气体动力学部分清华大学课件

T = (1+ γ −1 M 2 )−1
T0
2
a
= (1+ γ
−
1
M
2
)
−
1 2
a0
2
ρ
=
(1 +
γ
−
1
M
2
−
)
γ
1 −1
ρ0
2
p
= (1+ γ
−
1
M
2
−
)
γ γ −1
p0
2
V = a, M = 1
p* , ρ * , T* , h*
⎧ ⎪ ⎪
T* T0
=
a*2 a02
=
γ
2 +1
M
=1
⎪
⎪ ⎨ ⎪
V × Ω = −T∇S
25
几点讨论：
V × Ω = −T∇S
（1）无旋流动必然是均熵的，即在全流场中 S＝const
（2）非均熵流动必然是有旋的； （3）均熵流动不一定是无旋的，有三种可能：
(i) V = 0; (ii) Ω = 0; (iii) Ω //V
对于平面或轴对称流动： V ⊥ Ω
∇S = 0
定常流场中等熵滞止
V , p, ρ,T ,h
V = 0,
p0 , ρ 0 , T0 , h0
h0
=
c pT0
=
a02
γ −1
=
V2 2
+
γ
γ
−1
p
ρ
=
V2 2
+
a2
γ −1
=
V2 2
+
h
=
V2 2
+
cpT
p0 = Rρ0T0
p0
ρ0γ
=
p
ργ
S0
=
S
=
cv
ln(
p
ργ
)
+
const
28
关于滞止参数的几点说明：
第七章
气体动力学基础
1
气体动力学研究压缩性起重要作用时流体 （主要是气体）的运动规律。
Dρ = ∂ρ +V ⋅∇ρ
Dt ∂t
高速 密度梯度很大 密度的局部导数很大
压缩性影响 必须考虑！
2
p
ργ
= const
p = RT
ρ
dp = γ dρ = γ dT p ρ γ −1 T
ຫໍສະໝຸດ Baidu
气体力学： 1. 高速空气动力学：特征尺度小 2. 气体波动力学：物理量的梯度和局部导数较大
0
[(γ+1)/(γ−1)]1/2
5
10
15
20 35
M
用速度系数表述的等熵关系式：
⎧ ⎪
ρ
dp
T∇S = ∇h − 1 ∇p
ρ
h0
=
V2 2
+24
h
（二）均匀来流绝热流动（另外还满足Crocco 定理条件）
沿流线伯努力积分：
V2 2
+
γ
γ
−1
p
ρ
+
Π
=
V2 2
+
h
+
Π
=
h0
+
Π
=
c(l)
h0 = const
均匀来流：
全流场：h0 = const
∇h0 = 0
均匀来流绝热流动Crocco定理：
ρ* ρ0
1
=
⎛ ⎜ ⎝
γ
2 +
1
⎞γ ⎟ ⎠
−1
⎪
γ
⎪ ⎪ ⎩
p* p0
=
⎛ ⎜ ⎝
γ
2 ⎞γ −1
+1
⎟ ⎠
γ = 1.4
双原子分子
p* = 0.528
p0
33
关于临界参数的几点说明：
（1）临界参数是假想参数，流场中每一空间点 或流体质点都有这样假想参数；它们也可以是 实际参数，若流场中有临界点（M＝1的点）。 （2）在完全气体的定常等熵流场中，沿每一条 流线所有临界参数都分别保持常值。 （3）临界参数值于坐标系有关。
原静止均匀场
10
2）支配方程
⎧ ∂ρ
⎪ ⎪ ⎪
∂t ∂u
⎨ ⎪
∂t
+ ∂(ρu)
∂x + u ∂u =
∂x
= −
0
1
ρ
∂p ∂x
⎪ ⎪⎩
p
=
cρ
γ
3）基本方程组的线化
⎧p(x,t)
⎪⎨ρ(x,t)
= =
p0
ρ0
+ +
p′(x,t)
ρ′(x,t)
⎩⎪u(x,t) =u′(x,t)
小量！
11
小扰动方程：
III）音速是一状态参数
IV）声音是以波的形式传播的，音速是波速
不能与流体质点的速度相混淆！
16
（二）马赫数
1. 定义： M = V a
马赫数是可压缩流体运动中最重要的相似参数!
