1996年全国高考数学(理科)试题

1996年全国统一高考数学试卷
（理科数学）
一、选择题： 本大题共15小题:第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集I N =，集合{}2,A x x n n N ==∈，{}4,B x x n n N ==∈，则 A.I A B = B.()
I I C A B = C.()I I A C B = D.()()I I I C A C B =
2.当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象
3．若22sin cos x x
>，则x 的取值范围是
A. 322,44
x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B. 522,44x k x k k z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
C. ,44x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭
D. 3,44x k x k k z ππππ⎧⎫
+<<+∈⎨⎬⎩⎭
44
等于 A.1+ B. 1-+ C. 1- D. 1- 5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ=，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必
有
A.αγ⊥且l m ⊥
B.αγ⊥且m ∥β
C.m ∥β且l m ⊥
D.α∥β且αγ⊥ 6．当2
2
x π
π
-
≤≤
时，函数()sin f x x x =的
A. 最大值是1,最小值是1-
B. 最大值是1,最小值是1
2-
C. 最大值是2,最小值是2-
D. 最大值是2,最小值是1-
7.椭圆33cos 15sin x y θθ
=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）的两个焦点坐标是
A.(3,5)-,(3,3)-
B. (3,3),(3,5)-
C. (1,1),(7,1)-
D. (7,1),(1,1)-- 8.若02π
α<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2
π
απα+++等于 A.
2
π
B. 2π-
C. 22πα-
D. 22πα--
9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥
D ABC -的体积为
A.36a
B. 3
12
a
C. 312
D. 312
10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若
10531
32
S S =,则lim n n S →∞等于
A.23 B . 2
3
- C. 2 D. 2- 11．椭圆的极坐标方程为3
2cos ρθ=-，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是
A.(3,0),(1,)π
B.(3,)2π
,3)2π
C.(2,)3
π
,5(2,)3π
D. )2
,2arctan )2π- 12.等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A.130 B. 170 C. 210 D. 260
13.设双曲线22
221x y a b
-=（0a b <<）的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已
知原点到直线l
的距离为
4
，则双曲线的离心率为 A.2
14.母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于
A.
3
15.设()f x 是(,)-∞∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =， 则(7.5)f 等于
A. 0.5
B. 0.5-
C. 1.5
D. 1.5- 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
16.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__ . 17.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．
18.求值：tan 20tan 403tan 20tan 40++=_______ ．
19.如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ____ ． 三、解答题：本大题共6小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演
步骤.
20.（本小题满分11分）
解不等式1
log (1)1a x ->．
21.（本小题满分12分）
已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +
=,
11cos cos cos A C B
+=-，求cos
2
A C
-的值． 22．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 在1BB 上， 截面1A EC ⊥侧面11AAC C ．
（1）求证：1BE EB =；
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（1）的完整证明，并解答（2）． （1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG A C ⊥，G 是垂足． ①∵ _________
A
B
C
D E F
A
B
C
E
A 1
B 1
C 1
∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连接,BF FG ，由AB BC =,得BF AC ⊥， ②∵ _________
∴BF ⊥侧面1AC ；得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ． ③∵ _________
∴BE ∥FG ，四边形BEFG 是平行四边形，BE FG =， ④∵ _________
∴FG ∥1AA ，1AA C ∆∽FGC ∆，
⑤∵ _________
∴111122FG AA BB ==，11
2
BE BB =,故1BE EB =
（2）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 23.（本小题满分10分）
某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数） 24.（本小题满分12分）
已知1l ,2l 是过点(P 的两条互相垂直的直线，且1l ,2l 与双曲线221y x -=,各有两个交点，分别为1A ,1B 和2A ,2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；
（2）若1122A B B =，求1l ,2l 的方程． 25．（本小题满分12分）
已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+，当11x -≤≤时，()1f x ≤. （1）证明：1c ≤；
（2）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；
（3）设0a >,当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x .。