相似三角形的判定与性质综合运用经典题型
相似三角形的性质及应用练习题1
相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。
自学初中数学资料-相似三角形的性质和判定综合-(资料附答案)
自学资料一、相似三角形的性质和判定综合【知识探索】1．（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
【错题精练】例1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训定有（）A. △ADE∽△ECFB. △ECF∽△AEFC. △ADE∽△AEFD. △AEF∽△ABF【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D=∠C=90°，∠AEF=90°，∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∴△ADE∽△ECF．故选：A．【答案】A例2．如图，已知AB、CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则S△CDE：S△ABE等于（）A. sinαB. cosαC. sin2αD. cos2α【答案】D例3．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，第2页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√3例4．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴D′HPA′=PD′EA′，∴ax =x4a，∴x2=4a2，∴x=2a或-2a（舍弃），∴PA′=PD′=2a，∵12•a•2a=1，∴a=1，∴x=2，∴AB=CD=2，PE=√22+42=2√5，PH=√12+22=√5，第3页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴AD=4+2√5+√5+1=5+3√5，∴矩形ABCD的面积=2（5+3√5）=10+6√5．故答案为10+6√5【答案】10+6√5例5．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO=______．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=2，∠DAE=90°，∵AE=EB=1，∴DE=√22+12=√5，∵AO⊥DE，∴12×DE×AO=12×AE×AD，∴AO=2√55．故答案为2√55．【答案】2√55例6．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．第4页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠1+∠2=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°∴∠1+∠4=135°∴∠2=∠4，∵∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE；（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE，又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE，∴ECEM =CNNE，又∵∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．例7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．（1）求证：△ABE与△ADC相似；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积．【答案】第5页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例8．如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于E．（1）求证：AB•BE=BC•BD；（2）若AB=26，CD=24，求sin∠CBD．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥CD∴∠ADB=∠CEB∵∠A=∠C∴△CBE∽△ABD∴ABBC =BD BE∴AB•BE=BC•BD；（2）解：连接DO并延长交⊙O于点F，∵DF是直径，∴∠FCD=90°∴∠F=∠CBD AB=DF=26∴CD=24∴sin∠CBD=sin∠F=CDDF =2426=1213【举一反三】第6页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第7页 共23页 自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力 非学科培训1．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，则S △ABE ：S △ECF 等于（ ）A. 1：2B. 4：1C. 2：1D. 1：4【答案】B2．矩形ABCD 中，AD=2AB=2√2，E 是AD 的中点，Rt ∠FEG 顶点与点E 重合，将∠FEG 绕点E 旋转，角的两边分别交AB ，BC （或它们的延长线）于点M ，N ，设∠AME=α（0°＜α＜90°），有下列结论：①BM=CN ；②AM+CN=√2；③S △EMN =1sin 2α，其中正确的是（ ）A. ①B. ②③C. ①③D. ①②③【解答】解：在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 的中点， 作EF ⊥BC 于点F ，则有AB=AE=EF=FC ，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN ，在Rt △AME 和Rt △FNE 中，{∠AEM =∠FENAE =EF ∠MAE =∠NFE，∴Rt △AME ≌Rt △FNE ，∴AM=FN ，∴MB=CN ，故①正确；∴CF=AM+CN=12BC=√2，当点M 在AB 的延长线上时，AM-CN=√2，故②错误；∵Rt△AME≌Rt△FNE，∴EM=EN，∴△EMN是等腰直角三角形，∵∠AME=α，∴sinα=AEEM，∴EM=√2sinα，∴S△EMN=12EM2=1sin2α，故③正确，故选：C．【答案】C3．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB＝4，∠E＝75°，则CD的长为．【答案】2√34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE×CA．（1）求证：BC=CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2√2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴DCCE =CADC，而∠ACD=∠DCE，第8页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD=∠CDE，∵∠CAD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD=CB，∴CD̂=CB̂，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴PCCD =POOA=2rr=2，∴PC=2CD=4√2，∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴PCPA =PBPD，即4√23r=r6√2，∴r=4，即⊙O的半径为4．5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．第9页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，∴BE=3，∵BC=5，∴EC=5-3=2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴ABBE =ECCD，∴43=2CD，∴CD=32；（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；理由是：过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD=∠DEC，∵∠AED=∠C，∴∠ADE=∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF=EC，∵DE=DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF=DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF=AB，∴AD=AF+DF=AB+CD．6．已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E、F在BC上，点D，G分别在AB，AC上．第10页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（1）如图①，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长；（2）如图②，若S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，求正方形的边长．【答案】解：（1）设正方形DEFG的边长是x，∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，∴由勾股定理得：BC=5，过A作AM⊥BC于M，交DG于N，由三角形面积公式得：12AB×AC=12BC×AM，∵AB=4，AC=3，BC=5，∴AM=2.4，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=x，DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴DGBC =AN AM，∴x5=2.4−x2.4，x=6037，即正方形DEFG的边长是6037；（2）过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，∵S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，∴12ab=1，12BE•a=3，12CF•a=1，∴BE=3b，CF=b，∴S△ADG+S△BED+S CFG=12ab+32ab+12ab=1+3+1=5，∴ab=2，∴b=2a①，=1（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S△ADG+S△BDE+S△CFG）2（a+4b）（a+b）-5=a2，=12∴a=2b②，由①②得：a=2，即正方形的边长是2．7．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的动点．沿EF折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，求CF的取值范围．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大值为3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG=√BG2−AB2=4，∴DG=AD-AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3-x）2+12=x2，，∴x=53∴5≤CF≤3．≤CF≤3．故答案为：538．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C 除外），AF与DC的延长线相交于点M．（1）求证：△AFD∽△CFM；（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】1．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A. ∠1＞∠2B. ∠1＜∠2C. ∠1=∠2D. 无法确定【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【答案】C2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB=4，BM=2，则△DEF的面积为（）A. 9B. 8C. 15D. 14.5【答案】A3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A. S1=S2B. S1＞S2C. S1＜S2D. 3S1=2S2S矩形AEFC，即S1=S2，【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=12故选：A．【答案】A4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．=FCDF=3，∴CG=6，∴BG=BC+CG=10，∴△BEG的面积=12×BG×AB=20．5．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P、Q分别在直线CB与射线DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°，CQ=1，则线段BP的长为______．【解答】解：分三种情况：设BP=x，①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠CPQ=90°，∴∠BAP=∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ，∴ABBP=PCCQ，∴4x=4-x1，∴x1=x2=2，∴BP=2；②当P在CB的延长线上时，如图2，同瑆得：△ABP∽△PCQ，6．已知，如图，在圆O中，AB=CD。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
非学科数学学培训 相似三角形判定与性质综合(资料附答案)
自学资料一、相似三角形判定与性质综合【知识探索】1．A字型、反A字型（斜A字型）8字型、反8字型第1页共22页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训2．共享性：【错题精练】例1．如图，△ABC中，D边BC上一点，E是CD的中点，且∠ACD=∠ABE，已知AC=2，设AB=x，AD=y，则y与x满足的关系式为（）A. xy=4；B. 2xy−y2=4；C. xy−y2=4；D. x2+xy−2y2=4．【答案】B例2．如右图，AD//CB，AB与CD相交于点E，过点B的直线交CD于点F，交AD于点G，若BEAE =23，BF GF =85，EF=2，则DF的长为（）第2页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. 72； B. 257；C. 185； D. 4．【答案】B例3．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（）A. 4；B. 6；C. 4√2；D. 4√3．【答案】C例4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，若AE:DF=2:3，则BF:BC的值是（）A. 23； B. 35；C. 12； D. 25．【答案】B例5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC=3:2，连接AE交BD于点F，则SΔDEF:SΔBAF:S四边形BCEF= ．第3页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】9:25:48例6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC 于点F．若∠AED=∠B，且AG：GF=3：2，则DE：BC=．【答案】3：5例7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE∥BC．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）若DE=6，BC=10，求线段CD的长．【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，又∵∠DAC=∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴△ADE∽△ACD；（2）解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠B，即∠ECD=∠B，∴△EDC∽△DCB，∴CDBC =DECD，即CD2=BC⋅DE，∵DE=6，BC=10，第4页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴CD2=BC⋅DE=60，解得：CD=2√15．【答案】（1）略；（2）2√15．例8．如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求AGDF的值．【解答】（1）解：由题意知：∵EG∥BC，∴∠GEF=∠FBD，∵∠BFD=∠GFE，∠GEF=∠FBD，∴△FGE∽△FDB；（2）解：∵AD、BE分别是三角形的中线，∴BD=CD，AE=EC，∵EG∥BC，∴EG是△ADC的中位线，∴EG=12CD，∵△EFG∽△BDF，∴EGBD =FGFD=12，∴DF=23DG，∵EG是△ADC的中位线，∴AG=DG，∴DF=23AG，∴AG:DF=3:2=32．【答案】（1）略；（2）32．第5页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训例9．如图，等边△ABC中，点D是BC上任意点，以AD为边作∠ADE=∠ADF=60∘，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2=AE×AC；（2）已知BC=2，设BD的长为x，AF的长为y，求y关于x的函数表达式；（3）若四边形AFDE的外接圆直径为13√312，求y与x的值．【解答】（1）解：在等边△ABC中∠B=∠C=60∘∵∠ADE=60∘∴∠ADE=∠ACD，∠DAE=∠CAD，∴△ADE=△ACD∴ADAE =ACAD∴AD2=AE×AC；（2）解：∵∠B=∠ADF，∠DAF∠BAD∴△DAF∽△BAD∴DABA =AFAD∴AD2=AF×AB∴△DAF∽△BAD由（1）知AD2=AE×AC，且AB=AC∴AE=AF∵∠B=∠C=∠ADE且∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE ∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE∴ABBD =DCCE∵BC=2，BD=x，AF=y∴AB=2，CD=2−x，CE=2−y∴2x =2−x2−y∴y=12x2−x+2（0≤x≤2）；第6页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第7页 共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（3）解：连接EF ，AF =AE ，∠EAF =60∘∠EDF =120∘则△AEF 为等边三角形 ∴四边形AFDE 的外接圆即为等边三角形△AEF 的外接圆 ∵四边形AFDE 的外接圆直径为13√312∴AF =EF =138∴当y =138时，x 1=12，x2=32．【答案】（1）略；（2）y =12x 2−x +2（0≤x ≤2）；（3）当y =138时，x 1=12，x 2=32．例10．