北航2008年复变函数期末试题

2008年复变试题

一．选择题（每题3分，共27分）

1.下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（　D　）

（A）（B）

（C）（D）

2设C是从到的直线段，则积分（　D　）

（Ａ）　（Ｂ）　（Ｃ） （Ｄ）　

３．设C为曲线：从－１到１的下半单位圆周和曲线：从１到－１的直线构成的封闭曲线，则（　A　）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）０（Ｄ）

４.设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径

Ｒ＝（　C　）

（Ａ）（Ｂ）１（Ｃ）（Ｄ）

５.设，则（　B　）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

６.下列命题中，正确的是（　C　）

（Ａ）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有

（Ｂ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数

（Ｃ）设在区域内解析，则为内的调和函数

（Ｄ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数　

７.设为函数的级极点，那么＝（　D　）

（Ａ）５（Ｂ）４（Ｃ）３（Ｄ）２

８.设函数的拉普拉斯变换，则（　B　）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

９.设函数的傅立叶变换为，则函数的傅立叶变换为（　A　）

（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）　（Ｄ）

二．填空题（每题４分，共４０分）

１.已知，则

２.复数的主值为

３.解析函数的实部，则

４.积分由此计算

0, 0

５.设其中，则

６. 0

７.函数在处的泰勒展开式（至少写到含的项）为

8.在扩充复平面上函数的孤立奇点为（写出类型）在孤立奇点处留数为

(三级极点) ，本性奇点；

9.已知，则的拉普拉斯逆变换为

10设，则的傅立叶逆变换为

三．（10分）将函数在适当的圆环域内展开成含的幂的洛朗级数。解：奇点为。

（1）

，

所以

（2），

四．（9分）计算函数的傅立叶变换，并计算广义积分

的值。

解：

所以

五．（8分）用拉普拉斯变换及其逆变换求解微分方程组满足初始条件的解。

解：设取laplace变换得

将初始条件代入得

六．（6分）如果内解析且，证明

证明：

令，即得