全国高中数学联赛试卷及答案
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全国高中数学联赛试卷
及答案
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二○○一年全国高中数学联合竞赛题
（10月4日上午8：00—9：40）
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，2
π
）上单调递增的偶函数是 （A ）y=sin|x| （B ）y=cos|x| （C ）y=|ctgx| （D ）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 （A ）k=83 （B ）0 38=k 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000 ， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． （A ）3333 （B ）3666 （C ）3999 （D ）32001 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． 8、若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=2 3 -I,则z 1z 2= 。 9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，则直线A 1C 1与BD 1的距离是 。 10、不等式 2 3 2log 12 1>+x 的解集为 。 11、函数232+-+=x x x y 的值域 为 。 12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中 种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。 二、 解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且2 11a b =，2 22a b =，2