已知：如图，点D 是等腰直角△ABC 的重心，其中∠ACB =90∘，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE ，若△ABC 的周长为6，则△DCE 的周长为（ ）A. 2√2；B. 2√3；C. 4；D. 3√2．【答案】A例11．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且BC 2=BD ⋅CE ． （1）求∠DAE 的度数．（2）求证：AD 2=DB ⋅DE ．【解答】（1）解： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60∘，AB =AC =BC ， ∴∠ABD =∠ACE ， ∵BC 2=BD ⋅CE ， ∴AB ⋅AC =BD ⋅CE ，即ABBD =CEAC，∴△ABD∽△ECA；∴∠DAB=∠E，∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=120∘（2）证明：∵∠DAE=∠ADB=120∘，∠D=∠D，∴△ABD∽△EAD∴ADDE =BDAD，∴AD2=DB⋅DE．【答案】（1）∠DAE=120∘；（2）略．例12．如图使用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A、D两端点的距离为6cm，AOBO =DOCO=47，求容器的内径BC．【解答】解：∵AOBO =DOCO又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD∽△BOC∴ADBC =AOBO=DOCO=47∵AD=6cm∴BC=212cm【答案】BC=212cm．例13．如图，在△ABC中，∠A=36∘，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）第8页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. √5−1；2；B. √5−14C. 3−√5；2D. 3−√5．4【答案】C例14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=k(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的x解析式为．【答案】y=2x例15．如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．（1）求证：△ACP∽△DBP；（2）写出y关于x的函数解析式；（3）若CD=8时，求S△ACP：S△DBP的值．第9页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】（1）证明：∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP．（2）解：由（1）可得：CP⋅PD=AP⋅PB，即xy=12．∴y=12x．（3）解：由题意得{xy=12x+y＝8．由②得y=8−x．代入①得x(8−x)=12．得x1=2，x2=6．∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2．S△ACP:S△DBP=CP2:BP2=22:32=4:9或S△ACP:S△DBP=CP2:BP2=62:32=4:1．【答案】（1）略；（2）y=12x；（3）4：1．【举一反三】1．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，且点D，D分别在BC，AB上，连结AD和CE交于点H，若BDCD =2，AHDH=1，则BE的长为．【答案】154．第10页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训2．在平行四边形ABCD中，E为AB上的一点，连结CE，P为CE的中点，过P作直线MN分别交边AD，BC于点M，N，若EA:EB=5:4，则且PM:PN=．【答案】723．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，∴ABBC =24=12，BD AB =12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE＝1.5．【答案】（1）见解答；（2）DE＝1.5．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，G两点，CE，BG相交于点O．（1）求证：AG=DE；（2）已知AB=4，AD=5，求OEOC的值；（3）求四边形ABOE的面积与△BOC的面积之比．【解答】（1）证明：BG平分∠ABC，CE平分∠BCD∴∠ABG=∠CBG，∠BCE∠DCE∵AD∥BC∴∠CBG=∠AGB，∠BCE=∠CED∴AB=AG，CD=DE∵AB=CD∴AG=DE；（2）解：∵AB=4，AD=5∴AG=DG=4，AE=AD−DE=1，GD=AD−AG=1∴EG=AD−AE−DG=3∵AD∥BC∴OEOC =EGBC=35；（3）解：连接AO，设SΔOEG=9a∵AD∥BC，∴△OEG∽△OCB∴SΔOEG:SΔOBC=9:25∴SΔOBC=25a∵AE:EG=1:3∴SΔOAE:SΔOEG=1:3∴SΔOAE=3a∴SΔOAG=12a∵SΔOAB:SΔOAG=OB:OG=5:3∴SΔOAB=20a∴S四边形ABOE=SΔOAB+SΔOAE=23a∴S四边形ABOE:SΔOBC=23a:25a=23:25．【答案】（1）略；（2）35；（3）23∶25．5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则S1的值为（）S2；A. 23B. 1；2；C. 49D. 2．【答案】C6．如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为．．【答案】4√337．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF:FD=AD:DB；（2）若AB=15，AD:BD=2:1，求DF的长．【解答】（1）证明：∵EF∥CD，∴AFFD =AEEC，∵DE∥BC，∴ADBD =AEEC，∴AF:FD=AD:DB；（2）解：∵AD:BD=2:1，∴BD=12AD，∴AD+12AD=15，∴AD=10，∵AF:FD=AD:DB，∴AF:FD=2:1，∴AF=2DF，∵AF+DF=10，∴2DF+DF=10，∴DF=103．【答案】（1）略；（2）DF=103．8．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为．【答案】3．9．如图，ABCD中，AC，BD交于点O，BC=6，OE=2，BO=4．（1）求证△DEF∽△BEC；（2）求AF的长．【解答】（1）证明：∵∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，∠DEF=∠BEC，∴△DEF∽△BEC；（2）解：∴OB=OD=4，AD∥BC，AD=BC=18，∵OE=2，∴DE=4−2=2，∵AD∥BC，∴△DFE∽△BCE，∴DF+BC=DE+BE，∴DF+18=24+2，∴DF=6，∴AF=18−6=12．【答案】（1）略；（2）12．10．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E为AB的中点，连接CE、DE．AC 与DE相交于点F．（1）求证：△ADF∽△CEF；的值．（2）若AD=4，AB=6，求ACAF【解答】（1）证明：∵∠ACB=90∘，E为AB的中点，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ACE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ACE，∴AD∥CE，∴△ADF∽△CEF；（2）解：∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；∴△AFD∽△CFE，∴AD:CE=AF:CF；∵CE=12AB=3，AD=4，∴AFCF =ADCE=43，∴ACAF =74．【答案】（1）略；（2）ACAF =74．11．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF:EF=（）A. 24：7；B. 25：7；C. 2：1；D. 3：1．【答案】B12．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求证：AD=BE；（2）求证：△ABF∽△ADB．【解答】（1）证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘．∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE，即∠BCE=∠ACD．在△BCE和△ACD中，{BC=AC∠BCE=∠ACDCD=CE，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；（2）证明：由（1）知：△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BMC=∠AMF，∴∠AFB=∠ACB=60∘=∠ABC，又∵∠BAF=∠BAD，∴△ABF∽△ADB．【答案】（1）略；（2）略．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，点E在线段DA上，直线CE与BA的延长线交于点G．（1）求证：△CDE∽△GAE；（2）当DE：EA=1：2时，过点E作EF∥CD交BC于点F且CD=4，EF=6，求AB的长．【解答】（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠EAG．∴△CDE∽△GAE．（2）证明：由（1）△CDE∽△GAE，∴DE：EA=DC：GA．∵DE：EA=1：2，CD=4，∴GA=8，CE：CG=1：3．又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥GB．∴△CEF∽△CGB．∴CE：CG=EF：GB．∵EF=6，∴GB=18．∴AB=GB−GA=18−8=10．【答案】（1）略；（2）10．14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）证明：AB=AC，∴∠C=∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BEC=90∘，∴△BEC∽△ADC．【答案】（1）略；（2）略．1．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在边AB上，AD=4.5，△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求AFAE的值．【解答】（1）证明：ADAC =ACAB，∵∠BAC=∠CAD，∴△ACD∽△ABC （2）解：∵△ACD∽△ABC，AE是∠BAC的角平分线，∴AFAE =ACAB=34．【答案】（1）略；（2）AFAE =ACAB=34．2．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40∘,∠B=60∘，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A=48∘，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠A=40∘,∠B=60∘，∴∠ACB=80∘，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40∘，∴∠ACD=∠A=40∘，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40∘，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD为△ABC的完美分割线；（2）解：①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96∘；②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180∘−48∘2=66∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114∘；③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96∘或114°；（3）解：由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，设BD=x，∴(√2)2=x(x+2)，∵x＞0，∴x=√3−1，∵△BCD∽△BAC，∴，∴CD=√3−1√2×2=√6−√2．【答案】（1）略；（2）略；（3）√6−√2．3．已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴ABBC =24=12，BDAB=12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．【答案】（1）略；（2）1.5．4．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于（）第21页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训A. 8；B. 6；C. 4；D. 3．【答案】C第22页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。
相似三角形的判定+性质+经典例题分析
相似形一一、比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=两外项的积等于两内项积 2.反比性质：cda b d c b a =⇔= 把比的前项、后项交换3.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=分子加减分母;分母不变 ．4.等比性质：分子分母分别相加;比值不变.如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ;那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 谈重点：1此性质的证明运用了“设k 法” ;这种方法是有关比例计算;变形中一种常用方法．2应用等比性质时;要考虑到分母是否为零．3可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数;再利用等比性质也成立．5.黄金分割：错误!内容 错误!尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a 、b 、c 是非零实数;且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++;求k 的值.例题2．已知111x y x y+=+;求y x x y +的值..板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫相似图形． 谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同;与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形;也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似;其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同;这时是相似图形的一种特例——全等形．知识点二、平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线;所得的对应线段成比例;如图：l 1∥l 2∥l 3..则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例..③定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例;那么这条直线平行于三角形的第三边..错误!推论：如果一条直线平行于三角形的一条边;截其它两边或其延长线;那么所截得的三角形与原三角形相似．推论错误!的基本图形有三种情况;如图其符号语言：∵DE ∥BC;∴△ABC ∽△ADE ；知识点三、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等;两三角形相似． 符号语言：拓展延伸：1有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似.. 2顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似..重难点高效突破例题1．如图;直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E;由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗 请说明理由..用两种方法说明例题2．射影定理已知：如图;在△ABC 中;∠BAC=90°;AD ⊥BC 于D.求证：12AB BD BC =⋅；22AD BD CD =⋅；3CB CD AC ⋅=2例题3．如图;AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高;DE ⊥DF;且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =吗 说说你的理由.例题精讲AEDBCAB CD例题4．如图;在平行四边形ABCD 中;已知过点B 作BE ⊥CD 于E;连接AE;F 为AE 上一点;且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2） 若AB=4;∠BAE=30°;求AE 的长； （3） 在12条件下;若AD=3;求BF 的长..即时训练 一、选择题1．如图;△ABC 经平移得到△DEF;AC 、DE 交于点G;则图中共有相似三角形 A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图;已知DE ∥BC;EF ∥AB;则下列比例式中错误的是 A ．AC AE AB AD = B ． FB EA CF CE = C ． BD AD BC DE = D ． CB CF AB EF =.3.在矩形ABCD 中;E 、F 分别是CD 、BC 上的点;若∠AEF=90°;则一定有 A ．ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF4、如图;直线l 1∥l 2;AF ∶FB=2∶3;BC ∶CD=2∶1;则AE ∶EC 是 A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2ADCBEF GFEDCBA1题图 2题图 3题图 4题图5.如图;E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点;连结AE 交CD 于F;则图中共有相似三角形 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5题图 6题图 7题图 8题图6.ΔABC 中;DE ∥BC;且AD ∶DB=2∶1;那么DE ∶BC 等于 A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶27.如图;P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点;过点P 做直线截ΔABC;使截得的三角形与ΔABC 相似;满足这样条件的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.如图;已知DE ∥BC;EF ∥AB;则下列比例式中错误的是 A.AC AE AB AD = B.FB EA CF CE = C.BDAD BC DE = D.CB CFAB EF =9.