三类分母含二次根式的不定积分
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１
＝
ｃ ， ・
情形， 例如Ｉ ■■—— （ —Ｌ — ＝二 ＝ｄ ｚ 。
一
１ ）
ｘ ＋ ＋１
（ 一 一 ］ （ ： ） ＝ ＿ ＋ ， ［ 一 １ ＿ ｝ 一 ］ （ 一 １ ） ＝ 一 ＋ 寻
ｒ ｄ ｕ
（ ２ ）若 ＋ ｐ ｘ＋ ｇ 的 Ａ＝Ｐ 一 ４ ｑ＜０ ， 则这种 类型的积分称为不可约的 ， 通常先利用分式线性代
－ ｆ ≠
令 ＾
一
＝
１
一
＋１
例 ２ 求 』 （ 一１ ）￣ ／ ． ． — — ． ＋ ． ． ． — — ． ＋１ ． ． ． ． 一 ‘
解： 令 ＝ 一１
１
１
——． ＝ ＝ ＝二＝＝ ｄ
一
（ 一１ ）
＼ 一 ａ ＋ ２ ＼ 一
１ ｌ ５ ２
一
（ ３ ） ／ 南 ＝ ｌ ｎ Ｉ ＋ ｌ ＋ ｃ ， 口 ≠ 。
（ ４ ） 』 ＝ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ 羔＋ ０ Ｃ
） ｄ ｘ 。 ＋Ａ ＋ ０ ｌ ＋口 ０ ）・
— — 妻 ｎ ＋ ２ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ＋ Ｃ
第３ ４卷 第 ６期 ２ ０ １ ６ 年 １ １月
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
．
Ｊ ． 毒
１
易 得 ３ Ｐ （ ）一 Ｙ ＝３ （ ｘ ２ 一 ＋１ ）一（２＋ ＋１ ）＝２ （ ｘ一１ ）
＝
一
＼
ｎ
ｎ
√ （ 西 丽 ＋ 譬 ） ＋ １ ｌ ， ３ － ｔ ＋ ＋ 厢 ｌ ＋ Ｃ ｌ ＋ ＋３ ３
一
（ ） 一 ｙ ＝ ÷ （ ２ 一 ＋ １ ） 一 （ ２ ＋ ＋ １ ）
： 一
（ ＋１ ） ：
＋ｃ
得 到 ・ ＝ ２ ， ８ ２ ＝ 一 寺 ； ＝ １ ， ａ ２ ＝ ； 卢 ・ ＝ 一
１， ２ ＝ １ ．
对于类型 ２ ， 作倒代换 ， 将上
换元 ， 如例 ３ 中
０ｃ
于是
戈一 １ ０ ［ ２ ｘ＋
当 ｋ＝ １直接 运用 积分 公式 就可 得到结 果 ， 当 ｋ＞
① 收稿 日期 ： ２ ０ １ ６—１ ０— ０ ６
“
、
基金项 目： 安徽新华学院教育教学研 究项 目（ ２ ｍｓ ｊ ｙ ｏ ３ ８ ． ） ； 安徽新华学院质量 工程项 目（ ２ ０ １ ５ ｊ ｓ ｋ ｃ ｘ ｌ １ ）。 作者简介 ： 李啸芳 （ １ ９ ８ ８一 ） ， 女， 安徽合肥人 ， 讲师 ， 硕士． 研究方 向： 组合设计 。
第 ６期
李啸芳 ， 等： 三类分母含二次根式的不定积分
１ ０ ４ １
＝
一
Ｊ ．
令 ｆ： ：一
Ａ Ｐ（ ｘ ）一ｙ＝Ａ （ 一 ＋１ ）一（ ＋ ＋１ ）为— — 个
完全平方式 ， 则Ａ＝（ Ａ＋１ ） 一 ４ （ Ａ一１ ） ＝０ 得
Ａｌ ＝ ３， Ａ２ ＝ １
— 嗍ｎ ＋ 萼＋ ２ ａ ｒ ｅ ｓ 锄 ｉ ｎ ＋ Ｃ
一
１
｜ ５ ２
在此基础上解决以下三种类型的， （ ） 分母含
有二次 根式 的不定 积分 类型 １
１
＝ ＝
ａ
ｎ
本 题 一开 始 将根 式 里 的二 次三 项 式进 行 规 范
）＝（ 口
化， 然后对平方项作换元 ， 此方法对于解决类型一
１ ， 经过一开始的换元后将其转化为类型一求解 ， 例
＝
±
如 Ｊ ． （ １ ）
一
而
１
１ ）
类型 ３
。
又ｚ wenku.baidu.com ｃ ，
（ １ ）若 ＋ ＋ ｑ 的△ ＝Ｐ 一 ４ ｑ ≥Ｏ ， 贝 Ⅱ ＋ ＋ｑ 可 因式分 解 ， 再裂项 转 化为类 型 ２中 ｋ＝１ 的
由 Ａ ｆ ｌ ＋ Ｂ １ ： ＝ ｌ 得 Ａ ＝ １ ， ＝ ÷
ｒ ｄ ｘ