2. 物理意义
a) 气体的动能和内能的比值度量
动能 ∼ V 2 2 = V 2 2 = V 2 2 = V 2 2 = γ (γ −1)M 2
23
Crocco定理证明：
V × Ω = ∇h0 − T∇S
Lamb型理想流体的运动方程：
∂V + ∇(V 2 ) −V × Ω = f − 1 ∇p
∂t
2
ρ
定常条件：
∂V = 0 ∂t
质量力略去不计：
f =0
热力学公式：
TdS
=
dQ
=
pd
(
1
ρ
)
+
de
=
pd
(
1
ρ
)+
d(h −
p
ρ
)
=
dh −
1
a02
=
( ∂p
∂ρ
)0
ρ
=
∞
不可压缩流体与可压缩流体 的主要差别之一！
15
关于音（声）速的几点说明：
I）当气体不是静止，而是作均匀等速直线运动： 小扰动以音速相对于运动气体传播
II）当气体作不等速运动或流场是非均匀的,定义：
a02
=
(
∂p
∂ρ
)0
S
=γ
p0
ρ0
= γ RT0
小扰动相对当地气体运动的传播速度——“局部音速”
∂2 p′ ∂t 2
−
a02
∂2 p′ ∂x2
=
0
∂2 p′ = 0
∂ξ∂η
一般解： p′ = f1(ξ ) + f2 (η) = f1(x − a0t) + f2 (x + a0t)
f1和f2的具体形式由边界条件和初始条件确定 13
5）波动方程解的分析
t
t＝3
dx dt
=
a0
t＝2
t＝1
t＝0
x
p′ = f1(x) 初始压力扰动
右行平面波
dx dt
=
−a0
t
t＝3
t＝2
t＝1
t＝0 x
p′ = f2 (x) 初始压力扰动
左行平面波 14
6）音速
I）小扰动传播过程是等熵过程
a02
= ( ∂p
∂ρ
)0
S
=γ
p0
ρ0
= γ RT0
拉普拉斯
II）流体介质均质不可压缩
ρ = const → Δρ = 0
−
1
M
2
−
)
1 2
a0
2
p = RρT ⎫
p0
=
Rρ0T0
⎬ ⎭
状态方程
p p0
=
ρT ρ0T0
=
ργ ρ0γ
过程方程：p
ργ
=
p0
ρ0γ
( ρ )γ −1 = T
ρ0
T0
√
ρ
=
(1 +
γ
−
1
M
2
−
)
γ
1 −1
ρ0
2
p
=
(1 +
γ
−1 M
−γ
2 ) γ −1
p0
2
31
等熵关系式的几点说明：
（1）等熵关系式本身是建立流场中任一点的流动参数
（1）它们是假想参数，流场中每一个空间点或流体质点 都有这种假想参数；它们也可以是实际参数（若流场中 有驻点，则它们就是驻点处的实际参数）。 （2）在理想、常比热完全气体的定常等熵流动中，沿 每一条流线所有滞止参数分别保持常数。
（3）滞止参数与坐标系有关！（上述计算公式只适用 于惯性坐标系）
29
（四）等熵关系式
⎧ ∂ρ ′
⎪⎪ ∂t
+
ρ0
∂u′ ∂x
=
0
⎨ ⎪
∂u′
⎪⎩ ∂t
+
1
ρ0
a02
∂ρ ′
∂x
=
0
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
∂2u′ ∂t 2
∂2ρ′
∂t 2
− a02 − a02
∂2u′ ∂x2
∂2ρ
∂x2
=0 ′ =0
∂2 p′ ∂t 2
−
a02
∂2 p′ ∂x2
=
0
1 ∂p = 1 dp ∂ρ ρ ∂x (ρ0 + ρ′) d ρ ∂x
3. 小范围内的大气动力学：温度梯度较大
4. 高温气体动力学：大的温度梯度
3
§7.1 高速空气动力学的基本特征
特点：速度大，特征尺度小
⎧ ∂ρ
⎪ ⎪
∂t
+
∇
⋅ (ρV
)
=
0
⎪⎨ρ
⎪
DV Dt
=
ρ
f
+∇⋅P
⎪ ⎪ ⎩
D Dt
(
e
+
V2 2
)
=
f
⋅V
+
1