下列说法：其中正确的是①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似； ③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似. A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 二、解答题1、如图;ΔABC 中;BD 是角平分线;过D 作DE ∥AB 交BC 于点E;AB=5cm;BE=3cm;求EC 的长.2.如图;在梯形ABCD 中;AD ⊥BC;∠BAD=90°;对角线BD ⊥DC. 1ΔABC 与ΔDCB 相似吗 请说明理由. 2如果AD=4;BC=9;求BD 的长.3.已知：如图;在正方形ABCD 中;P 是BC 上的点;且BP=3PC; Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似 为什么4.如图;已知AD 为△ABC 的角平分线;AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点E;交AB 与F;试判定△BAE 与△ACE 是否相似;并说明理由..5.如图;在矩形ABCD 中;AB=5cm;BC=10cm;动点P 在AB 边上由A 向B 作匀速运动;1分钟可到达B 点；动点Q 在BC 边上由B 向C 作匀速运动;1分钟可到达C 点;若P 、Q 两点同时出发;问经过多长时间;恰好有PQ ⊥BDA BEFQ P DC B AABC DDABCDABCEA BCD E6.已知：如图所示;D 是AC 上一点;BE ∥AC;AE 分别交BD 、BC 于点F 、G;∠1=∠2.则BF 是FG 、EF 的比例中项吗 请说明理由.7.如图;CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高;∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F. AC •AE=AF •AB 吗 说明理由.相似形二板块二、新课讲解知识点1．相似三角形的判定判定定理2：两边对应成比例且夹角相等;两三角形相似．判定定理3：三边对应成比例;两三角形相似．知识点2．直角三角形相似的判定 在直角三角形中;斜边和一条直角边对应成比例;两直角三角形相似．知识点3． 相似三角形中的基本图形AB C D EA 型;X 型 交错型 旋转型 母子形重难点高效突破例题1．如图在4×4的正方形方格中;△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上．1填空：∠ABC=______;BC=_______． 2判定△ABC 与△DEF 是否相似 并说明理由..例题2. 如图;在△ABC 中;已知BD 、CE 是△ABC 的高;求证：△ADE ∽△ABC..例题3．如图;已知AB ⊥BD;CD ⊥BD;AB=6cm;CD=4cm;BD=14cm;点P 在BD 上由B 点向D 点移动;当BP 等于多少时;△ABP 与△CPD 相似例题4.已知：如图;在△ABC 中;∠C ＝90°;P 是AB 上一点;且点P 不与点A 重合;过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ;点E 不与点C 重合;若AB ＝10;AC ＝8;设AP ＝x ;四边形PECB 的周长为y ;求y 与x 的函数关系式．例题精讲A BCD EABDCP例题5．在三角形ABC 中;AB=AC;AD ⊥BC 于点D;DE ⊥AC 于点E;M 为DE 的中点;AM 与BE 相交于点N;延长AM 交BC 于点G;AD 与BE 相交于点F; 求证：1DE AD =CECD;（2）△BCE ∽△ADM ； 3AM ⊥BE.随堂演练 A 组1．下列命题中正确的是①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④2．如图;D 、E 分别是AB 、AC 上两点;CD 与BE 相交于点O;下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD;AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB3．如图;在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC;②ΔBCD;③ΔBDE;④ΔBFG;⑤ΔFGH;⑥ΔEFK.其中②～⑥中;与三角形①相似的是A ②③④B ③④⑤C ④⑤⑥D ②③⑥ 4．如图;DE 与BC 不平行;当ACAB= 时;ΔABC 与ΔADE 相似.. 5．如图;平行四边形 ABCD 中;AB=10;AD=6;E 是AD 的中点;在AB 上取一点F;使△CBF•∽△CDE;则BF 的长是 ．A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8M N F ABCDEG3题图 4题图 5题图5．如图;四边形ABCD 是平行四边形;AE ⊥BC 于E;AF ⊥CD 于F.1ΔABE 与ΔADF 相似吗 说明理由. 2ΔAEF 与ΔABC 相似吗 说说你的理由.6．已知：如图;在正方形ABCD 中;P 是BC 上的点;且BP=3PC;Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似 为什么7．如图;在正方形ABCD 中;E 为AD 的中点;EF ⊥EC 交AB 于F;连接FC (),AE AB >△AEF ∽△EFC 吗若相似;请证明；若不相似;请说明理由..若ABCD 为矩形呢板块三、课后作业1．如图;正方形ABCD 中;点E;F 分别为AB;BC 的中点;AF 与DE 相交于点O;则AODO等于 ． A ．13 B ．255C ．23D ．122．如图;直线EF 交AB 、AC 于点F 、E;交BC 的延长线于点D;AC ⊥BC;已知AB CD=DE AC ⋅⋅;求证：AE CE=DE EF ⋅⋅6．已知D 是BC 边延长线上的一点;BC ＝3CD ;DF 交AC 边于E 点;且AE ＝2EC ．试求AF 与FB 的比．7．已知：如图;在△ABC 中;∠BAC ＝90°;AH ⊥BC 于H ;以AB 和AC 为边在Rt △ABC 外作等边△ABD 和△ACE ;试判断△BDH 与△AEH 是否相似;并说明理由．相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等;对应边成比例．②相似三角形对应高的比;对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． ③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．FABCDE重难点高效突破 例题1.1两个相似三角形的面积比为21:s s ;与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ 2如图;已知D E ∥BC;CD 和BE 相交于O;若16:9:=∆∆COB ABC S S ;则AD:DB=_________3如图;已知AB ∥CD;BO:OC=1:4;点E 、F 分别是OC;OD 的中点;则EF:AB 的值为 4如图;已知DE ∥FG ∥BC;且AD:FD:FB=1:2:3;则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABCA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)梯形ABCD 中;AD ∥BC;AD<BC;AC 、BD 交于点O;若ABCD OAB S S ∆∆=256;则△AOD 与△BOC 的周长之比为__________..例题2.如图;在△ABC 中;DE ∥BC;且S △ADE :S 四边形BCED ＝1:2;BC ＝26..求DE 的长..例题3. 如图所示;已知DE ∥BC;且与△ABC 的边CA 、BA 的延长线分别相交于点D 、E;F 、G 分别在边AB 、AC 上;且AF ：FB=AG ：GC;求证：△AFG ∽△AED..A BCD E BC D E A O 2题图3题图 C E FOBA D 4题图B G FE D A C 5题图 CA ’ DD ’ C ’B ’ B A OBC DA例题4. 如图;矩形EFGH 内接于△ABC;AD ⊥BC 于点D;交EH 于点M;BC ＝20㎝;AM ＝8㎝; S △ABC ＝100㎝2..求矩形EFGH 的面积..例题5.△ABC 中;D 为AB 上一点;若∠ABC=∠ACD;AD=8㎝;DB=6㎝;求AC 的长..例题6.已知;如图△ABC 中;∠BAC=900;AB=AC=1;D 为BC 上一动点不与B;C 重合;∠ADE=45°（1）求证△ABD ∽△DCE（2）设BD=x;AE=y;求y 与x 的函数关系式 3若△ADE 为等腰直角三角形时;求AE 的长例题7、如图;在等腰梯形ABCD 中;AD ∥BC;AD=3㎝;BC=7㎝;∠B=60°;P 为下底BC 上一点不与B 、C 重合;连结AP;过P 点作PE 交DC 于E;使得∠APE=∠B.ABCD EF MH GPABCD1求证：△ABP ∽△PCE ； 2求等腰梯形的腰AB 的长；3在底边BC 上是否存在一点P;使得DE ∶EC=5∶3;如果存在;求出BP 的长;如果不存在;请说明理由.随堂演练A 组1.两个相似三角形的面积比为4：9;那么它们周长的比为__________.2．若x ：y ：z=3：5：7;3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为____________. 3.如图;∠APD ＝90°;AP ＝PB ＝BC ＝CD;则下列结论成立的是 A .ΔPAB ∽ΔPCA B.ΔPAB ∽ΔPDA C .ΔABC ∽ΔDBA D.ΔABC ∽ΔDCA第3题4.如图;D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点;∠1＝∠B;AE ＝EC ＝4;BC ＝10;AB ＝12;则△ADE 的周长为_______5．某学生利用树影测松树的高度;他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米;但当他马上测松树高度时;因松树靠近一幢高楼;影子不是全部在地面上;有一部分影子落在墙上;他测得留在地面部分的影长是2．4米;留在墙上部分的影高是1.5米;则松树的高度为________米6.如图;C 为线段AB 上的一点;△ACM 、△CBN 都是等边三角形;若AC ＝3;BC ＝2;则△MCD 与60°AE第7题图PD CBABCDMN 第6题 ADE 1BC第4题△BND 的面积比为 ..7．如图;在梯形ABCD 中;AD ∥BC;AC 、BD 交于O 点;S △AOD :S △COB ＝1:9;则S △DOC :S △BOC ＝板块三、课后作业1.已知：如图;△ABC 中;∠A ＝36°;AB ＝AC ;BD 是角平分线． 1求证：AD 2＝CD ·AC ； 2若AC ＝a ;求AD ．2．已知：如图;□ABCD 中;E 是BC 边上一点;且AE BD EC BE ,,21相交于F 点． 1求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；2若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2;求△AFD 的面积S △AFD ．3．已知：如图;Rt △ABC 中;AC ＝4;BC ＝3;DE ∥AB ．1当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时;求CD 的长； 2当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时;求CD 的长．。
相似三角形性质与运用
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。
再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BCAB=BEBD即：BC BE = AB BD在△DBE和△ABC中∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且BCBE = AB BD∴△DBE∽△ABCAB CDEFG1234AB CD例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EB C(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=a2，在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且2==AEECEFAE所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，BEACD12AB CDEFKAB CDE F求证：DF •AC=BC •FE证明：过D 点作DK ∥AB ，交BC 于K ，∵DK ∥AB ，∴DF ：FE=BK ：BE 又∵AD=BE ，∴DF ：FE=BK ：AD ，而BK ：AD=BC ：AC 即DF ：FE= BC ：AC ，∴DF •AC=BC •FE例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案
相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6， 解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。
相似三角形的判定与性质综合
A BCD EN MA B CP Q相似三角形判定与性质综合知识梳理根据相似三角形的定义，得出相似三角形的性质： 两三角形相似，则对应角相等，对应边成比例.【例】在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【解析】相似三角形的性质，分类讨论若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽， 得AD AE AB AC =或AD AE AC AB =，解得AE 的值为10或325；【例】如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、 CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】动点问题，相似三角形的性质，分类讨论在RT AED ∆中，AD=2，AE=1，∴DE=5当AED CMN ∆∆时，AE EDCM MN =，得5CM =当AED CNM ∆∆时，AD EDCM MN=，得25CM =【例】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动到C 点，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动到A 点．若点P 、Q 分别同时从B 、C 出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？ 【解析】动点问题，相似三角形的性质，分类讨论 设经过t 秒CPQ ∆与CBA ∆相似，则 2BP t =，CQ t =，∴82CP t =-．要使CPQ ∆与CBA ∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA ∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t -=，∴125t =；ABCDE ABM②当CPQ CAB ∆∆∽，∴ CP CQCA CB=， 即8268t t -=。
∴3211t =．∴125t =或3211时，CPQ ∆与CBA ∆相似．【例】如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上，求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长. 【解析】相似三角形的性质，分类讨论如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况： 128AB BM ==，，∴4AM =．当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴AM AN AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =． ∴ 3AN =或163．【例】如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长． 【解析】子母三角形，求直角三角形斜边上的高用面积法3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒，225AB AC BC ∴=+=．根据面积法，知CD AB AC BC ⋅=⋅，得125CD =． 又CD AB ⊥，=90ACB ∠︒，可得ADC ∆∽ACB ∆． AD AC AC AB ∴=，代入可得：95AD =． 再根据面积法：AC ED AD CD ⋅=⋅ABCDF GABCD EF∴3625ED =【例】已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是 ．【解析】子母三角形，直角三角形斜边上的中线在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，AE EB =． 设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC =，得2DC AD DB =•， 所以21234x x =•，解得23x =，7143AB x ==， 而12CE AB =，所以73CE =．【例】如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ． 求证：CF CA CG CB =【解析】子母三角形，相似三角形的性质，射影定理CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CFAC DC=，即2DC CA CF =•． 同理可得：2DC CG CB =•， ∴CF CA CG CB =．【例】如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】子母三角形，射影定理 BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠又BAD C ∠=∠ ABF CBE ∴∆∆∽ AB BFBC BE∴=， 又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BDBC BA∴=， 即2AB BD BC =⋅2AB ∴=ABCDE FABCDEF12AB BC ∴=，12BF AB BE BC ∴==【例】如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ， 求证：CEF ∆∽CBA ∆【解析】子母三角形，相似三角形的性质，射影定理CD AB ⊥，DE AC ⊥， ∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CFAC DC=，即2DC CA CE =•． 同理，可得：2DC CF CB =⋅．∴CA CE CF CB •=•， 即 CF CEAC CB =． 又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【例】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =；（2）求证：BF AE FD BA =．【解析】子母三角形，相似三角形的性质，射影定理 （1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=． 又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =•．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =•．∴BF BE BD BA •=•，ABCDEF∴FB BDBA BE= 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽．