学案6：数列中的最值问题

学案6：数列中的最值问题

姓名 班级

运用数列单调性求最大（小）项

数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列{}n a 而言，若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值。

一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列（利用二次函数单调性）

例1. 已知等差数列{}n a （d<0）其前n 项和为n S ，若179S S =，问{}n S 中哪一项最大？

点评：等差数列中，○1当d<0时，⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1k k 时，k S 最大。○2当公差⎩⎨⎧≥≤>+0a 0a 0d 1

k k 时时，k S 最小。 二. 无理根式函数为背景的数列（利用函数单调性）

例2.数列{}n a 满足n a n ={}n a 中的最小项

点评：注意隐含条件0a n <，否则会得出n 1n a a <+的错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。

三. 以函数)0a ,0x (x

a x y >>+

=为背景的数列（利用函数单调性） 例3. 已知数列)N n (156

n n a 2n *∈+=，则该数列中的最大项是第几项？

四. 以分式函数为背景的数列（利用函数单调性）

例4. 已知)N n (98n 97n a n *∈--=

则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是_____。

例5. 已知)N n (n 131211S n *∈++++= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。 （利用作差法及放缩法）

五. 混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>）

例 6. 已知无穷数列{}n a 的通项公式n n n 10

)1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。 （利用作差法）

小结：会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题；

（1）、若}{n a 中的最大项为k a ，则⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a ；（2）、若}{n a 中的最小项为k a ，则⎩⎨⎧≤≤-+1

1k k k k a a a a 。

学案5：数列中的最值问题参考答案

姓名 班级

运用数列单调性求最大（小）项

数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对于数列{}n a 而言，若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列，运用其单调性可求出一些常见数列的最值。

一. 整式（一次，二次）函数为背景的数列（利用函数单调性）

例1. 已知等差数列{}n a （d<0）其前n 项和为n S ，若179S S =，问{}n S 中哪一项最大？ 解：因为179S S =， 0a a a 171110=+++∴

又因为1413151216111710a a a a a a a a +=+=+=+ ， 0a a 1413=+∴，因为d<0

所以数列{}n a 单调递减，于是0a ,0a 1413<> ， 14S ∴最大

点评：等差数列中，○1当d<0时，⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1k k 时，k S 最大。○2当公差⎩⎨⎧≥≤>+0a 0a 0d 1

k k 时时，k S 最小。 二. 无理根式函数为背景的数列（利用函数单调性）

例2.数列{}n a 满足n a n ={}n a 中的最小项 解：

1n n 1

1n n a 22n ++-=+-=， 1n a +=

21n n n ++<+ 1n n a a +<∴，可知数列{}n a 是递增数列

n a ∴的最小项为21a 1-=

点评：注意隐含条件0a n <，否则会得出n 1n a a <+的错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。

三. 以函数)0a ,0x (x

a x y >>+=为背景的数列（利用函数单调性） 例3. 已知数列)N n (156n n a 2n *∈+=

，则该数列中的最大项是第几项？ 解：得n

156n 1a n +=，由函数)0x (x 156x y >+=知在)156,0(上为减函数。在),156(+∞为增函数。 当且仅当156x =时，函数取最小值，而*∈N n 。

要使n

156n +的值最小，应使]156[n =。 通过计算验证，可得n=12或13时，n a 最大。 1312a a =∴为数列{}n a 中的最大项。

四. 以分式函数为背景的数列（利用函数单调性）

例4. 已知)N n (98n 97

n a n *∈--=则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是_____。 解：98

n 9798198n 97n a n --+=--=

∴数列中的项是函数98x 97981)x (f --+=上孤立的点，而f(x)的图象是由x

9798y -=右移98

个单位再上移1个单位得到的，因此f(x)在)98,(-∞上是减函数。 在),98(+∞上也是减函数，从而可知当n=9时n a 最小，n=10时，n a 最大。

∴最大项和最小项分别为910a ,a 。

例5. 若)N n (n

131211S n *∈++++= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。（利用作差法） 解：1n 213n 12n 1S S a 1n 1n 2n ++++++=

-=++ ， 则2

n 13n 211n 21a a n 1n +-+++=-+ 04n 212n 212n 14n 212n 21>+-+=+-+++> n 1n a a >∴+ ， {}n a ∴为递增数列， {}n a 中的最小项为3

1a 1= 五. 混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>） 例6. 已知无穷数列{}n a 的通项公式n

n n 10)1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第

几项最大，若没有，说明理由。 （利用作差法） 解：n n 1n 1n n 1n 10)1n (910)2n (9a a +-+=-+++1

n n 10)n 8(9+-= 8n 1≤≤∴当时，n 1n a a >+，即8321a a a a <<<<

当n=8时，n 1n a a =+，即98a a =

当n>8时，n 1n a a <+，即 >>>11109a a a

由函数单调性知数列{}n a 存在最大项即第8，9项。