第一章非线性振动初步讲解

2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 2 sin 0 0 2 dt
双曲点
乘以 d / dt 后积分 其中 E 2 2 cos 0 0
d 2 E 20 cos dt
2
积分 d [2(cos cos )1 / 2 0 0
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 sin 0 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
dt
0t
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin得：
1 2 2 0 1 3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
1
小角度无阻尼单摆
相图
d 2 0 2 dt
椭圆点
使 0 1 得：
一次积分后： 1 d 2
1 2 E 2 dt 2
单摆完整相图
1.坐标原点[ 0， 0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 0]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 2.平衡点[ 0 ]到 [ 0 ]或相反的连线为分界线 3.从[
0 0
式中 C1, C2为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 C1, C2 必 须满足条件： * i0t * i0t C1 e C2 e C1ei0t C2ei0t
将 C1, C2 写成指数形式后得：
(t ) ( P / 2)(ei ( t ) ei ( t ) ) P cos(0t )
积分得双曲方程：1 df 2 1
2 2 f E 2 dt 2
当E＝0时有
df f dt
0，f 0 ]处的双曲线的渐近线， 这是在[ f 这点称为双曲奇点，也称鞍点。 相图上这点为的[ , 0 ]点。
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
双曲点
在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，f 2 代入单摆方程 d 2 sin 0
dt2
0
得方程
d 2f 2 0 sin f 0 2 dt
利用 sin x x 得方程
d 2f 2 f 0 2 dt
d 2 g sin 0 2 dt l
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 2 dt
式中角频率：
非线性方程
0 g / l
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
线性化处理
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项 得线性方程
sin x x
d 2 2 0 0 2 dt
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
椭圆点
令 e t 2 2 代入方程得得特征方程： 0 0 1,2 i0 特征根： 得通解为： (t ) C1ei t C2ei t
第一章 非线性振动初步
非线性振动初步
第一节 第二节 第四节 无阻尼单摆的自由振荡 阻尼振子 受迫振荡
第三节 相图方法
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2 ml 2 F m gsin dt
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方 程是一个圆周方程，圆的半径为 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转 动。
1
小角度无阻尼单摆
相图
椭圆点
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用 相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时 刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的 运动轨迹称为轨线。 能量方程 2 1 d 1 2 K V E E 右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过 程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当K =V =0时，E=0，有 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能 量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。 同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。