∴FB FDBA AE=． ∴BF AE FD BA •=•．【例】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF .求证：BD DFBE AE=． 子母三角形，相似三角形的性质，射影定理90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=． 又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽．∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =•． 同理2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•，∴FB BDBA BE=． 又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴BD FD BE AE=．【例】如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC ∆与CDE ∆相似，求BC 的值．【解析】根据“ABC ∆与CDE ∆相似”，对应关系并未确定，需要分类讨论，若ABC CDE ∆∆，则对应关系确定（1）ABC ∆∽EDC ∆时，则应有4BC ABCD DE==． 由4BD =，可得：41655BC BD ==；（2）ABC ∆∽CDE ∆时，则应有BC ABDE CD=． 由4BD =，代入得：44BC BC=-，解得：2BC =．AB C DEABCDEABDCA【例】如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =． 【解析】判定定理一，角度的等量代换找等角ABC ∆是等边三角形，60BAC ACB ∴∠=∠=︒．120DAE ∠=︒，60DAB CAE ∴∠+∠=︒．又60ACB E CAE ∠=∠+∠=︒，DAB E ∴∠=∠．D D ∠=∠，DAB ∴∆∽DEA ∆，AD ABDE AE ∴=， 即AD AE AB DE =．【例】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠． 求证：AE AC AD AB =．【解析】判定定理一，斜A 型相似AED B A A ∠=∠∠=∠，，AED ∴∆∽ABC ∆， AD AEAC AB∴=， 即AE AC AD AB =．【例】如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =， 求:AC BC 的值.【解析】字母三角形90ACB ∠=︒，即90ACD BCD ∠+∠=︒，又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒． A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆， AD DC ACDC BD BC ∴==．:9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =．::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．【例】已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ． 求证：（1）AC CE CF GC =；（2）AFE ACB ∠=∠．ABCDEABCDEOA BC【解析】双高模型的应用 （1）90AFC BEC ∠=∠=︒，ACF GCE ∠=∠，GCE ∴∆∽ACF ∆，GC CEAC CF∴=，即AC CE CF GC =． （2）90AFC AEB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，ABE ∴∆∽ACF ∆． AE AB AF AC ∴=，即AE AFAB AC=，又A A ∠=∠， AEF ∴∆∽ABC ∆，∴AFE ACB ∠=∠．【总结】双高模型中有8对相似三角形，其中有4个直角三角形两两相似，一个斜A 型相似，一个斜8型相似.GCEACF ABE GBF ∆∆∆∆，GEF GCB ∆∆，AEF ABC ∆∆【例】如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ． 求证：ODE ∆∽OCA ∆． 【解析】钝角三角形中的双高模型O 是ABC ∆的垂心， 90AEO CDO ∴∠=∠=︒． O O ∠=∠， AOE ∴∆∽COD ∆， AO OECO OD ∴=， 即AO CO OE OD =． O O ∠=∠，∴ODE ∆∽OCA ∆．【例】如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB ∆∽'ACC ∆ 【解析】旋转型相似，把A 字型中的小三角形绕着A 点旋转ABC ∆∽''AB C ∆， ''''AB AC BAC B AC AB AC ∴=∠=∠，， ''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，， ∴'ABB ∆∽'ACC ∆．A B CDPQABCDE F【总结】根据相似的性质，得到比例关系和等角，再比例转化和角度的转化，证明新的相似.【例】如图，正方形ABCD 中，2AB =，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意点，DQ AP ⊥于Q .（1）求证：DQA ∆∽ABP ∆；（2）当点P 在BC 上变化时，线段DQ 也随之变化．设PA x =，DQ y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．【解析】正方形的性质，相似三角形判定性质与函数综合 正方形ABCD ，∴2AB AD ==， 90B BAD ∠=∠=︒ ∴90BAP DAQ ∠+∠=．DQ AP ⊥，∴90AQD ∠=，∴B AQD ∠=∠．90ADQ DAQ ∠+∠=， ∴BAP ADQ ∠=∠，∴DQA ABP ∆∆∽．（2）由DQA ABP ∆∆∽得：DQ AD AB AP =，即22y x = ．∴4y x= ． P 点的临界点是与B 、C 重合，对应x 的值分别为2和22，即定义域为222x << ∴()4222y x x=<<【例】已知，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且13EB AF AB AD ==，求证：AEF FBD ∠=∠．【解析】作高构造相似直角三角形，正方形的性质 相似三角形的判定和性质过点F 作FH BD ⊥于点H ，得90BHF ∠=．正方形ABCD ，∴AB AD =，45ADB ∠=，90A ∠=．A BCD EF HA BCD NM NEFMDCBA∴BHF A ∠=∠．又13EB AF AB AD == 设BE AF a ==，则2DF AE a ==，3AB AD a ==． 由勾股定理得：32BD a =，2FH DH a ==，2DH a ， ∴22BH a =， ∴12FH FA BH AE ==． ∴AEF HBF ∆∆∽， ∴AEF FBD ∠=∠．【例】如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN=．【解析】正方形和相似三角形的性质延长MN 、BC 相交于点E ，过点E 作EF BM ⊥交BM 于点F ， 四边形ABCD 是正方形，90//AD BC AB ABC AD BC ∴==∠=︒，，．设AB a =，则152AM DM a BM ===，，BMN MBC ∠=∠，BE ME ∴=，152BF FM BM ∴==． 又90A BFE ∠=∠=︒，AM B M BE ∠=∠，ABM ∴∆∽MEB ∆，5BE BM BF AM∴= 554BE BF a ∴==，14CE BE BC a ∴=-=．又//AD BC ， 2DN DM CN CE ∴==．【例】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G .A BCE F G H求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥． 【解析】相似三角形性质的综合运用 （1）EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，90ADC EGC ∴∠=∠=︒． C C ∠=∠，EGC ∴∆∽ADC ∆， ∴EG CGAD CD=． （2）90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴四边形是AFEG 矩形，AF EG ∴=． EG CG AD CD =， AF ADCG CD ∴=． EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，即有9090DAC DAF DAC C ∠+∠=︒∠+∠=︒，，DAF C ∴∠=∠， FAD ∴∆∽GCD ∆， FDA GDC ∴∠=∠， FDA GDA GDC GDA ∴∠+∠=∠+∠，即FDG ADC ∠=∠， ∴FD DG ⊥．【总结】证明垂直可以通过夹角是90°来说明，题中∠FDG 和直角ADE 有夹角，故而问题转化为证明∠ADE=∠GDC【例】如图，在ABC ∆中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且2EF AE FB =求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB =． 【解析】内接正方形（1）四边形EFGH 是正方形，90EF EH FG HEF EFG ∴==∠=∠=︒，．2EF AE FB =， EH FBAE FG ∴=， AEH ∴∆∽GFB ∆， AHE B ∴∠=∠，90A B A AHE ∴∠+∠=∠+∠=︒，90C ∴∠=︒．（2）∵A CHG ∠=∠，90AEH C ∠=∠=︒ ∴CHGEAH ∆∆∴AH HE HG CG =，即AH EFEF CG= ∴2AH CG EF = ∵2EF AE FB =ABCD E FGAB CDE ABCDE∴AH CG AE FB =【例】如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =． 【解析】矩形中的十字架模型 四边形ABCD 是矩形，//90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，． DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠．ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CDCD CE ∴=． 设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：2CD a =，∴2::2:2CD AD a a ==．【例】如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠． 求证：（1）2AD DE DB =；（2）DEC ACB ∠=∠． 【解析】子母三角形的应用 （1）DAE ABD ∠=∠，ADE ADB ∠=∠，ADE ∴∆∽BDA ∆，AD DEDB AD∴=，即2AD DE DB =． （2）2AD DE DB =，AD CD =，2CD DE BD ∴=⋅， 即DE CD CD BD=． EDC BDC ∠=∠，CDE ∴∆∽BDC ∆∴DEC ACB ∠=∠．【例】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ．（1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长． 【解析】一线三等角模型（根据外角性质证明）（1）有两对相似三角形AMF ∆∽MEF ∆，AEM ∆∽BMG ∆； 例证AEM ∆∽BMG ∆，证明过程如下；C EFGAB CDEFA90ACB ∠=︒，AC BC =，45A B ∴∠=∠=︒． 45EMG ∠=︒，EMB EMG GMB AEM A ∴∠=∠+∠=∠+∠． GMB AEM ∴∠=∠，∴AEM ∆∽BMG ∆．（2）4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=又M 为AB 中点， 1222AM BM AB ∴=== 由（1）得AEM ∆∽BMG ∆，AE AM BM BG ∴=2222=，解得：83BG =． 413CE CG ∴==，，根据勾股定理得：2253EG CE CG +=．【例】如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上，BA BD BC BE =．（1）求证：AE AD =；（2）如果点F 在BD 上，CF CD =，求证：2BD BE BF =． 【解析】相似三角形性质综合运用，等比例转化 （1）BA BD BC BE =，BA BEBC BD∴=， 又BD 平分ABC ∠， ABE CBD ∴∠=∠，ABE ∴∆∽CBD ∆，AEB BDC ∴∠=∠． ADE BDC ∠=∠，ADE AEB ∴∠=∠，∴AE AD =．（2）CF CD =，FDC DFC ∴∠=∠， BFC ADB ∴∠=∠．又ABE CBD ∠=∠， ABD ∴∆∽CBF ∆， BA BDBC BF∴=． 又BA BD BC BE =， BA BE BC BD ∴=， BD BEBF BD∴=． 即2BD BE BF =．【例】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒． 求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆；（2）22BC BE CD =． 【解析】等积式中数字2的转化，根据222BC AB = （1）90AB AC BAC =∠=︒，，45B C ∴∠=∠=︒．AEACD EM45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆，∴ABE ∆∽DCA ∆．（2）ABE ∆∽DCA ∆，AB BECD AC∴=，即2CD BE AB AC AB ⋅=⋅=． 90AB AC BAC =∠=︒，，2222BC AB CD BE ∴==⋅．【例】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =. 【解析】对数字2的转化，等分CD 或倍长DE 两个思路 方法一：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EH CD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴EHD M ∠=∠．又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽． ∴DM ADDH ED=， 即DM ED DA HD •=•． ∴12DM ED DA CD •=•，即2ED DM DA CD •=•．方法二：延长DE 至F ，使得EF=DE ，即DF=2DE ，连接CF ，因为CE=DE= 12DF 所以三角形CDF 是直角三角形，易证CDFMDA ∆∆，所以DF CDAD DM= 所以DF DM CD AD ⋅=⋅，即2ED DM AD CD =【例】如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆． 求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC .【解析】相似的性质，等角转化，等比例转化，判定定理二AB CDE（1）EDC ∆∽ABC ∆， EC DCAC BC ∴=，DCE ACB ∠=∠， 即EC ACDC BC=，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆．（2）AB AC =，B ACB ∴∠=∠．ACE ∆∽BCD ∆，CAE B ∴∠=∠． CAE ACB ∴∠=∠，∴AE //BC ．【例】如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD AB ⊥于点A ，交BC 边于点E ，DC BC ⊥于点C ，与AD 交于点D ．（1）求证：ACE ∆∽ADC ∆；（2）如果1CE =，2CD =，求AC 的长 【解析】子母三角形，相似三角形性质的应用 （1）∵AB AC = ∴B ACB ∠=∠∵90AEC B ∠=︒+∠，90ACD ACB ∠=︒+∠ ∴AEC ACD ∠=∠ 又CAE CAD ∠=∠ ∴ACE ∆∽ADC ∆、（2）由（1）可知AEB ∆∽CED ∆，AE AB CE CD∴=． 1CE =，2CD =25AB AE AC DE ∴==， ACE ∆∽ADC ∆， AC CEAD CD ∴=．即11252AC AC =+解得：25AC ．【例】已知AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 【解析】相似三角形的判定性质综合，倍长中线法 分别延长AD 、11A D 到点1E E 、．使得1111DE AD D E A D ==，．ABCDEFGH123AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D B E D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC CE AEAC C E A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠， ∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】通过全等和相似的性质，得到对应角相等，得出111BAC B AC ∠=∠，再根据SAS 判定相似.【例】如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值是多少？ 【解析】判定定理三，相似三角形的性质，角度转化 设正方形ABDC 、CDFE 、EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH ． ∴2AD DH AH DF AD AF=== ∴ADH FDA ∆∆∽． ∴3DAF ∠=∠．四边形ABDC 是正方形， ∴AB BD =． ∴145∠=． 又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】正方形方格中的相似问题，表示出各边边长，根据三边比例关系找相似【例】如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由.AB CDEF ABCDEF【解析】相似三角形的性质判定综合，翻折变换，分类讨论 有可能相似，翻折后，BF DF =．分以下两种情况讨论 （1）当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠． BF DF CD x ∴===，2CF x =-． CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； （2）当DFC BAC ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠， BF DF CF y ∴===则22y BC ==∴1y =即1BF DF CF ∴=== CD CF CB CA ∴=，即123x =． 23x ∴=． 综上，有可能存在相似，65CD =或23．【例】如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ， 交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数； （2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程． 又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？ （3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值【解析】相似三角形的判定性质综合运用，一线三等角模型，线段的垂直平分线（1）∵EF 是BD 的垂直平分线，∴EDB EBD ∠=∠，DBF BDF ∠=∠ ∴60EDF EBF ∠=∠=︒（2）∵120AED ADE ∠+∠=︒，120ADE CDF ∠+∠=︒ ∴AED CDF ∠=∠ 又A C ∠=∠ ∴ADECFD ∆∆∵相似比为1，则ADE CFD ∆≅∆，∴DE DF =． 又DB EF ⊥，∴DB 垂直平分EF ∴BD 平分ABC ∠，∴D 为AC 的中点,（3）8AED C AD AE ED AD AE EB AD AB ∆=++=++=+=10CFD C DF DC CF CF DC BF DC BC ∆=++=++=+=A BCDEO∵ADE CFD ∆∆ ∴45AED CFD C DE DF C ∆∆== ∴:4:5BE BF =【例】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，O 是AB 的中点，将45°角的顶点置于点O ，并绕点O 旋转，使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ，连接点D 、E ． （1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明； （2）设AD x =，BE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当x 为何值时，ODE ∆是等腰三角形？【解析】一线三等角模型，动点问题，等腰三角形的存在性问题 （1）存在相似，AOD BEO ∆∆∽90C ∠=︒，2AC BC ==，∴45A B ∠=∠=．又AOD DOE B BEO ∠+∠=∠+∠，而45DOE ∠=，∴AOD BEO ∠=∠， ∴AOD BEO ∆∆∽；（2）由AOD BEO ∆∆∽，得：AO ADBE OB=， 即22y =2y x =； 当E 点与C 重合时，x 取值最小值，1x =， 当D 点与C 重合时，x 取值最大值，2x = ∴()212y x x=≤≤（3）①当点E 与点C 重合时，ODE ∆是等腰直角三角形，即OD=ED ，此时1x =； ②当点D 与点C 重合时，ODE ∆是等腰直角三角形，即OE=ED ，此时2x =； ③ODE ∆是等腰三角形时，OD OE =，AOD BEO ∆≅∆，2AD OB ==2x =． 综上，当122x =，时，ODE ∆是等腰三角形．自主巩固【巩固】如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =则____AC =ABCDEA BP Q R 12【解析】由ACB DCF ∆∆∽，得CF CDCB AC=．得AC=6【巩固】已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E 在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值. 【解析】由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =； （2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 即3126x x =-，得212180x x -+=， 解得632x =± 综上：BE =4或632±【巩固】如图，A 是等边PQR ∆的边RQ 的延长线上的点，B 是QR 延长线上的点． （1）若1260∠+∠=︒，求证：2QR AQ BR =；（2）若12AQ QR =，当RB 与QR 满足什么条件时，BRP ∆∽PQA ∆？（3）BPQ ∆有可能与PQA ∆相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．【解析】（1）证明：PQR ∆是等边三角形，∴PQ PR QR ==，60PQR PRQ ∠=∠=， ∴120AQP PRB ∠=∠=．1A PQR ∠+∠=∠，而1260∠+∠=， ∴2A ∠=∠， ∴AQP PRB ∆∆∽．∴PQ AQDR PR=，即QR AQ DR QR =， ∴2QR AQ BR =； （2）当2RB QR =时，BRP ∆∽PQA ∆；（3）BPQ ∆与PQA ∆不可能相似，因为AQP BPQ B ∠=∠+∠，所以AQP BPQ ∠>∠，所以不可能相似．。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。
答案:(1)9:25 (2)5:3。
相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)
相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
相似三角形经典例题
相似三角形经典例题一、相似三角形概念相似三角形指的是有着相同形状但大小不同的三角形，即它们的对应角度相等而对应边长成比例。
根据这个概念，我们可以得出相似三角形的性质：1.对应角相等。
2.对应边成比例。
3.对应边比例相等的两个三角形面积成比例。
二、相似三角形的判定方法1.判定法一：AA判定法如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
例如：在三角形ABC和三角形XYZ中，∠A=∠X，∠B=∠Y，那么这两个三角形相似。
2.判定法二：SAS判定法如果两个三角形的一个角相等，另外两边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如：在三角形ABC和三角形XYZ中，∠A=∠X，AB/XY=BC/YZ，那么这两个三角形相似。
3.判定法三：SSS判定法如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如：在三角形ABC和三角形XYZ中，AB/XY=BC/YZ=AC/XZ，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等。
2.相似三角形的对应边成比例。
3.相似三角形的对应边比例相等的两个三角形面积成比例。
4.在一个三角形中，如果一条直线平行于一个边，将这个三角形分成两个相似的三角形。
5.在一个平面内，如果两条平行线分别与这个平面中的两个交点连接，得到的四边形中，两个三角形相似。
四、相似三角形的应用1.求解三角形的面积。
如果知道两个相似三角形的对应边比例以及其中一个三角形的面积，就可以求解另一个三角形的面积。
2.在建模中使用。
例如：建造模型时，如果需要制作大小不同的三角形，可以使用相似三角形的性质来实现。
3.解决实际问题。
例如：在实际应用中，通过测量相似三角形的一组对应边长及其面积，可以推断出另一组对应边长和面积，从而实现解决实际问题的目的。
五、相似三角形经典例题1.已知三角形ABC中，∠A=40°，∠C=70°，AD是BC的中线，求BD。
解：首先可以用角度求出∠B=70°，所以∆ABD和∆ACD相似。
专题02 相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(解析版)
专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】根据勾股定理，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝2．所以AB2+AC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．所以，夹直角的两边的比为＝2，观察各选项，只有C选项中的三角形与所给图形的三角形相似．故选：C．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（ ）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形【答案】B【解答】解：A、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故D不符合题意．B、两个等边三角形的各角度都为60°，各边对应相等，故A符合题意；C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故B不符合题意；D、这两个三角形可能分别为：30°，30°，120°与30°，75°，75°的两个三角形，故不能判定各有一个角是30°的两个等腰三角形一定相似，故C 不符合题意．故选：B．3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（ ）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解答】解：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等符合相似的条件；④不相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；⑤不相似，因为无法得到相等的角或成比例的边；⑥相似，因为两正五边形有相等的角或成比例的边故正确的有③⑥，故选：A．4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③【答案】B【解答】解：图形①的三边为：2，，；图形②的三边为：3，，；图形③的三边为：2，2，2；图形④的三边为：3，，，∵＝，＝＝∴①与③相似，故选：B．5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（ ）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答案】B【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；故选：B．【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（ ）A．B．C．2D．3【答案】C【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，即，解得DF＝2，故选：C．7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（ ）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81【答案】D【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，∴其面积之比是16：81，故选：D．8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，即＝，解得CD＝2．故选：B．9．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为 48 ．【答案】48．【解答】解：法一、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S＝×6×8＝24．△ABC∵△ABC∽△DEF，∴两个三角形的相似比为＝．∵△ABC的周长为6+8+10＝24，∴△DEF的周长＝2×24＝48．故答案为：48．法二、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．＝×6×8＝24．∴S△ABC∵△ABC∽△DEF，∴两个三角形的相似比为＝．∴△DEF的三边长分别为12、16、20．∴△DEF的周长＝12+16+20＝48．故答案为：48．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝ 8 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，因而两个三角形面积的比是81：36，相似三角形面积的比等于相似比的平方，则相似比是9：6，则有12：DE＝9：6解得：DE＝8cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为 32 cm2．【答案】32．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是3：4，∴这两个相似三角形的相似比是3：4，∴这两个相似三角形的面积比是9：16，∵较小三角形的面积为18cm2，∴较大的三角形面积为，故答案为：32．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为 1：36 ．【答案】1：36．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：6，∴它们的相似比为1：6，∴它们的面积比为1：36，故答案为：1：36．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是 1：3 ．【答案】1：3．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴两个三角形的相似比为，1：3，∴它们的周长比是1：3，故答案为：1：3．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE＝4，则BC＝ 6 ．【答案】6．【解答】解：∵AD＝6，BD＝3，∴AD：AB＝6：，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，∴BC＝6．故答案为：6．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为 27 cm2．【答案】27．【解答】解：设△A′B′C′的面积为Scm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，∴12：S＝9：4，解得S＝27cm2．故答案为：27．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣5＝3，AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4，∵＝＝，＝＝，∴，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴＝＝，∴△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵，AB＝18，AE＝15，∴＝＝，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵BF＝3，CF＝5，∴BC＝BF+CF＝8，∵DE＝15，DF＝25．∠E＝90°，∴EF＝＝20，∴，，∴，∵∠B＝∠E＝90°，∴△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：∵∠A＝40°，∠C＝80°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵∠AED＝60°，∴∠AED＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．【答案】见解答．【解答】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BDC，∴∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．【答案】见解析过程．【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．【答案】见解答．【解答】解：∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∵∠DEC＝∠B，∴∠ADB＝∠DEC，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，∴∠ADC＝∠AED，∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【答案】见解析过程．【解答】证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．【答案】△ABC∽△DEF．理由见解析．【解答】解：△ABC∽△DEF．理由：∵AC＝3，BC＝3.5，AB＝4，DF＝1.8，EF＝2.1，DE＝2.4，∴，∴△ABC∽△DEF．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察图象可知：∠ACB＝∠DEF＝90°，∵AC＝＝2，EF＝＝4，BC＝＝，DF＝＝2，∴＝＝，∴△ACB∽△FED．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．【答案】（1）12；（2）证明见解析．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCE，∠ABE＝∠D，∴△ABE∽CDE，∴＝，即＝，∴CD＝12；（2）证明：∵AB＝4，AE＝2，AC＝8，∴＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵AC⊥MN，BD⊥MN，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠AOC＝∠BOD+∠AOC，∴∠A＝∠BOD，∴△AOC∽△OBD；（2）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝4，∵△AOC∽△OBD，∴OC：BD＝AC：OD，∴3：BD＝4：3，∴BD＝．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．【答案】．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，在△ADM和△CDM中，，∴△ADM≌△CDM（SAS），∴CM＝AM．（2）解：过点E作EH⊥MC于点H，∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，由（1）知：△ADM≌△CDM∴∠AMD＝∠CMD，∵∠CME＝30°，∴∠AMC＝150°，∴∠AMD＝∠CMD＝75°，又∵∠CMD＝∠CBD+∠MCE，∴∠MCE＝∠CMD﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°∵EH⊥MC，∴△EHC为等腰直角三角形，设CH＝a，则EH＝a，在Rt△MEH中，∠CME＝30°，EH＝a，∴ME＝2a，由勾股定理得：，∴，∴．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）解：∵CD＝AC，∴＝，由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，∴＝（）2＝（）2＝．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15．【解答】（1）证明：∵∠CBD＝∠A，∠D＝∠D，∴△BCD∽△ABD；（2）解：由（1）知：△BCD∽△ABD，∴．∵BC：AB＝3：5，∴．设BD＝3x，则AD＝5x，∴CD＝AD﹣AC＝5x﹣16．∵△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3x）2＝5x（5x﹣16），∴16x2﹣80x＝0．解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝5，∴BD＝3x＝15．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵△AEF是△AED翻折得到，∴∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠FAB＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：由题意可知，AF＝AD＝8，，DE＝EF，设CE长为x，则，在Rt△ABF中，，∵△ABF∽△FCE，∴，即，解得：．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为 4 ．【答案】（1）见解析；（2）4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCF＝90°，∵＝，∴△ABE∽△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠AEB+∠BAE＝90°．∴∠AEB+∠EBG＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠EGB＝90°．即AE⊥BF；（2）解：过点E作EM⊥BC，交BF于M，设EM＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCF＝90°，AB＝CD，∴AB∥EM∥CD，∵E，F分别是BC，CD的中点，∴M是BF的中点，∴CF＝2EM＝2x，∴AB＝CD＝4x，∵AB∥EM，∴△ABG∽△EMG，∴＝4．故答案为：4．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．【答案】（1）详见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，∴∠BAC＝2∠EAB＝2∠BAD，∠EAD＝2∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．又∵，∴△AED∽△ABC．（2）解：由（1）知△AED∽△ABC，∴∠B＝∠E．又∵∠EFA＝∠BFD，∴∠EAB＝∠EDB．∵∠EAB＝∠BAD，∴∠EDB＝∠BAD．又∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BAD．∴＝．∴AB＝＝＝．答：AB的长为．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．【答案】（1）S＝﹣x2+12x（0＜x＜6）；（2）x＝4．【解答】解：（1）过点作AM⊥BC于点M，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴BM＝BC＝8，在Rt△ABM中，AM＝＝6，∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN＝DE，DN＝EM，∵BE＝x，∴EM＝DN＝8﹣x，设DE＝MN＝a，则AN＝6﹣a，∵DG∥EF，∴△ADN∽△ABM，∴＝，即＝，∴a＝x，∴DE＝x，＝DE•EF＝x•（16﹣2x）＝﹣x2+12x（0＜x＜6）∴S＝S矩形DEFG（2）当S＝24时，﹣x2+12x＝24，解得x＝4．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．【答案】2．【解答】解：如图所示，设EH与AD交于点M，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，EH＝FG，∴∠AEH＝∠ABC，∵∠EAH＝∠BAC，∴△AEH∽△ABC，∴，又∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，EH＝EF＝MD，∵EH∥BC，∴，即，设EH＝x，则AM＝AD﹣MD＝3﹣x，∴，解得x＝2，∴EH＝2，∴这个正方形的边长为2．。
