概率论小论文

概率论论文

关于概率论的起源发展及其应用

摘要

概率论是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是非常有特色的一个数学分支。当前，概率论与数理统计已广泛运用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中并且广泛的与其他学科渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科运用、研究的重要工具，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，概率论与数理统计已成为大学生中绝大数专业的学生必修的一门基础课。

关键词起源发展，实际应用，思想方法

一、概率论的起源

概率论是一门研究事情发生的可能性问题，但最初的概率的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达洛开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。十七世纪中叶，当时法国宫廷盛行着掷骰子游戏，游戏的规则是玩家连续掷四次骰子，如果其中没有六点出现，玩家赢，如果出现一次6点则庄家赢。按照这一游戏规则，长期来看，庄家扮演赢得角色，而玩家大部分时间是输

家，因为庄家总是要以此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。后来为了使游戏更加刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家用两个筛子连续投掷

24次不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

二，概率论的发展

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李雅普洛夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.纳维、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。

三、概率论在实际应用中的简单模型（建模思想）

1、生物学：一个多指男性与一个正常女性婚配，生了一个白化病女孩。问：若再生一个孩子，两病兼患的概率是多少？（注：多指为显性遗传，白化病为隐性遗传）

解析:根据基因遗传的规律，多指与白化病的遗传是相互独立的。设P1为患多指病的概率，P2为患白化病的概率，P为两病兼患的概率。则由独立事件的乘法公式可得P=P1×P2.

设A为多指基因，b为白化病基因，白化病女孩的基因型为aabb。

可以推得父母的基因型分别为：父亲AaBb 母亲aaBb。遗传图谱如下所示：P1: Aa ×aa P2: Bb ×Bb

Aa(1/2) aa(1/2) BB(1/4) Bb(1/2) bb(1/4) 因此，P1=1/2，P2=1/4.

两病兼患的基因型为Aabb, 概率P=P1×P2=1/8.

2、医学检查：设换肺病的病人，被查出的概率为0.95，未患肺病的人检查时被误诊的概率为0.002，设在全城中患有肺病的概率为0.001。若在居民中随机抽取一人检查，诊断为有肺病，求此人确实患有肺病的概率。

解析：该问题属于条件概率问题，可以利用贝叶斯公式进行求解。设

1A ,2

A ......

n

A 是互不相容的事件，且

()

i A P >0(i=0,1,2……，n).若对任意事件B 有

1

A +2A +

3

A +……+

n A ⊃

B,且P(B)>0，则贝叶斯公式为：

()()∑

==

n

j j

j

i

i

i A

B

p

A p A

B p

A p B

A P

1

以A 表示居民患肺病的事件，则A 表示居民无肺病。设B 为检查后诊断为有肺病的事件，那么问题就是求P(A|B)。

由于A

B

⊂+A ，又与互不相容，故由贝叶斯公式知

)

|()()|()()

|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

P(A)=0.001, P(A )=0.999, P(A|B)=0.95, P(B|A)=0.002 因此，

3223

.0999

.0002.095.0001.095

.0001.0)|(≈⨯+⨯⨯=B A P

3、二项分布管理科学中的应用

设有同类型的仪器300台，其工作是相互独立的，且发生事故的概率均为0.01.一台仪器发生故障，一个工人可以排除。

①至少配备多少维修工人才能保障仪器发生故障但不能即使排除的概率小于0.01？

②若一人包干20台仪器，求仪器发生故障但不能及时排除的概率。 解析：①设事件A=“仪器发生故障不能及时排除”，设配备x 个维修工人，则事件A 等价与“同时发上故障仪器数>x ”。由于300台仪器在同一时间内是否正常工作可看成300重伯努利实验，发生故障的概率为p=0.01,所以

所以

k

x k k k x k C k P A P -+=+=∑

∑

=

=

300300

1

300300

1300)

99.0()01.0()()(

∑

∑

+=-+=-≈

≈

300

13

300

13

!3!

3)(x k k

x k k k e

k e

A P

由题意有 P(A)<0.01 ,通过查表解的x=8. 故，只需配备8个工人就可达到要求。