ρ
∇ ⋅ (P ⋅V ) + qR
+
1
ρ
∇ ⋅ (λ∇T )
pij
=
[− p
+
(μ′ −
2 3
μ)∇ ⋅V
]δij
+
2μ Sij
4
（一）在动量方程中
ρ DV = ρ f − ∇p − 2 ∇(μ∇ ⋅V ) + 2∇ ⋅ (μS)
Dt
3
惯性力的量阶：ρ DV ∼ ρ V = ρ V 2
Dt L V L
粘性力的量阶：−
2 3
∇(μ∇
⋅V
)
+
2∇
⋅
(μ
S
)
∼
μ
§7.3 理想、常比热完全气体的定常等熵流动 （一） 克罗柯定理——间断流场
22
克罗柯定理:
若理想流体作定常流动，且质量力可略去不计时，
则在整个流场中有如下Crocco方程成立：
V × Ω = ∇h0 − T∇S
将总焓、熵与涡量之间的关系联系起来， 可以用来判断间断流场是否有旋， 也适用于没有间断流场。
=
1
ρ0
(1 −
ρ′ ρ0
+
⋅
⋅
⋅)[(
dp
dρ
)0
+
⋅⋅⋅] ∂ρ′
∂x
=
1
ρ0
( dp
dρ
)0
∂ρ ′
∂x
≡
1
ρ0
a02
∂ρ ′
∂x
波动方程
p′
=
p
−
p0
=[
p0
+
(
dp
dρ
)0
Δρ
]
−
p0
=
(
dp
dρ
)0
(ρ
−
ρ0
)
=
a02
ρ′
12
4）波动方程求解
作坐标变换：
⎧ξ ⎨⎩η
= =
x x
− +
a0t a0t
V L2
惯性力 ∼ 粘性力
ρV2
L
μ
V L2
=
ρVL μ
= Re
105～106
理想 流体
5
（二）在能量方程中
ρT Ds = ρ Dh − Dp = − 2 μ(∇ ⋅V )2 + 2μS 2 + ∇ ⋅ (λ∇T )
Dt Dt Dt 3
质量携带的能量变化：ρ Dh ∼ ρ cpT = ρcpVT
Dt L V L
34
（六）速度系数
1. 定义：
λ=V
a*
2. 速度系数与马赫数之间的关系：
λ = V = V a a0
a* a a0 a*
λ
=
⎡
⎢⎣ γ
2 +1
(1 +
γ
−1 2
M
2
⎤
−
1 2
)⎥⎦
M
M
=
⎡γ
⎢⎣
+1 2
(1 −
γ γ
− +
1 1
λ
2
)
⎤ ⎥⎦
−
1 2
λ
λ
2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0
Dt
3
惯性力的量阶： ρ DV ∼ ρ V = ρ V 2
Dt L V L
质量力的量阶： ρ g ∼ ρ g
惯性力
∼
ρ
V2 L
重力 ρ g
= V 2 = Fr Lg
(弗洛德数）
忽略重力！
7
高速空气动力学中通常假定：
1）忽略气体的粘性 2）过程是绝热的 3）忽略重力 4）常比热完全气体
8
§7.2音速、马赫数 （一）微小扰动在理想完全气体中的传播、音速
内能 cvT cv p
cv p 1 p
2
R ρ cp − cv ρ γ −1 ρ
b) 气体的惯性力和弹性力的比值度量
惯性力 弹性力
∼
DV Dt 1 ∇p
~
V2 L
p Lρ
=
γM2
17
ρ
3. 流动分类
M<1，亚音速流动 M~1，跨音速流动 M>1，超音速流动 M>5，高超音速流动
18
4. 亚音速流动与超音速流动之间的最重要差别 ——扰动影响区域的不同
po To ρo
o
uo=0
x
某瞬时发生微小扰动
管内流动
9
1）定性分析
（I）一维流动：所有物理量都只是x和t的函数
（II） 小扰动：
⎧p(x,t)
⎪⎨ρ(x,t)
= =
p0
ρ0
+ +
p′(x,t)
ρ′(x,t)
小量！
⎪⎩u(x,t) =u′(x,t)
（III）小扰动＋绝热 可逆、等熵
均熵
p = cργ
ρ0
2
ρ = 1− M 2 + γ M 4 + ...
