第五章 图的向量空间

定义5:一个交换除环叫做一个域。
F={0,1}在模2的运算下作成域
1+1≡0mod(2)
1+1+1≡1mod(2)
1+0≡1mod(2)
0+0≡0mod(2)
预备知识3： n维向量空间
一、n维向量的定义
定义1:由数域F上的n个数组成的有序数组
(a1, a2,…, an)
称为数域F上的一个n维向量，称ai为该向量的 第i个分量.
定义２:一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有
ea ae a
其中a为Ｒ中任意元。 定义３:一个有单位元的环的一个元b叫做元a的逆 元，假如：
ab ba e
定义４:一个环Ｒ叫做一个除环，若： １. Ｒ至少包含一个不等于零的元；
２. Ｒ中有一个单位元；
３. Ｒ中每一个不等零的元都有逆元。
a
b
a f
b
f
e d
g
c
g
c d
e
分别以这七条边为边集合的 子图线性相关吗？
以右图为例说明： 从图的运算的角度看： k11+k22+…+kss=0
a
b
f d g c
e
k1{a}⊕k2{b}⊕k3{c}⊕k4{d}⊕k5{e}⊕k6{f}⊕k7{g}=0
注意：这里ki∈F={0,1} 是否存在一组不全为零的数使得该线性组合为 零元（空图）？
(1) 1 ,2 , ,r 线性无关。 (2)V 中任意向量都能够由 1 ,2 , ,r 线性 表示。 那么，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数， 并称V 为r 维向量空间．
1 , 2 , , r V且满足：
§5.1 图的向量空间
k7(0,0,0,0,0,0,1)=0(零向量)
定理证明的第二部分：维数的证明
设图G有q条边，其边集合为 {e1 ,e2 , ……,eq}， 考虑恰包含一个边的图G的子图，即： G1= {e1 } ,G2= {e2} ,G3= {e3} ,…,Gq= {eq}
k1G1 ⊕k2 G2 ⊕… ⊕ kq Gq =0 k1 {e1 } ⊕k2 {e2} ⊕… ⊕ kq {eq} =0
定义：已知图 G ( V , E ) ， G (V , E ) 若 V V，E E，则称G 为G的子图。
v1
a c bv d
3
v2
v2
d
v3
e f
e f
v3 G
v3 G 1
复习：图的运算—环和
设两个图G1与G2， G1 =(V1 ，E1 ) ， G2 =(V2 ，E2 ) 定义称G1⊕G2 = (G1 ∪G2)- (G1 ∩G2) 为G1与G2的环和，又称为G1与G2的对称差。
图G的子图G1
v2
v4
e6 e2
v3
v1
e5
{ ,e2 , ,e5 ,e6} ( 0, 1, 0, 0, 1, 1) 图G的子图G2
v2 v4
e5
e3
v3
e2
{ e2 ,e3 , ,e5 } ( 0, 1, 1, 0, 1, 0)
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
三、向量运算的基本性质
1) 加法交换律 +=+
2) 加法结合律 (+)+= +(+)
3) 零元特性 4) 负元特性 0+=
+()=0
5) k(+)= k+k
6) (k+l)= k+l 7) (kl)= k(l) 8) 1= 其中, , ,都是V中的n维向量，
设图G的q条边为 {e1 ,e2 , ……,eq}
命题：图G=（p,q）的所有不同的子图的 个数为:
q
2
构作子图时 取不取这条 边呢？
分析：环合运算
Gi G j Gi Gi Gi G j Gi Gj
Gi Gi
显然：零元为 ，任意元素 Gi 的 负元为其本身。
一些特殊向量：
零向量：分量全为零的向量称为零向量，
记作0．即０＝(0,0,…,0). 负向量：向量(a1, a2,…, an)称为向
量=(a1, a2,…, an)的负向量，记作.
二、n维向量的运算
定义2：设=(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…,
bn), k为数域F中的数，定义向量 (a1+b1,a2+b2,…,an+bn) 为向量与的和,记为+ ； 称向量(ka1, ka2,…, kan)为向量 = (a1, a2,…, an)与数k的数量乘积, 记为k.
