第五六节影子价格和对偶单纯形法
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对偶问题的基本性质
1. 对称性
2. 弱对偶性
max z CX AX b s .t . X 0
XB XN
min z Y b Y A C s .t . Y 0
XS
3. 无界性
4. 最优解性质
5. 对偶定理
6. 互补松驰性
0
YS1
CB-CBB-1N
-YS2
-CBB-1
XS
0
YS1
CB-CBB-1N
-YS2
-CBB-1
-Y
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
影子价格（shadow price)不同于一般意义上的市场 价格，按照资源最优分配理论, 可定义为“机会成本 的货币表现”，是指某种资源或劳务被用于一种用 途, 而放弃另一种用途时的价值。 这正是资源利用问 题的数学规划中对偶模型的最优解。这是著名的前 苏联数学家线性规划创始人、诺贝尔经济学奖获得 者康特罗维奇发现的。 XB 0 YS1 XN CB-CBB-1N -YS2 XS -CBB-1 -Y
检验
线性规划的图解法－例2-1
Graphical solution of linear programming
MaxZ 5 x1 4 x2 x1 2 x2 18 5 x 2 x 50 1 2 x2 8 x1 , x2 0 (1) ( 2) (3) (4)
5/4
?
Biblioteka Baidu
zj -cj y2 3/4
y1 zj zj -cj 5/4
4.8 0
1 18 0
0 1
0 50 0
0 -1/8
5/8 5 -3
-6.8 -1/4
1/4 -8 -8
-8 1/8
-5/8 -5 -5
1/4 8
18 60
-1/4 8-M
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第六节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本原理
A（8，5）
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
x1 2x2 18 x1 2 x2 19
MaxZ 5 7.75 4 5.625 61.25
(7.75, 5.625)
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
5x1 2 x2 50 5x1 2 x2 51
MinZ 18y1 50y2 8 y3 0 y4 0 y5 My6
y1 5 y 2 y4 y6 5 4 2 y1 2 y 2 y 3 y 5 y 0 j 1,2, ,6 j
18
CB M 8 5M+3 2 50 y2 yB y6 y3 b 5 4 y1 1 2
MinZ 18y1 50y2 8 y3
5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
第三章 对偶理论与灵敏度分析
MinZ 18y1 50y2 8 y3 5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
-Y
7. 原问题与对偶问题的关系
练习 例题
min 2 x1 3x2 5 x3 2 x4 3x5 x1 x2 2 x3 x4 3x5 4 2 x1 x2 3x3 x4 x5 3 x j 0, j 1,...,5
* * 已知其对偶问题的最优解为： y1 4/ 5, y2 3/ 5, z 5
M+16
50
y2 [5] 2
5M+16
5M－34
8
y3 0 1
0
y4 -1 0
0
y5 0 -1
M
y6 1 0 1 2
zj
zj -cj 1
8
0 0
－M
－M -1/5
－8
-8 0
M
0 1/5 5
M-2
1/5
1
8
66 50
y3
zj
2
[8/5]
22.8
0
50
1
8
2/5
-6.8
-1
-8
-2/5
6.8
6.8-M
MaxZ 5 8.25 4 4.875 60.75
(8.25, 4.875 )
x2 8 x2 9
MaxZ 5 8 4 5 60
第三章 对偶理论与灵敏度分析
写出下面问题的对偶问题，然后用单纯形法求解。
MaxZ 5 x1 4 x2 x1 2 x2 18 5 x 2 x 50 1 2 x2 8 x1 , x2 0
二、对偶问题的计算步骤
1. 列出初始单纯形表；
2. 若B-1b≥0，σj=cj –zj≤0，则问题得到最优解，否 则进入下一步； 3. 取 i 出变量； 4. 由
Min{B 1b | B 1b 0} ( B 1b) i*
对应的基变量xi*为换
c j* z j*
ai* j a i* j * 入变量xj*，当所有的ai*j ≥0时,问题无可行解；
由原问题与对偶问题之间的关系知道，在单纯 形表中进行迭代时，在 b 列得到的是原问题的基可 行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。经 过迭代计算，当检验数行得到的对偶问题的解也是 基可行解时，则得到最优解。
第六节
对偶单纯形法
MinZ 18y1 50y2 8 y3
5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
j
Min{
cj zj
| ai* j 0}
确定换
5. 以ai*j*为主元素，按原单纯形法进行迭代，得到 新的计算表； 6. 重复2~5步。 例：用对偶单纯形法求例3-4的解
MinZ 18y1 50y2 8 y3
5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
试用对偶理论找出原问题的最优解。
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
max z CX AX b s .t . X 0
XB
min z Y b Y A C s .t . Y 0
XN
Z CB B 1b Y b Z CB B 1 Y b
1. 对称性
2. 弱对偶性
max z CX AX b s .t . X 0
XB XN
min z Y b Y A C s .t . Y 0
XS
3. 无界性
4. 最优解性质
5. 对偶定理
6. 互补松驰性
0
YS1
CB-CBB-1N
-YS2
-CBB-1
XS
0
YS1
CB-CBB-1N
-YS2
-CBB-1
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第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
影子价格（shadow price)不同于一般意义上的市场 价格，按照资源最优分配理论, 可定义为“机会成本 的货币表现”，是指某种资源或劳务被用于一种用 途, 而放弃另一种用途时的价值。 这正是资源利用问 题的数学规划中对偶模型的最优解。这是著名的前 苏联数学家线性规划创始人、诺贝尔经济学奖获得 者康特罗维奇发现的。 XB 0 YS1 XN CB-CBB-1N -YS2 XS -CBB-1 -Y
检验
线性规划的图解法－例2-1
Graphical solution of linear programming
MaxZ 5 x1 4 x2 x1 2 x2 18 5 x 2 x 50 1 2 x2 8 x1 , x2 0 (1) ( 2) (3) (4)
5/4
?