相似三角形的性质与判定典型题(30道题之后是分析、解答、点评)
相似三角形的判定与性质练习同学们：这份试题难度较大，希望能够通过大家的研究掌握相似三角形的一些基本图形及应用，并从中总结一些解题规律和方法。
一．选择题（共14小题）1．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2011•遵义）如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．123．（2011•乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．14．（2011•威海）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：55．（2011•潼南县）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC 于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④6．（2011•铜仁地区）已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．7．（2011•台湾）如图为一△ABC，其中D、E两点分别在AB、AC上，且AD=31，DB=29，AE=30，EC=32．若∠A=50°，则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系，下列何者正确？（）A．∠1＞∠3 B．∠2=∠4 C．∠1＞∠4 D．∠2=∠38．（2011•台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC=∠C=∠D=90°，AD=3，BC=9，CD=8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．69．（2011•遂宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（）①AC•BC=AB•CD②AC2=AD•DB③BC2=BD•BA④CD2=AD•DB．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2011•锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．611．（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．B．2 C．3 D．412．（2011•大连）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）A．B．1 C．D．213．（2011•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．14．（2010•湘西州）如图，△ABC中，DE∥BC，=，DE=2cm，则BC=（）A．6cm B．4cm C．8cm D．7cm二．填空题（共12小题）15．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为_________．16．（2010•梧州）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE：EB=2：3，EF=4，则CD的长为_________．17．（2009•烟台）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DE=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是_________．18．（2009•黄石）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=_________．19．（2008•衢州）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为_________．20．（2008•南宁）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= _________．21．（2007•厦门）如图，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，∠DAE=20°，∠AED=90°，则∠B=_________度；若=，AD=4厘米，则CF=_________厘米．22．（2007•乌鲁木齐）如图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=_________．23．（2006•绵阳）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为_________．24．（2006•鄂州）如图，D为△ABC边AB上一点，要使AC2=AD•AB成立则需添加一个条件，这个条件可以是_________．25．（2006•长春）图中x=_________．26．（2004•芜湖）如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于_________ cm．三．解答题（共4小题）27．（2011•佛山）如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．28．（2011•眉山）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．29．（2011•济南）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC=∠BPC．30．（2011•岳阳）如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG=_________．请予证明．答案与评分标准一．选择题（共14小题）1．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质。
第34讲 相似三角形的性质及应用(解析版)
第34讲 相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.即12O D O E O F O A O B O C === .要点：21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D ¢¢¢¢¢¢¢××××==¢¢¢¢¢¢¢¢¢××△△1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．例1．已知V ABC∽V DEF，若AB：DE＝1：2，则V ABC与V DEF的面积之比是（ ）A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可求出答案．解：∵△ABC ∽△DEF ，2(,ABC DEF S AB S DED D \=∵ AB ：DE ＝1：2，，∴△ABC 与△DEF 的面积比211.24æöç÷==ç÷èø故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，而不等于相似比，题目比较典型，难度不大．例2．已知ABC DEF ∽△△，12AB DE =，若2BC =，则EF =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到AB BC DE EF =，代入求解即可．解：∵ABC DEF ∽△△，∴12AB BC DE EF ==，即212EF =，解得4EF =．故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．例3．如图，AB ∥CD ，34AE ED =，AB ＝2，则CD 的长为（ ）A．98B．83C．3D．4【答案】B 【解析】【分析】通过证明△ABE∽△DEC，可得AB AECD ED=，即可求解．解：∵AB CD∥，∴△ABE∽△DEC，∴AB AECD ED=，而34AEED=，AB＝2，∴23,4 CD=∴83 CD=，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．例4．如图，小明从路灯下A处，向前走了5米到达D处，在D处发现自己在地面上的影子长DE 是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是（）米．A．4.6B．5.6C．7.5D．8.5【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例可解．解：∵AD=5，DE=2，∴AE=7，∵AB⊥AE，CD⊥AE，∴△ABE∽△DCE，∴AB AE CD DE=，∴71.6 5.62AEAB CDDE=×=´=（米）．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．例5．如图：在△ABC中，AB＝AC，D是AC上的一点，且∠A＝∠DBC＝36°，则下列结论不成立的是（ ）A．BC＝AD B．点D是AC的黄金分割点C．AB CDBC BD=D．BC2＝AC•CD【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．解：A 、∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C 12=（180°﹣∠A ）12=´（180°﹣36°）＝72°，∵∠DBC ＝36°，∴∠ABD ＝∠ABC ﹣∠DBC ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°，∴∠BDC ＝∠C ，∴BC ＝BD ，∵∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴BC ＝AD ，故选项A 成立，不符合题意；∵∠A ＝∠DBC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ，∴AB ：BD ＝BC ：DC ，∴AB ：AD ＝AD ：DC ，∴点D 是AC 的黄金分割点，AB ：BC ＝BD ：CD ，故选项B 成立，选项C 不成立；D 、∵AD 2＝AB •CD ，AD ＝BC ，∴BC 2＝AB •CD ，故选项D 成立；故选：C ．【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．例6．如图，ABC V 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且2AD AE DB EC==，下列结论错误的是( )A ．DE BC∥B ．:2:3DE BC =C ．ADE V 与ABC V 的面积比为4:9D ．ADE V 与ABC V 的周长比为1:2【答案】D【解析】【分析】根据题中成比例线段证ABC ADE D D :，从而即可进行判断；解：∵2AD AE DB EC ==，∴23AD AE AB AC ==，∵∠A =∠A ，∴ABC ADE D D :，∴ABC ADE Ð=Ð，:2:3DE BC =；故B 不符合题意；∴DE BC ∥，故A 不符合题意；∵23AD AE AB AC ==，∴ADE D 与ABC D 的周长比为2:3；故D 符合题意；∴249ADE ABC S AD S AB D D æö==ç÷èø，故C 不符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．例7．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①12DE BC =；②12DOE COB S S D D =；③AD OE AB OB =；④13ODE ADC S S D D =，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由BE 、CD 是△ABC 的中线， 可得1,2DE BC = 即12DE BC =，从而可判断①；由DE 是△ABC 的中位线，可得△DOE ∽△COB ，从而可判断②；由△ADE ∽△ABC 与△DOE ∽△COB ，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ．可得点O 是△ABC 的重心，根据重心性质，BO ＝2OE ，△ABC 中BC 上的高＝△BOC 中BC 上的高的3倍，且△ABC 与△BOC 同底（BC ），可得3ABC BOC S S =V V ，由②和③知，13,44ODE COB ADE BOC S S S S ==V V V V ，从而可判断④．解：①∵BE 、CD 是△ABC 的中线，即D 、E 是AB 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴1,2DE BC = 即12DE BC =，故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ，∴221124DOE COB S DE S BC æöæö===ç÷ç÷èøèø△△，故②错误；③∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD DE AB BC=，∵△DOE ∽△COB ，OE DE OB BC \=， ∴AD OE AB OB=，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，根据重心性质，BO ＝2OE ，△ABC 中BC 上的高＝3△BOC 中BC 上的高，且△ABC 与△BOC 同底（BC ），∴3ABC BOC S S =V V ，由②和③知，14ODE COB S S =V V ，1=2AD DE AB BC =，∴221124DAE BAC S AD S AB æöæö===ç÷ç÷èøèøV V ，∴34ADE BOC S S =V V ，∴13ODEADE S S =V V ．故④正确．综上，①③④正确．故选C ．【点睛】本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．例8．如图，D 、E 分别是ABC V 的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，若:1:3BDE CDE S S =V V ，则DOE AOC S S V V :的值（ ）A ．13B ．14C ．19D ．116【答案】D【解析】【分析】证明:1:3=BE EC ，得出:1:4BE BC =；证明BDE BAC D D ∽，DOE AOC D D ∽，得到14DE BE AC BC ==，由相似三角形的性质即可解决问题．解：:1:3BDE CDE S S D D =Q ，:1:3BE EC \=；:1:4BE BC \=；//DE AC Q ，BDE BAC \D D ∽，DOE AOC D D ∽，\14DE BE AC BC ==，21:(16DOE AOC DE S S AC D D \==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．例9．ABC D 的边上有D 、E 、F 三点，各点位置如图所示．若B FAC Ð=Ð，BD AC =，BDE C Ð=Ð，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF 与ABC D 的面积比为何？（ ）A ．1:3B ．1:4C ．2:5D ．3:8【答案】D【解析】【分析】先证明ΔΔCAF CBA ∽，再利用相似三角形的性质求出AC =ΔΔ:5:16ACF ACB S S =，再证明BDE BCA D D ∽，求出ΔΔ:5:16BDE ABC S S =，即可求出答案．解：C C Ð=ÐQ ，CAF B Ð=Ð，ΔΔCAF CBA \∽，\CA CF CB CA=，2CA CF CB \=×，251680CA \=´=，0AC >Q ，AC \=\AC CB ==ΔΔ:5:16ACF ACB S S \=，同法可证BDE BCA D D ∽，BD AC =Q\BD BC =ΔΔ:5:16BDE ABC S S \=，()Δ:1655:163:8ABC ADEF S S \=--=四边形，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．例10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是⊙O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线y ＝34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则△CDE 面积的最小值为（ ）A．3.5B．2.5C．2D．