图G的子图G3
v1
v1
e4
e1 e1 v
4
e3 e6 e2 e3 e6
v3 v3
v4
e5
v2 v2
{e1 , (
e3 ,
e6,}
)
则称E为G的边割集.若{e}为边割集, 则称e为割边或桥
对应的6维向量是什么？
问题：设图G有q条边，其边集合为
{e1 ,e2 , ……,eq}，
每一个子图对应一个以0，1为分量的q 维向量 1.这个对应是否为一一对应？ 2.这样的q 维向量有多少个?图G的子图有多少个？ 3.图的向量空间的维数是多少？如何找到它的一 组基？
定理：图G=(p,q)所有子图作成的集合
{G1,G2, G3 , … , GN}(N=2q)在环合运算和如下 规定的数乘向量运算下作成域F={0,1}上的 q维 向量空间。
0 Gi
1 Gi Gi
这里Gi表示G的子图，i=1,2,3, … , 2q
向量空间构成 非空集合V称作数域F上的向量空间
定义5：向量组1,2,…,s(s2)称为线性相关 的，如果存在不全为零的数k1,k2,…,ks ,使 k11+k22+…+kss=0 如果不存在不全为零的数k1,k2,…,ks ,使
k11+k22+…+kss=0
则称向量组1,2,…,s(s2)称为线性无关的。
定义6：设V 是向量空间，如果有r 个向量
从向量的运算的角度看
（边的顺序标定）
a
b
f d g c
k1{a}⊕k2{b}⊕k3{c}⊕k4{d}
⊕k5{e}⊕k6{f}⊕k7{g}=0
e
k1(1,0,0,0,0,0,0) +k2(0,1,0,0,0,0,0)+k3(0,0,1,0,0,0,0)+
k4 (0,0,0,1,0,0,0)+k5(0,0,0,0,1,0,0)+k6 (0,0,0,0,0,1,0)+
元素间规定了 运算，这个运 算满足交换律， 称作加法
非空集合V
数域F 标量
向量
数乘向量
这个满足 交换律的 运算是什 么？
图G的所有子图
向量
数域 F={0,1}
数乘向量如 何定义？
课堂讨论
1.图G=(p,q)有多少个不同的子图？
2.图G=(p,q)的任意两个不同的子图：
在环合运算下运算封闭吗？
满足交换律和结合律吗？ 零元是什么？ 任意子图的负元是什么？
k,l为数域F中任意数。
四、n维向量空间
定义3：数域F上的n维向量的全体V，同
时考虑到定义在它们上的加法和数量乘 法运算，称为数域F上的n维向量空间。
定义4：设V是数域F上一个向量空间. W
是V 的一个非空子集.如果W对于 V的加法
以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那
么就说W是 V的一个子空间。
分析： 环合运算
Gi G j Gi
G j Gi
Gj
Gi Gi 若记为： 1 Gi 1 Gi 0 Gi
Gi Gi 1 Gi 0 1 G
是否考虑数乘运算为：1 Gi Gi 0 Gi 注意到： 1 1 0 mod2 1 0 1 mod2 考虑： 数集F={0,1}在模2的加法运算和普 通乘法运算下作成数域。
证明的第一部分：判定图G=(p,q)所有子图向量空间 1) Gi⊕Gj=Gj⊕Gi 2) (Gi⊕Gj)⊕Gk = Gi⊕(Gj⊕Gk ) 3) Gi Gi 0 G 1 G G i i i G G 4) i i 5) a(Gi⊕Gj ) =aGi⊕aGj 6) (a+b)Gi=aGi⊕bGi 7) (ab)Gi=a (bGi) 8) 1Gi=Gi
v1
a b d
c
v3
v2
v3
d
v2 v1
a
d c
v3
v
e f
e f
G1
v1
f
v3
G
v3
a
v3 G 2 v2
c
v3
e
G1⊕G2
预备知识1：同余
定义: 给定整数m，如果整数a与b之差被m
整除，(存在 q 使得 a-b=qm)，则称a与b对 于模m同余，或称a同余于b模m，记为 a b (mod m) 如 133 (mod 5) 153 (mod 2) 13 5 (mod 4) 2 0 (mod 2)
预备知识2：环与域
定义1：一个集合Ｒ叫做环，假如：
1.Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数