ρ0
28
ρ0 − ρ = Δρ = M 2 − γ M 4 + ...
ρ0
ρ0 2
8
⎧M ⎨⎩M
= 0.2, Δρ = 0.3, Δρ
ρ0 ≈ 0.02 ρ0 ≈ 0.045
32
（五）临界参数 定常流场中等熵加速或减速
V , p, ρ,T ,h
伯努力方程：
h0
=
V2 2
+
γ
γ
−1
p
ρ
=
V2 2
+
a2
γ −1
=
V2 2
+
h
=
V2 2
+
cpT
=
c pT0
=
a02
γ −1
c pT0
=
V2 2
+
a2
γ −1
cpT
=
a2
γ −1
T = (1+ γ −1 M 2 )−1
T0
2
30
（四）等熵关系式
T = (1+ γ −1 M 2 )−1
T0
2√
a
= (1+ γ
a 2a 3a
2a 3a a
静止气体 M=0
亚音速气流 M<1
扰动波传播的绝对速度：aeR + V∞i 19
4. 亚音速流动与超音速流动之间的最重要差别 ——扰动影响区域的不同
2a 3a a
a θ
3a 2a
θ = sin−1 a = sin−1 1
V
M
M=1
超音速气流 M>1
扰动波传播的绝对速度：aeR + V∞i
Ω=0
26
（二）理想、常比热完全气体的定常等熵流动的基本方程
伯努力方程：
V2 2
+
γ
γ
−1
p
ρ
=
V2 2
+
a2
γ −1
=
V2 2
+
h
=
V2 2
+
cpT
=
h0
=
E(Ψ)
状态方程：
p = RT
ρ
过程方程：
p
ργ
= c(Ψ)
在同一条流线上 分别保持常数
连续方程： ∇i(ρV ) = 0
27
（三）滞止参数（一种特征参考量）
热传导： ∇ ⋅ (λ∇T ) ∼ λ T
L2
携带热 ∼ ρcpVT
传导热
λ
T L2
L = ρVL ⋅ μcp μλ
= Re⋅ Pr
忽略热传导
Pr = μcp , Prandtl数，对于空气Pr ∼ 0.737 过程绝热！
λ
6
（三）在动量方程中
ρ DV = ρ f − ∇p − 2 ∇(μ∇ ⋅V ) + 2∇ ⋅ (μS)
20
作业
1. 已知飞机以每小时1000km的速度在海拔 9000m的高空飞行，T=223K，已知空气γ=1.4 R=287.43J/kg.K，求飞机的飞行马赫数M。
2. 已知飞机在1500m高空以速度750m/s水平 飞行，若音速为335m/s，问飞机飞过观察者 头顶多少距离才能听到飞机的响声？
21
与其滞止参数之间的关系。 V , p, ρ,T , a ~ p0, ρ0,T0, a0
（对于定常等熵流动可方便得到流线上任意两点处
流动参数之间的关系：
如：T1 T2
= T1
T0 T2
T0
（2）在可忽略重力的定常等熵流动中M≤0.2~0.3
可忽略气体的压缩性。
ρ
=
(1 +
γ
−1 M
−1
2 ) γ −1