO CO ∴=====， 1(2,3)A ，
111111123AO A B B C C O ∴====， 1(5,3)B ∴， 2(8,9)A ∴，
222222239A O A B B C C O ∴====， 2(17,9)B ∴，
同理可得4(53,27)B ，
5(161,81)B ，
⋯
由上可知，(231,3)Bn n n ⨯-，
∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ⨯-．
故答案为：2020(231⨯-，20203)． 三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：22169
(2)11x x x x x -++-÷+-，其中3tan303x =︒-． 【解答】解：原式2
221(3)()11(1)(1)
x x x x x x x +-+=-÷+++- 2
3(1)(1)
1(3)x x x x x ++-=
++
1
3
x x -=
+，
当3tan303333x =︒-=-时，
原式=
=
1=-
． 22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点(5,2)A 、(5,5)B 、(1,1)C 均在格点上． （1）将ABC ∆向左平移5个单位得到△111A B C ，并写出点1A 的坐标；
（2）画出△111A B C 绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的△221A B C ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△111A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留)π．
【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求，点1A 的坐标为(0,2)；
（2）如图所示，△221A B C 即为所求，点2A 的坐标为(3,3)--；
（3）如图，
224442BC =+=，
∴△111A B C 在旋转过程中扫过的面积为：290(42)134862
ππ⨯+⨯⨯=+．
23．（6分）如图，已知二次函数2
y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，B (3,0)，与y 轴
交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得10
930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩
，
解得2
3
b c =⎧⎨=⎩．
故抛物线的解析式为2
23y x x =-++；
（2）二次函数2
23y x x =-++的对称轴是(13)21x =-+÷=，
当0x =时，3y =， 则(0,3)C ，
点C 关于对称轴的对应点1(2,3)P ， 设直线BC 的解析式为3y kx =+， 则330k +=， 解得1k =-．
则直线BC 的解析式为3y x =-+，
设与BC 平行的直线AP 的解析式为y x m =-+， 则10m +=， 解得1m =-．
则与BC 平行的直线AP 的解析式为1y x =--， 联立抛物线解析式得2
123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩， 解得1145x y =⎧⎨=-⎩，221
x y =-⎧⎨=⎩（舍去）．
2(4,5)P -．
综上所述，1(2,3)P ，2(4,5)P -．
24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
【解答】解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：
604801310019120714051602
100.850
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
100.8100>，
∴超过全校的平均次数；
（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4131936++=，所以中位数一定在
100~120范围内；
（3）该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：1975233+++=（人)， 故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是
3350
．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．
（1）求ME 的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【解答】解：（1）设ME 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，由ME 经过(0,50)，(3,200)可得：
50
3200
b k b =⎧⎨
+=⎩，解得5050k b =⎧⎨=⎩， ME ∴的解析式为5050y x =+；
（2）设BC 的函数解析式为y mx n =+，由BC 经过(4,0)，(6,200)可得： 406200m n m n +=⎧⎨
+=⎩，解得100400m n =⎧⎨=-⎩
， BC ∴的函数解析式为100400y x =-；
设FG 的函数解析式为y px q =+，由FG 经过(5,200)，(9,0)可得： 520090p q p q +=⎧⎨
+=⎩，解得50
450
p q =-⎧⎨=⎩， FG ∴的函数解析式为50450y x =-+，
解方程组
100400
50
450
y x
y x
=-
⎧
⎨
=-+
⎩
得
17
3
500
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
同理可得7
x h
=，
答：货车返回时与快递车图中相遇的时间
17
3