1.2【答案】C【解析】【分析】连接OC，得到∠ACO＝90°，确定点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P 点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出点E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，证明△DPH∽△DEO，求出PH＝95，得到S△NED＝12×5×45＝2，S△MED＝12×5×245＝7，设△CDE面积为S，由此得到当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，由此确定答案解：连接OC，如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，当x＝0时，y＝34x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），当y＝0时，34x﹣3＝0，解得x＝4，则D（4，0），∴OD＝4，∴DE，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝95，∴MP＝PH+1＝145，NH＝PH﹣1＝45，∴S△NED＝12×5×45＝2，S△MED＝12×5×245＝7，设△CDE面积为S，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，∴S的范围为2≤S≤7，∴△CDE面积的最小值为2．故选：C．【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定及性质，这是一道图形类的综合题，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．例11．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD BD^．且测得 1.4AB=米， 2.1PB=米，PD=12米，那么该古墙的高度是__________米．【答案】8【解析】【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到AB BPCD PD=代入数值求解即可．解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABP =∠CDP =90°，∵∠APB =∠CPD ，∴△ABP ∽△CDP ∴AB BP CD PD=，即1.42.112CD = 解得：CD =8米．故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．例12．如图，已知CA DB ^，DE AB ^，AC 、ED 交于F ，3BC =，1FC =，5BD =，则AC =________．【答案】6【解析】【分析】由题意在Rt △CDF 中可求得DF =△CDF ∽△EDB ，可得CF DF BE BD =，可求得BE ，由勾股定理可求得DE ，进一步可求得EF ，再证明△BDE ∽△BAC ，可得到BE DE BC AC =，进而分析即可求得AC ．∵CA ⊥DB ，DE ⊥AB ，∴∠DCF =∠BED ，且∠D =∠D ，∴△CDF ∽△EDB ，∴CF DF BE BD=，∵BC =3，BD =5，∴CD =2，且FC =1，在Rt △CDF 中，DF ==，∴1BE =解得BE =在Rt △BDE 中，BD =5，BE =DE =，同理可证得△BDE ∽△BAC ，∴BE DE BC AC =，=，解得AC =6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法以及勾股定理是解题的关键．例13．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝，点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，则CF 长__．【解析】【分析】作EH ⊥BC 于H ，如图，利用等腰直角三角形的性质得BC ＝∠C ＝45°，再计算出EH ＝CH ＝BH ＝BE 后根据射影定理计算出BF ，然后计算BC−BF 即可．作EH ⊥BC 于H ，如图，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ＝，∴BC =＝∠C ＝45°，∵点E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝，∵△CEH 为等腰直角三角形，∴EH ＝CH ==∴BH ＝在Rt △ABE 中，BE ==在Rt △BEF 中，∵EH ⊥BF ，∴BE 2＝BH•BF ，即BF =∴CF ＝BC ﹣BF ＝=．【点睛】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了等腰直角三角形的性质．例14．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OA OC =，在AB 的延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F 已知,,AB m BC n BF k ===，则BE =___．（用含m 、n 、k 的代数式表示）【答案】2mkn k -【解析】【分析】作//OM AB 交BC 于点M ，首先证明OM 是△ABC 的中位线，求出OM ，FM ，再根据△OMF ∽△EBF ，可得BE BF OM FM=，由此求出BE 即可．解：如图，过点O 作//OM AB 交BC 于点M ．∵,//OA OC OM AB =，∴1122BM CM BC n ===，∴1122OM AB m ==，∵BF k =，∴12FM BM BF n k =-=-，∵//OM BE ，∴EBF OMF V V ∽，∴BE BF OM FM =，即1122BE k m n k =-，解得2mk BE n k =-．故答案为2mk n k-．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．例15．已知Rt △ABC ≌Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，点D 是边AB 的中点，∠FDE 的两边分别与AC 交于点G 、H ．当△BDH 与△ADG 相似时，CH 的长为__．【答案】74【解析】【分析】根据勾股定理求出AB 的长，然后分为三种情况讨论：当△BDH 与△ADG 相似时，①∠A ＝∠DBH ，②∠A ＝∠BHD ，③∠A ＝∠HDB ，对于①∠A ＝∠DBH ，②∠A ＝∠BHD 利用三角形相似的性质即可求解，③根据外角的性质判断出不存在．∵∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10，①当△BDH 与△ADG 相似时，∠A ＝∠DBH ，∴AH ＝BH ，∵点D 是边AB 的中点∴HD ⊥AB∴∠ADH ＝∠C ＝90°∴△ADH ∽△ACB ∴AD AC AH AB =∴58AH 10=∴AH 425=∴CH ＝AC ﹣AH ＝825744-=；②当△BDH 与△ADG 相似时，∠A ＝∠BHD∵∠ABH ＝∠DBH∴△ABH ∽△HBD ∴BD BH BH AB=∴BH ===∴CH ===③当△BDH 与△ADG 相似时，∠A ＝∠HDB∵HDB 是△ADH 的外角∴∠HDB ＞∠A∴这种情况不存在．故答案为74【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，根据题意选择适当的方法证明两三角形相似，并利用三角形相似的性质解答是本题的关键．例16．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点P 从点D 出发沿射线DC 以每秒1个单位长度的速度运动，过点P 作PF ⊥DE 于点F ，当运动时间为______秒时，以P 、F 、E 为顶点的三角形与△AED 相似．【答案】1或52【解析】【分析】分两种情形：①如图，当△PFE ∽△EAD 时，②如图，当△EFP ∽△EAD 时，分别求解即可．解：①如图，当△PFE ∽△EAD 时，∴∠ADE =∠FEP ，∴AD ∥PE ，∴PE ⊥CD ，∴四边形AEPD 是矩形，∵四边形ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，∴t =DP =AE =1；②如图，当△EFP ∽△EAD 时，∴∠ADE =∠FPE ，∠AED =∠FEP ，∵DC ∥AB ，∴∠AED =∠CDE ，∴∠FEP =∠CDE ，∴PD =PE ，∴PF 是DE 的垂直平分线，∴F 为DE 中点，DE =EF =DF =12DE∵DA DE PF EP =，解得t =DP =52，综上所述，满足条件的t 的值为1s 或52s ．故答案为：1或52．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．一、单选题1．在△ABC 中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC ∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是( )A ．2B C ．4D ．【答案】A【解析】根据相似三角形对应边成比例，得：△A′B′C′的三边比为2:3:4，由于两边长为1和1.5，即2:3，则第三边为1.5423´=，故选A.2．在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则下列等式中错误的是（ ）A ．AC ﹒BC=AB ﹒CDB ．AC ﹒BD=BC ﹒AD C ．AC 2=AB ﹒ADD ．CD 2=AD ﹒BD【答案】B【解析】【分析】如图，根据△ABC 面积的两种计算方法可以判断A 成立，根据△ACD~△CBD 可以判断B 错误、D 正确，根据△ACD~△ABC 可以判断C 正确．解：如图，A 、根据△ABC 面积的两种计算方法可知等式成立，正确；B 、由题意可知△ACD~△CBD,所以AC CD CB BD =,所以AC ﹒BD=BC ﹒CD ，错误；C 、由题意可知△ACD~△ABC,所以AC AD AB AC=,所以AC 2=AB ﹒AD ，正确；D 、由题意可知△ACD~△CBD, 所以AD CD CD BD=,所以CD 2=AD ﹒BD ，正确．故选B ．【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形被斜边上高分成若干相似三角形是解题关键．3．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD=4，BC=8，BD ：DC=5：3，则DE 的长等于 （ ）A ．203B ．174C ．163D ．154【答案】D【解析】试题分析：在△BDE 和△ADC 中，∠C=∠E ，∠BDE=∠ADC∴△BDE ∽△ADC ∴AD CD BD DE=∵BC=8，BD ：DC=5：3，∴BD=5，CD=3∴DE=154故选D.考点：相似三角形的判定与性质.4．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，MN 垂直平分AC ，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接．DN 若5DN =，则AB 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】【分析】根据垂直平分线的性质证明AMN ABC V :V ，可得到12MN BC =，即可得到MN CD =，得到△△R t A M N R t N D C @，即可得到结果；由题意知：MN 垂直平分AC ，∴12A N C N A C ==，90ANM Ð=°，∵90ACB Ð=°，∴MN BC P ，90ACD Ð=°，∴AMN ABC V :V ，90A N M A C B Ð=Ð=°，∴12A N A M N M A C AB BC ===，∴12MN BC =，∵12CD BC =，∴MN CD =，在Rt △AMN 和Rt△NDC 中，A N N C NM C D ì=í=î，∴△△R t A M N R t N D C @，∴AM DN =，∵5DN =，∴5AM =，512A B =，∴10AB =．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定及相似三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．5．如图，已知在ABC V 中，∥DE BC ，EF AB ∥，则下列比例式中正确的个数为（ ）①DE AE BC EC = ②AD AB B CE C = ③CE CA CF CB = ④AD AE AB AC =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的判定及性质分析结论即可．解：∵∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴=DE AE BC AC，故①错误；∵ADE ABC △△∽，∴=AD AE AB AC ，故④正确；由=AD AE AB AC 可得：--AB BD AC CE AB AC =，即11--BD CE AB AC =，∴=BD CE AB AC，故②正确；∵EF AB ∥，∴CEF CAB ∽△△，∴CE CA CF CB=，故③正确；综上所述：正确的有②③④．故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质．6．如图，BD 、CE 是ABC V 的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ）．A ．ADE V ∽ABCV B ．DOE △∽COB △C ．BOE △∽COD△D ．BOE △∽BDEV 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB ∽△AEC ∴AD AB =AE AC又∵∠A=∠A∴△ADE ∽△ABC ，故A 正确；∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE ∽△COD ，故C 正确；∵△BOE ∽△COD ∴OE OB =OD OC又∵∠DOE=∠COB∴△DOE ∽△COB ，故B 正确；无法判定△BOE ∽△BDE ，故D 错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键.7．如图，已知ABC V 的面积是12，6BC =，点E ，I 分别在边AB ，AC 上，在边BC 上依次作了n 个全等的小正方形，DEFG ，GFMN ，L ，KHIJ ，则每个小正方形的边长为（ ）A ．1211B ．1223n -C ．125D ．1223n +【答案】D【解析】【分析】设正方形的边长为x ，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可.当作了1个正方形时，如图所示，过A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，交GH 于N ，∴∠AMC=90°，∵四边形EFGH 为正方形，∴GH ∥BC ，GH=GF ，GF ⊥BC ，∴∠AGH=∠B ，∠ANH=∠AMC=90°，∵∠GAH=∠BAC ，∴△AGH~△ABC ，∴AN:AM=GH:BC ，∵△ABC 面积为12，BC 为6，∴1161222ABC s BC AM AM D ===n n n ，∴AM=4，设GH=x ，∵GF=NM=GH ，∴AN=AM−NM=AM−GH=4x -，∴464x x -=，∴125x =，同理，当2n =时，根据正方形性质可得：DN=2DE ，∴244DN DE BC -=，∴127DN =，以此类推，当为第n 个正方形时，每个小正方形边长为：1223n +，故选：D.【点睛】本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.8．如图，矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，点P 在对角线BD 上，且BP BA =，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为（ ）A B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质可求BD ，ABP QDP D D :，从而得到QC ，由勾股定理即可求解；解：∵在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，∴13BD ===∵AB ∥CD ，∴ABP QDPÐ=Ð∵APB QPDÐ=Ð∴ABP QDPD D :∵5BP BA ==∴1358DQ PD BD BP ==-=-=∴853QC DQ CD =-=-=∴BQ ==故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．9．如图，将⊙O 的圆周分成五等分（分点为A 、B 、C 、D 、E ），依次隔一个分点相连，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，M 也是线段NE 、AH 的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ）A ．MN AM =B ．FD AD =C ．BN ＝NM ＝MED ．∠A ＝36°【答案】C【解析】【分析】由A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的5等分点，连接CO 、OD 求得∠COD ＝72°根据圆周角定理得到∠CAD ＝36°；连接CD 、AE ，得出AM ＝EM ，再根据黄金分割的定义和相似三角形的性质判断即可．连接CO 、OD 、CD 、AE ，∵A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的5等分点，∴∠COD ＝3605°=72°，∴∠CAD ＝36°；D 正确，不符合题意；同理可得，∠BEA ＝∠DAE ＝∠BDC ＝∠ECD ＝∠ADB ＝36°；∴AM ＝EM ，∠AMN ＝72°；∴AM ≠MN ，C 错误，符合题意；∵M∴MN EM =MN AM =A 正确，不符合题意；∵∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝72°；∴△，∴CD AD =同理∠ACD ＝∠ADC ＝72°；∴∠ACD ＝∠DFC ＝72°；∴DC ＝∴FD AD =B 正确，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理、黄金分割和相似三角形，解题关键是根据圆周角定理求出角度，利用黄金分割和相似三角形解决问题．10．如图，直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ，DE AC ^于E ，则下列说法中正确的有（ ）个．①图中有4个三角形与ACB △相似；②2DE AE EC =×；③A BCD CDE Ð=Ð=Ð；④AD CE AC BD=；⑤若4AC =，3BC =，则163CD =；⑥AE AD EC DB =．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】【分析】根据题意，对选项逐一分析，即可得出结论.解：因为CD AB ^，DE AC ^，所以AED DEC ADC Ð=Ð=Ð =90°，A ACD Ð+Ð=90°，所以A ADE Ð+Ð=90°，可得ACD ADE Ð=Ð，所以AED DEC V :V ，所以AE DE DE CE=，即2DE AE EC =×，故选项②正确；由题意90ACB Ð=°，CD AB ^于D ，DE AC ^于E ，所以A B Ð+Ð=90°，90A ADE Ð+Ð=°，90A ACD Ð+Ð=°，90B BCD Ð+Ð=°，由相似的判定可知图中有4个三角形与ACB △相似，分别是ACD △、CDB △、ADE V 、DEC V ，故选项①正确；因为90ACB Ð=°，所以∠A 与∠B 互余，CD AB ^于D ，DE AC ^于E ，∠BCD 与∠B 互余，∠CDE 与∠DCE 互余，∠DCE 与∠BCD 互余，所以A BCD CDE Ð=Ð=Ð，故选项③正确；因为90ACB Ð=°，CD AB ^于D ，DE AC ^于E ，根据③中结论A BCD CDE Ð=Ð=Ð，所以ACD CBD V :V ，AD CD CD BD =，因为ACD DCE :△△，所以CD CE AC CD =，两式相乘即可得AD CE AC BD=，故选项④正确；若4AC =，3BC =，由勾股定理可得AB =5，利用等面积可得341255CD ´==，故选项⑤错误；因为DE ∥BC ，所以AE AD EC DB =，故选项⑥正确；5个正确，故答案为：D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.