14标量场的梯度.

二、梯度 1、梯度的定义 标量场 u (r ) 的梯度 gradu ：是一个矢量，其方向为标量场 u (r ) 变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率，即
u gradu el l max
源自文库
2、梯度在坐标系下的表示
u u u u cos cos cos l x y z
2 2 2
【证】 因为
r r r gradr r ex e y ez x y z
r x x 2 2 2 x y z 2 2 2 x x r x y z r y r z ， y r z r
同理
所以
x y z gradr r ex e y ez r r r
1
2 cos 2 2 2 3 1 2 2
2
而
u 2 x u 2t u ( x 2 y 2 ) , , 2 x z y z z z
u u u u cos cos cos l x y z 1 2x 2 2 y 2 x y 2 3 z 3 z 3 z
1 r ˆ ( xe x ye y ze z ) r r r
【例题 6】求 r 在 M(1 ， 0 ， 1) 处沿 l=ex+2ey+2ez 方向的方向导 数。 【解】
在圆柱坐标系中的表示
u 1 u u u e e ez z
在球坐标系中的表示
1 u u 1 u u er e e r r r sin
3、梯度的性质 标量场的梯度是一个矢量场。
标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。
2 2
数量场在l方向的方向导数为
在点M处沿l方向的方向导数
l
M
1 2 2 2 2 1 1 3 3 3 4 3
【例题5】设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量 r=xex+yey+zez 的模，即 r
r ˆ x y z ， 证明： gradr r r
【例题2】求无界空间中的点电荷q所产生的电位的梯度。 【解】无界空间中的点电荷q所产生的电位为：
u
所以
q 4r
q 1 q r q u 3 4 r 4 r 4 r
【例题3】求数量场φ =(x+y)2-z 通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 【解】点M的坐标是 x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为 φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为
2、方向导数在直角坐标系中的表示
en
N
el
M
P
u u u u cos cos cos l x y z
其中，
el ex cos ey cos ez cos
cos , cos , cos 是 el 的方向余弦：
dx dy dz cos , cos , cos dl dl dl 3、方向导数的性质 e 方向导数是标量场在点P处沿方向 l 对距离的变化率。 e 标量场中，在给定点P处沿不同方向 l 的方向导数不相同。
标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向
u (r ) 增加的方向。
4、梯度运算的基本公式
c 0 (cu) cu (u v) u v
(uv) vu uv
u vu uv v v2
df f (u ) u du
r r er r
常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形 成等值面族，等值面族充满整个场空间，且不同的等值面互不相 交。
二、方向导数
1、方向导数的定义 考虑标量场中两个等值面 u, u u 标量函数 u( x, y, z)沿给定方向 el 的变化率： u u
u u u u u lim lim l u 0 PM u 0 PM u 称为标量函数 u( x, y, z) 在P沿方向el 的方向导数。
( x y) z 0
2
z ( x y)
2
2 2 x y 【例题4】求数量场 u z l=ex+2e +2e 方向的方向导数。
y z
在点M(1, 1, 2)处沿
【解】 l方向的方向余弦为
1 cos 2 2 2 3 1 2 2
2 cos 12 22 22 3 2
§1.4 标量场的梯度
一、等值面
u ( r 标量场: ) 用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为：
1、等值面 标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。 例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中， 由电位相同的点构成等位面。 2、等值面方程
u( x, y, z ) C
u u u ex x ey y ez z ex cos ey cos ez cos
gradu el
记为
gradu u
在直角坐标系中的表示
u u u u ex ey ez x y z
1 r er 【例题1】求证 2 r r3 r
1 r er 2 r r3 r
【证明】在球坐标系下：
1 u u 1 u u er e e r r r sin
所以
q 1 q r q u 3 4 r 4 r 4 r