上海教育出版社初三数学上册锐角的三角比的意义

(2) tan A cot B, tan B cot A
如图，△ABC和△PQR都是直角三角形，∠C=∠R=90°，
AC=7，BC=5，PQ=13，PR=12. 求：（1）tanB 、cotA； 7
（2）cotP、cotQ.
A
C P
5
B
12 R
？
13
解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 在Rt△PQR中，∠C=90°， Q
AC1 AC2 AC3
C1 C2 C3
A
∵∠A是公共角， ∠AC1B1=∠ AC2B2=∠AC3B3=90°,
AB1C1∽AB2C2，
B1C1 AC1 ， 即 B1C1 B2C2 ，
B2C2 AC2
AC1 AC2
AB2C2∽AB3C3，
B2C2 AC2 ， 即 B2C2 B3C3 ，
AC 3
BC 4
4
5
cotA AC 3 BC 4
cot B BC 4 AC 3
D
C
3
A
B
A CD tan B cot∠DCB BD AC tan B cot A BC
AD tan∠ACD cot A C CD
【小结】在Rt△ABC中，∠C =90°，则有
(1) tan Acot A 1 (tan A 1 ) cot A
M
2、如图，在△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB， 垂足为点D，
⑴在△ABC中，∠A的对边是_B__C__， ∠A 的邻边是__A_C__; 在△ACD中，∠A的对边是__C_D__ ， ∠A 的邻边是_A__D__. ⑵在Rt△_A_B__C_中，∠B的对边是AC，在Rt△_B_C__D_中，∠B的邻 边是BD. ⑶∠ACD的邻边是_C__D__ ，∠BCD的对边是__B_D__.
D
AD __t_a_n_∠__A_C_D__或__c_o_t_A___ .
CD
B
C
（用正切或余切表示）
思考4：在同一个Rt△ABC中，∠C =90°，
（1）∠A的正切和余切有怎样的数量关系？
（2）∠B和∠A互余，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数
量关系？
B
tan A BC 4 tan B AC 3
∵BC=5，AC=7,
∵PR=12，PQ=13,
∴tan B AC 7 , BC 5
∴cotA AC 7 . BC 5
∴RQ=5， ∴cot P PR 12 ,
RQ 5 ∴cot Q RQ 5 .
PR 12
想一想：小明站在离旗杆底部10米远处，视线与水平线的
夹角为34°，并已知目测高度为1米．然后他很快
个锐角的对边与邻边的长度的比值是一个确定的值.当直角三角形
中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值
随着变化吗？
如图，在Rt△ACD和Rt△ACE中∠ACE=90°，
E
N M
∠DAC的对边 ∠DAC的邻边
=
DC AC
D
∠EAC的对边 ∠EAC的邻边
=
EC AC
A
C
P
显然，DC 与 EC AC AC
这两个比值是不同的.
【小结】直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值 随着这个锐角大小的变化而变化.
例题1 在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，AB=5， 求tanA、cotA和tanB、cotB的值.
B
4
5
C？
A
解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵BC=4，AB=5, ∴AC=3 ∴tan A BC 4 , AC 3 ∴cotA AC 3 , BC 4
C
A
D
B
思考1：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o， 你知道这个角的对边与邻边的比值是多少吗？
B
B’
设BC=a， 则可得AC= 3a ，
a b
C 3aC’
30°
3b
A
所以，BC 3 .
AC 3
如果在边AB上任来自百度文库一点B’，过点B’作B’C’⊥AC，垂足为点
C’，那么△AB’C’中， 30o角的对边与邻边的比值是多少？
∠A的正切：tan
A
锐角A的对边 锐角A的邻边
=
BC AC
a b
B
c
a
∠A的余切：cot
A
锐角A的邻边 锐角A的对边
=
AC BC
b a
C
b
A
2、在Rt△ABC中，∠C =90°，则有
(1) tan Acot A 1 (tan A 1 ) cot A
(2) tan A cot B, tan B cot A
B3C3 AC3
AC2 AC3
B1C1 B2C2 B3C3 AC1 AC2 AC3
【小结】如果给定直角三角形的一个锐角的大小，那么这个锐角 的对边与邻边的比值就是一个确定的值.
B
我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边 的比叫做这个锐角的正切(tangent).锐角A的
c
正切记作tanA
a
C
b
想一想：小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部， 视线与水平线的夹角为34°，并已知目测高度为1米． 然后他很快就算出了旗杆的高度.小明是怎么算出来的呢？
34° 1米
10米
（A
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，
∠A
直 角的 边邻
边
）C
斜边 我们把AB称作斜边，AC、BC称作直角边.
直角边
A
tan
A
锐角A的对边 锐角A的邻边
=
BC AC
a b
那 么 ∠A 的 邻边AC与对 边BC与的比 值总是确定 的吗？
我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边 的比叫做这个锐角的余切(cotangent).锐角A 的余切记作cotA
cot
A
锐角A的邻边 锐角A的对边
=
AC BC
b a
思考3：我们已经知道，直角三角形中一个锐角的大小确定时，这
∴tan B AC 3 , BC 4
∴cot B BC 4 . AC 3
除了用一个大写字母表示角， 其他情况都不能省略“∠” 的符号.
例题2 如图：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
垂足为点D，则
A
CD BD
_t_a_n_B__或__c_o_t∠__D__C_B___；
AC _t_a_n_B__或__c_o_t _A______； BC
就算出了旗杆的高度.小明是怎么算出来的呢？
求什么？
A
34°
10米
B
C ？米
34 °
1米
10米
1米
D
10米
1米 tan BAC BC AC
E
tan 34 BC
10
尝试画出 几何图形.
还能知道哪些 线段的长度？
BC 10 tan 34
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定后，∠A的对 边与邻边的比值（邻边与对边的比值），是一个确定的值.
B
（∠A的对边）其中与∠A相对的直角边称为∠A的对边，
与∠A相邻的直角边称为∠A的邻边.
∠B的对边是什么？ ∠B的邻边又是什么？
练一练：
1、如图，在Rt△MNP中,∠N=90°,
N
∠P 的对边是__M_N___， ∠P 的邻边是__P__N__，
∠ M的对边是__P_N___，∠M的邻边是__M__N___. P
在一个直角三角形中，如果给定一个锐角 等于30°，那么这个角的对边与邻边的比
B'C ' 3 . AC ' 3
值是一个确定的值，等于 3 .
3
思考2：在一个直角三角形中，如果给定一个锐角的大小，那么 它的对边与邻边的比值是否还是一个确定的值呢？为什么？
B1
什么意思？
B2
B3
B1C1 B2C2 B3C3