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zj -cj y2 3/4
y1 zj zj -cj 5/4
4.8 0
1 18 0
0 1
0 50 0
0 -1/8
5/8 5 -3
-6.8 -1/4
1/4 -8 -8
-8 1/8
-5/8 -5 -5
1/4 8
18 60
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第三章 对偶理论与灵敏度分析
第六节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本原理
A（8，5）
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
x1 2x2 18 x1 2 x2 19
MaxZ 5 7.75 4 5.625 61.25
(7.75, 5.625)
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
5x1 2 x2 50 5x1 2 x2 51
MinZ 18y1 50y2 8 y3 0 y4 0 y5 My6
y1 5 y 2 y4 y6 5 4 2 y1 2 y 2 y 3 y 5 y 0 j 1,2, ,6 j
18
CB M 8 5M+3 2 50 y2 yB y6 y3 b 5 4 y1 1 2
MinZ 18y1 50y2 8 y3
5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
第三章 对偶理论与灵敏度分析
MinZ 18y1 50y2 8 y3 5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
-Y
7. 原问题与对偶问题的关系
练习 例题
min 2 x1 3x2 5 x3 2 x4 3x5 x1 x2 2 x3 x4 3x5 4 2 x1 x2 3x3 x4 x5 3 x j 0, j 1,...,5
* * 已知其对偶问题的最优解为： y1 4/ 5, y2 3/ 5, z 5
M+16
50
y2 [5] 2
5M+16
5M－34
8
y3 0 1
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M
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zj
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－8
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0 1/5 5
M-2
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zj
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MaxZ 5 8.25 4 4.875 60.75
(8.25, 4.875 )
x2 8 x2 9
MaxZ 5 8 4 5 60
第三章 对偶理论与灵敏度分析
写出下面问题的对偶问题，然后用单纯形法求解。
MaxZ 5 x1 4 x2 x1 2 x2 18 5 x 2 x 50 1 2 x2 8 x1 , x2 0
二、对偶问题的计算步骤
1. 列出初始单纯形表；
2. 若B-1b≥0，σj=cj –zj≤0，则问题得到最优解，否 则进入下一步； 3. 取 i 出变量； 4. 由
Min{B 1b | B 1b 0} ( B 1b) i*
对应的基变量xi*为换
c j* z j*
ai* j a i* j * 入变量xj*，当所有的ai*j ≥0时,问题无可行解；
由原问题与对偶问题之间的关系知道，在单纯 形表中进行迭代时，在 b 列得到的是原问题的基可 行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。经 过迭代计算，当检验数行得到的对偶问题的解也是 基可行解时，则得到最优解。
第六节
对偶单纯形法
MinZ 18y1 50y2 8 y3
5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
j
Min{
cj zj
| ai* j 0}
确定换
5. 以ai*j*为主元素，按原单纯形法进行迭代，得到 新的计算表； 6. 重复2~5步。 例：用对偶单纯形法求例3-4的解
MinZ 18y1 50y2 8 y3
5 y1 5 y 2 2 y1 2 y 2 y 3 4 y , y , y 0 1 2 3
试用对偶理论找出原问题的最优解。
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
max z CX AX b s .t . X 0
XB
min z Y b Y A C s .t . Y 0
XN
Z CB B 1b Y b Z CB B 1 Y b