连续时间系统稳定性研究及应用

连续时间系统稳定性研究及应用

(西安建筑科技大学，理学院，陕西西安，710055)

摘要：创建状态方程是分析连续时间系统的基础，拉普拉斯变换是分析系统的有效工具。文章介绍了分析连续时间系统的基本流程，阐述了系统模型的创建方法，并用拉普拉斯变换对连续时间系统进行了稳定性分析。

关键字：连续时间系统；拉氏变换；时域；频域；稳定性；

系统分析就是已知系统结构和参数，研究系统的特性或计算给定激励下系统的输出。分析系统首先要根据系统结构建立描述系统的数学模型，再采用适当的数学方法分析这个模型，找出反映系统基本性能的特征量，或求解给定激励下系统的输出。在连续时间系统中，线性时不变连续时间系统是最基本的连续时间系统，电路网络或结构框图是常见的系统结构描述形式。下面以线性时不变连续时间因果稳定系统为例，介绍系统分析的基本流程，阐述创建电路网络或结构框图数学模型的基本方法，并用拉普拉斯变换法对连续时间系统进行稳定性分析。

1 系统分析流程

系统分析实质上是根据系统模型进行数学运算的过程。分析系统首先要根据系统结构，建立一个描述系统的数学模型。微分方程只与连续系统的自身结构有关，反映了系统的自身特性，是最基本的系统模型。在零状态条件下，将微分方程两边进行拉普拉斯变换很容易得出系统函数。系统函数的拉氏反变换就是描述系统时间特性的特征参

数——单位冲激响应；将系统函数的s 变量用jw 代入即可得到描述系统频率特性的特征参数——频率响应。对系统进行时域分析，主要是求解微分方程，也可通过计算系统输入与单位冲激响应的卷积，在时域直接求解系统的零状态响应；对系统进行

频域分析，主要是寻求系统输出随频率变化

的规律，也可根据卷积性质把时域中的卷积

计算变换成频域中的乘法运算。而拉普拉斯

变换是简化运算的有力工具，根据系统函数

其极点位置也可方便判断系统的稳定性。分

析系统的主要流程如图1所示。

2 系统模型的创建

系统模型的创建过程，就是根据系统结构建立描述系统的微分方程或系统函数的过程。实际系统可能是多输入多输出系统，但根据系统的线性特性，多输入多输出系统可分解成多个单输入单输出分别计算，再进行叠加处理，故这里只分析单输入单输出系统模型的创建。创建系统模型可以有不同方法，本文介绍一种借助状态变量，通过建立状态方程和输出方程，再将其转换成系统函数或微分方程的方法。状态方程是一组一阶的状态微分方程：=A..B x λλ+，输出方程描述了输出与状态和输入的关系：..y C D x λ=+。因微分方程都是一阶的，创建容易，方程建好后，转换计算可调用MATLAB 函数实现。现以电路网络和结构框图为例，分别介绍系统模型的创建方法。

2.1 电路网络系统模型的创建

一般地，由电路网络建立状态方程的步骤如下：

（1）选择电容的电压和电感的电流作为状态变量；

（2）对每个电容，应用KCL 写出该电容的电流./c C du dt 与其它状态变量和输入量的关系式；

（3）对每个电感，应用KVL 写出该电感的电压./c L di dt 与其它状态变量和输入量的关系式；

（4）对步骤（2）、（3）所建立的方程式，两边分别除以C 或L 就得到状态方程；

（5）用KCL 、KVL 写出用状态变量和输入量表示的输出，即得输出方程。

实例1: 电路网络如图2所示，试求该电路的系统函数并写出系统的微分方程。

选择电容的电压和电感的电流作为状态变量，根据电路列写KCL 和KVL 方程，整理得到状

态方程和输出方程：

1211..c du i i dt C C

=- 111111

11...c di R u i x dt L L L =--+ 222221..c di R u i dt L L =- c y u =

将电路参数代入即可

得到状态矩阵。将状态矩阵转换成系统函数的MATLAB 程序 由系统函数可直接写出微分方程：

'''''''()6()15()24()2()4()y t y t y t y t x t x t +++=+

2.2 结构框图系统模型的创建

结构框图是描述系统更通用的一般形式。由结构框图建立状态方程的一般规律是：

（1）选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量；

（2）围绕加法器列写状态方程和输出方程。

实例2: 系统的结构框图如图3所示，试求系统函数并写出系统的微分方程。

根据系统框图列写状态方程和

输出方程如下：

.

112361524x λλλλ=---+ .21

λλ= .32λλ= 2324y λλ=+

由状态方程和输出方程可直接写出状态矩阵。转换成系统函数的MATLAB 计算创建并显示系统函数 得到的结果与实例1相同。 3 连续系统的时域分析

连续系统的时域分析主要是求解系统在连续信号激励下的输出。一个线性时不变连续时间系统可以用线性常系数微分方程描述，对系统的时域分析可归结为如何利用数学方法对该方程求解。早期的经典法就是直接求解微分方程，得到与齐次解对应的自由响应和与特解对应的强迫响应。这种方法计算复杂、花时费力。利用拉氏变换可简化运算，间接求解微分方程。设LTI 因果系统的微分方程一般式为： ()(1)'()(1)'11110()()...()()()...()()n n m m n n m m a y t a y t a y t b x t b x t b x t b x t ----+++=++++

一般从激励信号的加入时刻开始计时，起始状态（简称0- 状态）包含了计算未来响应的全部过去信息。对微分方程两边进行下限为0- 的单边带拉氏变换，利用拉氏变换的微分性质，并考虑到0x -及其各阶导数都为0，整理有：

()()()()()A s Y s B s X s C s =+

1110

()...n n n n A s a s a s a s a --=++++ 1110()...m m m m B s b s b s b s b --=++++

11()10()(0)

n k k r r k k r C s a s y ----===∑∑

根据系统的微分方程，可直接写出 ()A s 和 ()B s ，由系统的起始状态可算出()C s ，将系统输入进行拉氏变换可得到()X s 。系统函数()()()

B s H S A s =，将系统函数进行拉氏反变换就是单位冲激响应；将()()

C s A s 进行拉氏反变换得到零输入响应；将().()/()B S X s A s 进行拉氏反变换得到零状态响应；零输入响应与零状态响应的和即为全响应。整个分析过程均可用MATLAB 实现，这里仅讨论特征根为单根情形，如遇重根可人为适当拉开，再按单根处理，只要拉开距离适当，这种处理在工程上是完全可行的。

注意利用ilaplace 函数计算各响应时域解析式时，输出结果一般还要进行手工合并处理。拉氏反变换也可用部分分式展开法计算，大致包括三步：首先将相函数化简成有理分式形式；然后用residue 函数求出留数和极点；最后再通过查表得到原函数的解析式。如果只需