中考数学 专题18 反比例函数中动点问题及图形存在性探究(解析版)

专题18 反比例函数中动点问题及图形存在性探究

1. （2019·山东泰安中考）已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数m

y x

=的图象交于点A ，与x 轴交于点B (5,0)，若OB =AB ，且S △OAB =

152

. （1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）若点P 为x 轴上一点，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，

∵B (5,0)，OB =AB ，且S △OAB = 15

2

， ∴

115

5AD=22

⨯⨯,即AD =3， 在Rt △ABD 中，由勾股定理得：BD

4=,

∴A 点坐标为（9,3）， ∵反比例函数m

y x

=的图象过点A ， ∴m =27，

将（9,3），（5,0）代入y =kx +b 得：

9350k b k b +=⎧⎨

+=⎩，解得：34

154

k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

即一次函数解析式为：31544y x =-，反比例函数解析式为：27

y x

=

； （2）由题意知，AB =5， ①当AB =BP 时，BP =5，

即P 点坐标为（0,0）或（10,0）， ②当AB =AP 时，由AD =3知，BP =4，

即点P 与点B 关于点D 对称，即P 点坐标为（13,0）， ③当AP =BP 时，即P 在线段AB 的垂直平分线上， 设P (m ，0)，则AP 2

=（9－m ）2

+9，BP 2

=（5－m ）2

， ∴（9－m ）2

+9 =（5－m ）2

解得：m =

65

8

， 即P 点坐标为（

65

8

，0）， 综上所述，满足题意的P 点坐标为：（0,0），（10,0），（13,0），（

65

8，0）. 2. （2019·四川达州中考）如图，A 、B 两点在反比例函数y ＝1k

x

的图象上，C 、D 两点在反比例函数

y ＝2k

x

的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝4，EF ＝3，则k 2﹣k 1＝ ．

【答案】4．

【解析】解：设A （a ，1k a ），C （a ，2k a ），B （b ，1k b ），D （b ，2k

b

）， 则CA ＝

2k a ﹣1

k a ＝2， 即21k k a -=2，得a ＝212

k k -，

同理：BD ＝12k k b -=4，得b ＝12

4

k k -，

又∵a ﹣b ＝3

∴

212k k -－12

4

k k -＝3， 解得：k 2﹣k 1＝4. 故答案为：4.

3. （2019·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC =90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y =x

k

（x ＞0）的图象上，若AB =1，则k 的值为（

）

A .1

B .

2

2

C .2

D .2

【答案】A .

【解析】解：过点C 作CD ⊥y 轴于D ，

如图所示，∵CA ⊥x 轴， ∴∠ACO =90°， ∴四边形OACD 是矩形， ∵AB =BC =1，

∴S 四边形OACD =2S △ABC =1，即k =1， 故答案为：A .

4. （2019·山东潍坊中考）如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x

（x ＞0）与y ＝

5

x

-（x ＜0）的图象上，则tan ∠BAO 的值为 ．

【解析】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO＝∠ACO＝90°，

∵点A，B分别在反比例函数y＝1

x

（x＞0）与y＝

5

x

-

（x＜0）的图象上，

∴S△BDO＝5

2

，S△AOC＝

1

2

，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，

∴△BDO∽△OCA，

∴

()

()

2

2

5 BOD

AOC

OB

S

S OA

==

，

∴OB OA

=

∴

tan∠BAO＝

OB

OA

=

5.（2019·甘肃陇南中考）如图，已知反比例函数y =k

x

（k ≠0）的图象与一次函数y =－x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）已知点P （a ，0）（a ＞0），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y =－x +b 的图象于点M ，交反比例函数y =

k

x

上的图象于点N ．若PM ＞PN ，结合函数图象直接写出a 的取值范围．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵反比例函数y =k

x

的图象与一次函数y =－x +b 的图象交于A （1，3），B （3，1）两点，

代入可得：k =3，b =4，

即反比例函数和一次函数的表达式分别为y =

3

x

，y =－x +4； （2）由图象可得：当1＜a ＜3时，PM ＞PN ．

6.（2019·湖北咸宁中考）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A ,B 恰好分别落在函数)0(4

),0(1>=<-

=x x

y x x y 的图象上，则sin ∠ABO 的值为（ ） （A ）

3

1

（B ）33 （C ）45 （D ）55

【答案】D .

【解析】解：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，如图所示，