运算来说作成一个交换群；
２.Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的；
３.关于乘法满足结合律： a(bc) (ab)c ４.关于乘法与加法满足分配律：
a(b c) ab ac (b c)a ba ca
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邢台学院数学系
第五章 圈空间与割集空间
章节内容：§5.1 §5.2 §5.3
图的向量空间 圈空间 割集空间
教学内容：主要讲授图的向量空间、圈空间、割集 空间的概念，以及圈空间和割集空间的构成。 教学要求：理解向量空间、圈空间、割集空间的概
念，能够写出给定图的圈空间和割集空间。
复习：图的子图
这里Gi,Gj,Gk 是G的任意子图， 任意a，b ∈F={0,1}
分析：能否回到传统的向量概念中来
看图的向量空间？
对于一个有p个顶点q条边的G=（p,q）
来说，给图标定，如下图所示，若构做某
个子图时取这条边记为1，不取这条边则
记为零，则每个子图都对应一个以0,1为分
量的一个q维向量。
v1
e1
v e4 4 e5
线性无关，而图的任意子图都可以表示成它们
的线性组合，因此它们是一个极大无关组， 因而是图G的向量空间的一个基。
课堂讨论？
1.为什么选择环合运算？选择“并” 运算或“交”运算如何？
ห้องสมุดไป่ตู้
2 . 既然图G=(p,q)所有子图作成的集
合在规定的加法和数乘运算下作成数 域F={0,1}在模2运算下的向量空间， 那么它的子空间会是什么样的？
i
j
下次课讲授内容：
§5.2
预备知识：
圈空间
1.圈的定义（第一章） 2.生成树的概念及树的等价命题（第二章）
5.2
圈空间
定理
● ● ● ●
设 T 为G的一生成树，
e为G中不属于 T的边，则T+e
含唯一的圈。
●
能构成多少个圈？
●
●
G=(p,q)中的边
树枝p-1
连枝q-(p-1)
有多少个连枝就能产生多少个圈 q-p+1
d
a
c b
i
f h j
e
g
作业 1. 作业： 1)写出下图的两个子图 {a,b,d,j,h} {c,d,i,j,g}的环和; 2)写出下图的两个子图 {a,b,c} {a,b,d,g,i,j}所对应的向量，这 些向量的维数是几; 3)写出下图的向量空间的一组基及该向量空间的向量个数。
d
a
c b g h
k1(1,0,0, …,0) +k2(0,1,0, …,0)+…+kq(0,0,0, …,1)=0(零向量) 1, 0, 0, , 0 0, 1, 0, , 0 0, 0, 1, , 0
0, 0, 0,
, 1
因此，G1= {e1 } ,G2= {e2} ,G3= {e3} ,…,Gq= {eq}
这q-p+1圈的线性关系呢？
这些圈叫 什么？
定义：图G的关于生成树T产生的每一 个圈称作图G的关于生成树T的基本圈， 由q-p+1条连枝产生的q-p+1基本圈称作 G的关于生成树T的基本圈组，记为Cf
v2
q=6
e3
e6 e2 图G
{e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 ,e6} ( 1, 1, 1, 1, 1, 1)
v1
v3
v e4 4 e5
v2
e3
v
e2
{ e2 ,e3 ,e4 ,e5 } ( 0, 1, 1, 1, 1, 0)
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小结：
本节课主要讲授了图的向量空间及相关概念， 要求大家理解图的向量空间概念的深刻含义，对 学科间的联系有深层次的领悟，逐步学会用代数 的方法解决图论中的问题。
作业 1.P80 习题五 5-1 2.补充作业： 1)写出下图的两个子图 {a,b,d,f} {d,f,i,j}的环和; 2)写出下图的两个子图 {a,b,c} {a,b,d,g,i,j}的环和; 3)写出下图的两个子图 {a,b,c} {h,i,j}的环和;