大学物理(简谐振动篇)

第十七章 量子力学基础
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Attendance Homework
要求
蔡冬梅
办公室：逸夫楼901
第四篇 振动和波动
振动与波无所不在
振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。
尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。
第十一章 机械振动
什么是振动？
一个物理量（如位置、电量、电流、电压、温度……） 在某一确定值附近随时间作周期性的变化，则该物理量的 运动形式称为振动。
目录：
第四篇 振动和波动：(12)
第十一章 机械振动(5)
第十二章 机械波(7)
第五篇 光学：(18)
第十三章 几何光学 第十四章 波动光学(6\8\4)
第二篇 热学：(14)
第四章 气体动理论（6） 第五章 热力学（8）
第六篇 近代物理基础：(2)
第十五章 狭义相对论基础
第十六章 从经典物理到量子物理
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一、简谐振动的特征
简谐振动的定义
1 用动力学方程定义
k m kx
x
0
x
2dd2t用2x运动mk学x方程0 定义
x
Acos 2
k
t
0
或 x Asin mt 0
d2 dt
x
2
二者2 x关 系0 ？
——振动方程
第11章 机械振动
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说明 （1） 上述方程对于非机械振动也成立。
例 电磁震荡电路
第11章 机械振动
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二、 振动参量
x Acos t 0
1. x ——位移 广义上，指振动的物理量
2. A ——振幅 最大位移，恒为正，表征系统的能量
物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A，由初始条件 决定，描述振动的空间范围。
cos t 0 ≤1
x ≤A ——振动的强弱
3. T ——周期
A1 A2
x2 x1
x2 比 x1 早 达到正最
O
t
大 , 称 x2 比 x1 超前
- A2
(或 x1 比 x2 落后 )。
-A1
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2. 同相和反相
2k
两振动步调相同
(2k 1)
两振动步调相反
x
A1
A2
o
- A2
-A1
x
A1
A2
o
- A2
-A1
x1
同相
x2
T
t
x1 反相
v0 ω Asin0
A
x0 2
v
2 0
2
0
tg1( v0
x0
)
第11章 机械振动
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例 一弹簧振子（m，k），已知 k m, A 2 cm,
当t＝0时， x0 1cm, 0 0 , 试写出振动方程。
解 取平衡位置为坐标原点
简谐振动的表达式： x A cos(t 0 )
由初始条件： x0 1cm, 0 0
T
t
x2
第11章 机械振动
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三、 谐振动的描述
振动三要素：振幅、周期和相位
1. 解析法 x A cos t 0
†ω由振动系统本身决定
弹簧振子：
k m
单摆：
g l
†A， 由0 初始条件决定(t=0)
x(t) Acos(ω t 0)
x0 Acos0
v ω Asin(ω t 0)
机械振动 ：位移x 随时间t 的往复变化 电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化
微观振动：如晶格点阵上原子的振动
振动分类
振动
受迫振动 自由振动
共振
阻尼自由振动 无阻尼自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动 (简谐振动）
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第十一章 机械振动
§11-1 简谐振动
* §11-2 阻尼振动 受迫振动 共振
• T ω ν 的大小由谐振动系统本身性质决定，反映了系统 的固有特性
——固有圆频率、固有周期和固有频率
4. （t 0）—— t 时刻的相位（位相）
（1） 数学上，相位是一个角度，
物理上，相位是描写振动状态的一个参量。
第11章 机械振动
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x
A
= 2
O
-A
t
（2） 用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的周期性。
§11-3 同方向的简谐振动的合成 * §11-4 相互垂直的简谐振动的合成
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§11-1 简谐振动
物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规 律随时间变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动。
简谐振动是最简单、最基本的振动.
合成
简谐运动
分解
复杂振动
振动的理论建立在简谐振动的基础上。
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第11章 机械振动
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2.对不同一简谐运动 利用相位差可比较两个振动的步调是否一致
x1 A1 cos(t 10 ) x2 A2 cos(t 20 )
同方向、同频率振动
(t 20 ) (t 10 ) 20 10 （初相差）
1. 超前和落后
x
若 = 2- 1> 0 , 则
q C
L
di dt
d2q dt 2
1 LC
q
0
q
C
i
dq dt
L
（2） 从运动学方程 x A cos t 0
A sin t 0
A cos
t
0
2
（3） 简谐振动的特点
a A2 cos t 0 A2 cos t 0
等幅性
周期性 x(t) x(t T )
物体所受的力与位移成正比而反向
x
ab
c
t
O
T
结论：用相位描述物体振动，能反映出时间上的周期性，
而（x，v）则不能。
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相位差
1.对于同一简谐运动
对于简谐运动 t1时刻相位
xAcos(t0)
t1 0
t2时刻相位
t2 0
相位差 (t20 ) (t10 )
相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间
t t t
振动状态重复一次所需要的时间,描述振动的快慢.
A c o s [( t T ) 0 ] A c o s (t 0 )
T 2π
T 2π
1 ——振动的频率
T 物体在单位时间内发生完全振动的次数
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2π ——角频率（圆频率）.
m2 k
k
m
T 2 2 m
k
1 1 k T 2 m
x0
A cos 0
,cos0
x0 A
1 2
0
3
0 A sin0 0
sin0
0,0
－
3
振动方程： x 2 cos( k t )
m3
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例 一轻弹簧（k），下端挂一重物m，用手拉物向下至x处， 然后无初速度释放。试写出振动方程。
解 原点取在原长 建立坐标 O`x 如图,
（3） 0 ——初相，（取决于时间零点的选择）
t 0 0
x Acos(t 0) A
A sin(t 0) 0
A
O
t
0
2
t
0
3
2
x0
x0
A
A
Ax
第11章 机械振动
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比较a、b两点： 位移相同，速度 不同，相位 不同 . 比较a、c两点： 位移相同，速度 相同，相位 不同 .