h，7h；
（3）(97)50100()
km
-⨯=，
答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．
26．（8分）如图①，在Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，AC BC
=，点D、E分别在AC、BC 边上，DC EC
=，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是2
BE NM
=．
（2）将DEC
∆绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【解答】解：（1）如图①中，
AM ME
=，AP PB
=，
//
PM BE
∴，
1
2
PM BE
=，
BN DN =，AP PB =， //PN AD ∴，1
2
PN AD =
， AC BC =，CD CE =， AD BE ∴=，
PM PN ∴=， 90ACB ∠=︒， AC BC ∴⊥，
//PM BC ∴，//PN AC ， PM PN ∴⊥，
PMN ∴∆的等腰直角三角形， 2MN PM ∴=， 1
2
2
MN BE ∴=， 2BE MN ∴=，
故答案为2BE MN =．
（2）如图②中，结论仍然成立．
理由：连接AD ，延长BE 交AD 于点H ．
ABC ∆和CDE ∆是等腰直角三角形，
CD CE ∴=，CA CB =，90ACB DCE ∠=∠=︒， ACB ACE DCE ACE ∠-∠=∠-∠， ACD ECB ∴∠=∠，
()ECB DCA AAS ∴∆≅∆，
BE AD ∴=，DAC EBC ∠=∠，
180()AHB HAB ABH ∠=︒-∠+∠ 180(45)HAC ABH =︒-︒+∠+∠ 180(45)HBC ABH =∠︒-︒+∠+∠
18090=︒-︒ 90=︒， BH AD ∴⊥，
M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点， //PM BE ∴，12PM BE =，//PN AD ，1
2
PN AD =，
PM PN ∴=，90MPN ∠=︒，
22BE PM ∴===． 27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m ，n 的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克(x 为正整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出
2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．
【解答】解：（1）依题意，得：1520430108212m n m n +=⎧⎨+=⎩，
解得：10
14m n =⎧⎨=⎩
．
答：m 的值为10，n 的值为14．
（2）依题意，得：1014(100)1160
1014(100)1168x x x x +-⎧⎨+-⎩
，
解得：5860x ． 又
x 为正整数，
x ∴可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59
千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． （3）购买方案1的总利润为(1610)58(1814)42516-⨯+-⨯=（元)； 购买方案2的总利润为(1610)59(1814)41518-⨯+-⨯=（元)； 购买方案3的总利润为(1610)60(1814)40520-⨯+-⨯=（元)．
516518520<<，
∴利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
依题意，得：(16102)60(1814)40(10601440)20%a a --⨯+--⨯⨯+⨯⨯， 解得：95
a
． 答：a 的最大值为9
5
．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(0)t >． （1）线段CN = 33 ；
（2）连接PM 和MN ，求PMN ∆的面积s 与运动时间t 的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当PMN ∆是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
【解答】解：（1）
AB 长是23180x x --=的根，
6AB ∴=，
四边形ABCD 是矩形，
AD BC ∴=，6AB CD ==，90BCD ∠=︒，
30DBC ∠=︒，
212BD CD ∴==，363BC CD ==， 30DBC ∠=︒，CN BD ⊥， 1
332
CN BC ∴==，
故答案为：33．
（2）如图，过点M 作MH BD ⊥于H ，
//AD BC ，
30ADB DBC ∴∠=∠=︒，
132MH MD t ∴=
=， 30DBC ∠=︒，CN BD ⊥， 39BN CN ∴==，
当902
t <<时，PMN ∆的面积213393(92)2s t t t t =⨯-⨯=-+；
当9
2
t =时，点P 与点N 重合，0s =， 当
962
t <时，PMN ∆的面积213393(29)2s t t t t =⨯-⨯=-；
（3）如图，过点P 作PE BC ⊥于E ，
第 31 页 共 31 页 当92PN PM t ==-时， 222PM MH PH =+，
2223(92))(122)2t t t ∴-=+--， 3t ∴=或73
t =， 6BP ∴=或143
， 当6BP =时，
30DBC ∠=︒，PE BC ⊥，
132
PE BP ∴==
，BE ==， ∴
点P ，3)， 当143
BP =时，
同理可求点P ，7)3
， 当92PN NM t ==-时， 222NM MH NH =+，
2223(92))(3)2
t t ∴-=+-， 3t ∴=或24（不合题意舍去）
， 6BP ∴=，
∴
点P ，3)，
综上所述：点P
坐标为，3)
或，7)3．。