换 ： 年 消去 分 母中 的 一 次项， 再 利用 三角 换
元或欧拉换元进行进一步求解 ， 其计算过程相 当复 杂。 此种类型可利用以下定理进行解答。
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ６
文章编号 ： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２（ ２ ０ １ ６ ） ０ ６—１ ０ ４ ０— ０ ３
三类 分母 含 二 次 根式 的不 定 积分①
李啸芳 ， 朱 芳， 汪 慧
（ 安徽新华学院 公共课教学部 。 安徽 合肥 ２ ３ ０ ０ ８ ８ ｌ
摘
要： 着重介绍三类含二次无理根式的不定积分的求解问题 ， 针对每种类型提 出典型的有效
方法 。
关键词 ： 二 次根 式 ； 二 次三 项式规 范化 ； Ｊ ｒ ｌ 代换； 分 式线性 代换
中图分 类号 ： ０ １ ７ ５
文 献标识 码 ： Ａ
（ ｕ＋ １） （ ｕ＋ １）＋ｌ
０ 引 言
目前 我 们 已知 关 于被 积 函数 含 有 二次 根式 的 不定 积分结 果 已是课本 中的基本 公式 有
一
（ １ ）
（ ２ ） Ｊ ．
＝
＝
＋ 譬 ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ 詈 ＋ ｃ
Ｉ ＋ ｃ ， 口 ≠ ０
：
＝
＋ 号 １ ｎ Ｉ ＋ 厨
的题 目很有效 ， 经 过换元 后利用 积分基 本公 式特 别 方便 ， 例如
类型 ２ ，
＝
， （ 口≠０ ） 且口 ＋ｂ ｘ＋ ｃ 不是一 个完
√ｎ ‘＋ ６ ＋Ｃ
兰＝
。
全平 方式 。
√ ‘＋ ＋１
求 』
解：
）＝ （ — ）
’
（ 口≠ ０ ） ， ｋ 为正整数．
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１
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解： 令 ＝ 一１
１
１
——． ＝ ＝ ＝二＝＝ ｄ
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（ 一１ ）
＼ 一 ａ ＋ ２ ＼ 一
１ ｌ ５ ２
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（ ３ ） ／ 南 ＝ ｌ ｎ Ｉ ＋ ｌ ＋ ｃ ， 口 ≠ 。
（ ４ ） 』 ＝ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ 羔＋ ０ Ｃ
） ｄ ｘ 。 ＋Ａ ＋ ０ ｌ ＋口 ０ ）・
— — 妻 ｎ ＋ ２ ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ ＋ Ｃ
第３ ４卷 第 ６期 ２ ０ １ ６ 年 １ １月
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
．
Ｊ ． 毒
１
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一
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√ （ 西 丽 ＋ 譬 ） ＋ １ ｌ ， ３ － ｔ ＋ ＋ 厢 ｌ ＋ Ｃ ｌ ＋ ＋３ ３
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得 到 ・ ＝ ２ ， ８ ２ ＝ 一 寺 ； ＝ １ ， ａ ２ ＝ ； 卢 ・ ＝ 一
１， ２ ＝ １ ．
对于类型 ２ ， 作倒代换 ， 将上