二、填空题11．如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若 AC =2，AD =1，则 DB =________．【答案】3【解析】【分析】由题意，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，可证△ABC ∽△ACD ，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．解：∵∠ACD =∠ABC ，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ACD ，∴=AB AC AC AD，∵AC =2，AD =1，∴1+221DB =，解得DB =3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．12．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，1AD =，3BC =，AC 与BD 相交于点O ，AOD △的面积为3，则BOC V 的面积是______．【答案】27【解析】【分析】首先证明△AOD ∽△COB ，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出BOC V 的面积.解：∵AD BC ∥，∴△AOD ∽△COB ，∴219AOD BOC S AD S BC æöç÷==ç÷èøV V ，∵AOD △的面积为3，∴BOC V 的面积是27，故答案为：27.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.13．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的安全距离.如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 处，小林驾驶一辆小轿车，距大车尾xm ，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m ，若小林能看到整个红灯，则x 的最小值为_____.【答案】10m【解析】【分析】根据平行证出ECD EAB :V V ，列出比例式即可求出x 的最小值.解：如下图，当红灯，大巴车车车顶和小张的眼睛三点共线时，x 最小，由题意可知CD AB P ，∴ECD EAB:V V ∴ED CD EB AB=即0.82010 3.2x x =++，解得10x =.∴x 的最小值为10m.故答案为：10m.【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握利用平行证相似及相似三角形的性质是解决此题的关键.14．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若AO DO CO BO=，8AO =，12CO =，15BC =，则AD =______．【答案】10【解析】【分析】首先证明△AOD ∽△COB ，然后根据相似三角形的性质求解即可.解：∵AO DO CO BO=，∠AOD=∠BOC ，∴△AOD ∽△COB ，∴AO AD CO BC =，即81215AD =，∴AD=10，故答案为10.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.15．如图，在ABC D 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AF 平分BAC Ð，交DE 于点G ，交BC 于点F ，若AED B Ð=Ð，且:3:2AG GF =，则:DE BC =_______．【答案】3：5【解析】【分析】根据题意利用相似三角形的性质即相似三角形的对应角平分线的比等于相似比即可解决问题.解：∵∠DAE=∠CAB ，∠AED=∠B ，∴△ADE ∽△ACB ，∵GA ，FA 分别是△ADE ，△ABC 的角平分线，∴DE AG BC AF=（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），AG ：FG=3：2，∴AG ：AF=3：5，∴DE ：BC=3：5，故答为3：5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，难度一般．16．如图，在Y ABCD 中，点E 在CD 边上运动(不与C ，D 两点重合)，连结AE 并延长与BC 的延长线交于点F.连结BE ，DF ，若△BCE 的面积为8，则△DEF 的面积为________．【答案】8【解析】试题解析：::.BCE CEF S S BC CF =V V Q:::.DEF CEF S S DE CE AD CF ==V V.AD BC =Q :::.DEF CEF BCE CEF S S S S BC CF \==V V V V8.DEF BCE S S \==V V 故答案为8.17．如图，△ABC 中，AB ＝8cm ，AC ＝16cm ，点P 从A 出发，以每秒1厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒2厘米的速度向A 运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是_____．【答案】325秒或4秒【解析】【分析】分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.设运动时间是t 秒∵点P 从A 出发，以每秒1厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒2厘米的速度向A 运动,2,162AP t CQ t AQ t\===-由题意可得：当8t =时，点P 运动到端点B ，此时点Q 正好运动到端点A ，均停止运动则要使A 、P 、Q 三点能构成三角形，t 的取值范围为08t <<BAC PAQ Ð=ÐQ ，且以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似∴AP AQ AC AB =或AP AQ AB AC=即162168t t -=或162816t t -=∴325t =或4t =故答案为：325秒或4秒.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，依据题意将三角形相似分两种情况讨论是解题关键.18．如图，边长为6的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是AB 上一点．点F 关于直线DE 的对称点G 恰好在BC 延长线上，FG 交DE 于点H ．点M 为AD 的中点，若MH =EG =_____．【答案】5【解析】【分析】连接DF ，DG ，过H 作HP ⊥AB 于P ，HQ ⊥AD 于Q ，由点F ，点G 关于直线DE 的对称，得到DF=DG ，根据正方形的性质得到AD=CD ，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt △AFD ≌Rt △CDG ，证得△FDG 是等腰直角三角形，推出四边形APHQ 是矩形，证得△HPF ≌△DHQ ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ ，证得APHQ 为正方形，利用正方形性质联系题中所给数据计算出正方形边长，然后再利用△FPH ∽△EHG 求得EG 长．解：连接DF ，DG ，过H 作HP ⊥AB 于P ，HQ ⊥AD 于Q ，∵点F ，点G 关于直线DE 的对称，∴DF=DG ，正方形ABCD 中，∵AD=CD ，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，∴∠GCD=90°，又在Rt △AFD 与Rt △CDG 中，AD CD DF DG=ìí=î∴Rt △AFD ≌Rt △CDG ，∴∠ADF=∠CDG ，∴∠FDG=∠ADC=90°，∴△FDG 是等腰直角三角形，∵DH ⊥CF ，12DH FH FG \==∵HP ⊥AB ，HQ ⊥AD ，∠A=90°，∴四边形APHQ 是矩形，∴∠PHQ=90°，∵∠DHF=90°，∴∠PHF=∠DHQ ，又在△PFF 与△DQH 中有:90HPF HQD PHF DHQHF HD °ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∴△HPF ≌△DHQ ，∴HP=HQ ，所以矩形APHQ 是正方形；设正方形APHQ 边长为a ，则在Rt △MQH 中，有（a-3）2+a 2=17，解得a=4；∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，又易证△FPH ∽△EHG ，则有EG GH FH PH =，即2FH EG PH=,又FH 2=22+42=20，PH=4，∴EG=5故答案为5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题19．根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x 和y 的值．【答案】（1）相似，4x =，10y =；（2）相似，124x =，33y =【解析】【分析】（1）由题得，1290G I Ð=ÐìíÐ=Ð=°î，根据两角对应相等的两个三角形相似可得，FGH JIH V :V ，由相似三角形的性质得，5386x y ==，解出x ，y 即可；（2）由90FHG GHK KHJ GHK Ð+Ð=°=Ð+Ð，从而得出，FHG JHK Ð=Ð，由7248348322==，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得，FGH JKH V :V ，由相似三角形的性质可解出x ，y ．在图（1）中，1290G I Ð=ÐìíÐ=Ð=°îQ ，FGH JIH \V :V ，GH FH GF IH JH IJ\==，5386x y \==，解得：4x =，10y =；在图（2）中，90FHG GHK KHJ GHK \Ð+Ð=°=Ð+Ð，FHG JHK \Ð=Ð，7248348322FH GH JH KH ====Q ，FGH JKH \V :V ，124x G \=Ð=°，3222y = ，124x \=°，33y =．【点睛】本题考查了相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定．20．如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 相似，AD ，BE 是ABC V 的高，A D ¢¢，B E ¢¢是A B C ¢¢¢V 的高，求证AD BE A D B E =¢¢¢¢．【答案】见解析【解析】【分析】由△ABC 与△A ′B ′C ′相似可得∠ABD =∠A ′B ′D ′，可证明△ABD ∽△A ′B ′D ，可得AB AD A B A D =¢¢¢¢，同理可证明AB BE A B B E =¢¢¢¢，可得出结论．证明：∵△ABC 与∽A ′B ′C ′，∴∠ABD =∠A ′B ′D ′，∵AD 和A ′D ′是高，∴∠ADB =∠A ′D ′B ′，∴△ABD ∽△A ′B ′D ，∴AB AD A B A D =¢¢¢¢，同理可得AB BE A B B E =¢¢¢¢，∴AD BE A D B E =¢¢¢¢．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．21．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，且//DE BC ．（1）若:1:1AD DB =，则:ADE DBCE S S V 四边形等于多少？。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
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相似三角形的判定与性质综合运用经典题型
考点一：相似三角形的判定与性质：
例1、如图，△PCD 是等边三角形，A 、C 、D 、B 在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC ∽△BPD ；⑵ CD 2
=AC ·BD.
例2、如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 函数关系式及自变量x 值范围，并求出当x 为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC 上是否存在点E ，使得△ADE 为等腰三角形？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由？
例3、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ：1）求证：△ADF ∽△DEC ； 2）若AB=4，
3
3=AD ,AE=3，求AF 的长。
考点二：射影定理：
例4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=4cm,AD=8cm,求AC 、BC 及BD 的长。
例5、如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=1
4 AD ，EG ⊥CF 于点G ，
（1）求证：△AEF ∽△BCE ； （2）试说明：EG 2
=CG ·FG.
例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合,再展开，折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ．
（１）求证：四边形AFCE 是菱形；（２）若AE=10cm ，△ABF 的面
积为24cm 2
，求△ABF 的周长；
（３）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2
＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
考点三：相似之共线线段的比例问题：
例7、已知如图，P 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD 、BC 、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H. 求证：
PG
PH
PF PE =
例8、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．（1）求证：PC 2
=PE •PF ；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB 的长．
A
B
C
D
F
A
B
C
D
E F
G
例9、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．
求证：BD•CF=CD•DF．
例10、如图：已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD=CE，直线CD与AE相交于点F．（1）求证：DC=AE；（2）求证：AD2=DC•DF．
例11、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD
于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）找出与△ABH相似的
三角形，并证明；（2）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．
例12、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG
相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．例13、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥
BM且与AC的延长线交于点E．求证：（1）△AED∽△CBM；（2）
AE•CM=AC•CD．
例14、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的
中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．（1）求证：FD2=FB•FC；
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．
例15、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.
(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度
数.
考点四：相似三角形的实际应用：
例16、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少？
例17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。
一个身高1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？
例18、两颗树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？
例19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m，地面影长BC=10m．
若此时1米高的标杆的影长恰好为2m．请你求出这棵大树AB的高度．例20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2
米，求电线杆的高度．
例21、如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
考点五：相似三角形中的动点问题：
例22、在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
例23、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值。
例24、如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A 点运动，设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当S△BCQ:S△ABC=1:3 ，求S△BPQ:S△ABC的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
例25、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC 向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．
（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，
求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶
点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．例26、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P、F、E为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
例27、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标；（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．。