菱形性质和判定

菱形

知识点回顾

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）

2、性质：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；

（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；

（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．

3、菱形的判定方法:

一组邻边相等的平行四边形是菱形

对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形

对角线互相垂直平分的四边形是菱形

四条边都相等的四边形是菱形

4、识别菱形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．

（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．

（3）说明四边形ABCD的四条相等．

5、面积:设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=

1

2

ab

例题解析

1.如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO= ．

2.如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，

∠BAE=15°，求∠CEF的度数。

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，CD．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；（5分）

（2）若BC =8，AC =6，求四边形ABCF的周长．（5分）

4. 如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（）

A．点F B．点E C．点A D．点C

第3题图

E

D

C

练习

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y

轴上，则点C的坐标是．

2.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最

小值是．

3.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当

菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．

4.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于

点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

5. 如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC 于点E、F，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形.

6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连结BE交AC于点F，连结DF．

（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=23，BD=2,求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD＝∠BAD，并予以证明.

7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD 于点G．

（1）求证：BF=AE+FG；

（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．

8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．

（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．

9.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；

（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？