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基金项 目： 安徽新华学院教育教学研 究项 目（ ２ ｍｓ ｊ ｙ ｏ ３ ８ ． ） ； 安徽新华学院质量 工程项 目（ ２ ０ １ ５ ｊ ｓ ｋ ｃ ｘ ｌ １ ）。 作者简介 ： 李啸芳 （ １ ９ ８ ８一 ） ， 女， 安徽合肥人 ， 讲师 ， 硕士． 研究方 向： 组合设计 。
第 ６期
李啸芳 ， 等： 三类分母含二次根式的不定积分
１ ０ ４ １
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一
Ｊ ．
令 ｆ： ：一
Ａ Ｐ（ ｘ ）一ｙ＝Ａ （ 一 ＋１ ）一（ ＋ ＋１ ）为— — 个
完全平方式 ， 则Ａ＝（ Ａ＋１ ） 一 ４ （ Ａ一１ ） ＝０ 得
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— 嗍ｎ ＋ 萼＋ ２ ａ ｒ ｅ ｓ 锄 ｉ ｎ ＋ Ｃ
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１
｜ ５ ２
在此基础上解决以下三种类型的， （ ） 分母含
有二次 根式 的不定 积分 类型 １
１
＝ ＝
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）＝（ 口
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一
而
１
１ ）
类型 ３
。
又ｚ wenku.baidu.com ｃ ，
（ １ ）若 ＋ ＋ ｑ 的△ ＝Ｐ 一 ４ ｑ ≥Ｏ ， 贝 Ⅱ ＋ ＋ｑ 可 因式分 解 ， 再裂项 转 化为类 型 ２中 ｋ＝１ 的
由 Ａ ｆ ｌ ＋ Ｂ １ ： ＝ ｌ 得 Ａ ＝ １ ， ＝ ÷
ｒ ｄ ｘ
换 ： 年 消去 分 母中 的 一 次项， 再 利用 三角 换
元或欧拉换元进行进一步求解 ， 其计算过程相 当复 杂。 此种类型可利用以下定理进行解答。
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ６
文章编号 ： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２（ ２ ０ １ ６ ） ０ ６—１ ０ ４ ０— ０ ３
三类 分母 含 二 次 根式 的不 定 积分①
李啸芳 ， 朱 芳， 汪 慧
（ 安徽新华学院 公共课教学部 。 安徽 合肥 ２ ３ ０ ０ ８ ８ ｌ
摘
要： 着重介绍三类含二次无理根式的不定积分的求解问题 ， 针对每种类型提 出典型的有效
方法 。
关键词 ： 二 次根 式 ； 二 次三 项式规 范化 ； Ｊ ｒ ｌ 代换； 分 式线性 代换
中图分 类号 ： ０ １ ７ ５
文 献标识 码 ： Ａ
（ ｕ＋ １） （ ｕ＋ １）＋ｌ
０ 引 言
目前 我 们 已知 关 于被 积 函数 含 有 二次 根式 的 不定 积分结 果 已是课本 中的基本 公式 有
一
（ １ ）
（ ２ ） Ｊ ．
＝
＝
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＋ 号 １ ｎ Ｉ ＋ 厨
的题 目很有效 ， 经 过换元 后利用 积分基 本公 式特 别 方便 ， 例如
类型 ２ ，
＝
， （ 口≠０ ） 且口 ＋ｂ ｘ＋ ｃ 不是一 个完
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全平 方式 。
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解：
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