群论习题

群论习题

第一章：群的基本概念

*1.1下列定义了乘法运算的集合，哪些构成了群，哪些不构成群，并说明理由。

（1）在复数加法下全体复数的集合

（2）在矩阵乘法下所有幺正矩阵的集合

（3）在数的减法下所有整数的集合

（4）在数的乘法下所有正实数的集合

1.2如果某有限群的任一元素皆满足e f f =•,证明该群是Abel 群。 提示：任二群元a 和b ：()a b b b a a b e a b •=•••=••=•2a 。

1.3验证矩阵集合：

⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤00,00,0110,00,00,10012222ωωωωωωωω，其中32πωi e =在矩阵

乘法下构成群，并且与3D 群同构。

提示：先写出该集合的乘法表，便可证得其自封闭性，并能找每个元素的逆元和单位元。再和3D 群的乘法表对比就可发现同构关系。

1.4验证集合

()()()()群）

群（注：改群成为之下构成在乘法为光速Lorentz Abel c L L L c c c c c I 2212133212221,,,1111υυυυυυυυυυυυυ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫<<-⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤---=提示：只需证明c c <<-3υ条件成立，则()3υL 也必属于该集合，得到

的集合的封闭性。0=υ时L(0)对应单位元，

3υ中的2υ和1υ的地位对称，

所以()()()()1221υυυυL L L L =。

*1.5证明群的任何两个左陪集或者完全相等，或者没有任何公共元素。

1.6证明有限群G 的非空子集H 为子群的充要条件是：若a,b ∈H ，则ab ∈H 。提示：易证必要条件成立，证充分条件时，要用到：c=a,c=b 则cc ∈H ，进而c m ∈H （m 为正整数）。

*1.7证明指数为2的子群必是正规子群。

提示：先要理解子群指数这一概念

*1.8证明群阶为质数的有限群必为Abel 群，并且必为循环群。 提示：证明中须用到子群的阶是该群的阶的因子，每一类中元素的数目也必为该群阶的因子，以及单位元自成一类等定理和推论。

1.9如果H 是群G 的正规子群，而N 又是H 的正规子群，那么是否N 也一定是G 的正规子群？

提示：不一定是，例如，考虑C 4V ，C 2V 和{e m x }三群的关系。

*1.10设H 是G 的子群，证明a 和b 同属于H 的同一个左陪集的充要条件是1a b H -∈。

1.11证明H 是G 的正规子群的充要条件是：H 整类地包含G 的元素。 提示：见课堂笔记或见徐、喀书P26之证明。

1.12若群G 和G ’同态，则阶较大的群G 中与阶较小的群G ’的单位元E ’对应的那些元素，称为这一同态关系的同态核，记作P 。证明：P 是G 的正规子群。

提示：见徐、喀书P29证明。

*1.13设H 是G 的子群，对于任一元素g ∈G ，证明集合gHg -1={ghg -1,

H h ∈}也是G 的子群。

（该群称为H 的共轭子群） 1.14证明四阶群只有两种，一种是循环群，另一种是非循环的Abel 群。

提示：写出四阶群所有可能的乘法表，见笔记。

1.15证明直积群的两个直积因子群必为直积群的正规子群。

1.16证明直积群a b G G G =⊗的类的数目等于直因子群a G 和b G 的类的个数的乘积。

提示：见徐、喀书P31或课堂笔记。

1.17证明：（1）群的单位元核逆元都是唯一的。

（2）设f 和g 是群的任二元素，则()111f g g f ---⋅=⋅

1.18证明：二阶循环群与四阶循环群同态。

1.19设直积群G=H ⊗N 证明：（a ）G 共轭类数等于H 和N 的共轭类数的乘积。

（b ）N ≅G H

(c)G ∽H G ∽N

第二章 群的表示理论

2.1 为什么对于任一群都有单位表示做为其一种不可约表示。

提示：一维的单位表示对应平庸群{1}。该群和任一群有同态表示。 *2.2 证明有限群任何一维表示的表示矩阵的模必为1。

*2.3 证明除恒等表示外，有限群的任一不可约表示的特征标对群元素求和为零。

提示：利用不可约表示特征标的正交性关系，并令其中一个表示为单位表示。

2.4 对有限群的某一表示的所有表示矩阵都乘以同一常数后组成的矩阵集合是否还能构成该群的一个表示。

2.5 D j 是有限群G 的一个不可约表示，证明：G 中同一类元素在D j 上的表示矩阵之和必为单位矩阵的常数倍。

提示：直接利用舒尔引理可证。

*2.6求D 3群在三维实空间上的矩阵表示，三维实空间的基矢为(1∧e ,2∧e ,3∧

e )并判断该表示是否是不可约表示。

提示：利用ji j j i D e e g ∑∧∧=，g 是D 3群的群元，它可以变换3个基矢。

2.7某线性空间的基函数为{)(1r U =22y x -,)(2r U =xy 2}，该空间是否构

成C 3V 群的封闭性空间？

提示：见教材《群及其表示》P 49之相关论述。

*2.8某线性空间的两基函数为{)(1r U =x sin ,)(2r U =y sin }。该空间是否

构成C 2v 的封闭性空间，如果是，给出C 2V 的相应表示矩阵，并判断该

表示是否可约。(设C 2V 的主轴沿z 方向)。

*2.9求C 4V 群在线性空间{1U =2x , 2U =2y , 3U =xy 2}上的表示，并判断该表示是否可约，如果可约，写出其约化形式。（C 4V 的主轴沿z 轴方

向）。

提示：利用可约表示的约化式j a =

∑*R

j R R g )()(1χχ求出该表示含有哪些不可约表示。

2.10 群G 的两个表示为D a 和D b ，对于G 中任一元素A ，取它在D a 和D b 表示中的表示矩阵的直积，即D(A)=D a (A)⊗D b (A)。则对于每一群元D 组成一个新的矩阵集合，证明：D 也是G 的一个表示。（提示：见徐、喀书P 107之证明）

*2.11 C 3h 群是C 3群{e ，3c ，23c }和C 1h ={e ，n σ}的直积群，即C 3h =C 3⊗C 1h 求C 3h 的所有不可约表示的特征标系。（提示：见笔记）

*2.12 求C 3h 群在三维空间（基矢为1e 2e 3e ）

上的表示，判断该表示是否可约，如果可约，写出该表示的约化形式，利用投影算符法找出该表示对应的对称化基矢。（设C 3h 的主轴方向沿z 轴方向） 提示：见笔记。

2.13 证明直积群的所有不等价不可约表示都可表示为两直因子群的不等价不可约表示的直乘。

提示：见笔记关于直积群的表示部分，分三步证明：①直因子群表示的直积构成直积群的表示②直因子群的两个不可约表示的直积必为直积群的一个不可约表示③由直因子群不可约表示的直积得到的不可约表示是直积群的全部不可约表示。

2.14 求出C 3v 群的所有不可约表示的特征标系及所有不可约表示的