数学《极差方差和标准差》知识点

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点

极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．

一、定义理解

1、极差

极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．

极差＝最大值－最小值

极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．

2、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．

求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据．

方差计算公式是：

s 2=1n

[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]；

3、标准差

在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2．

一组数据的标准差计算公式是S =x 为n 个数据12n x x x ，，

…，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．

二、例题讲析

例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下： 甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100

乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102

（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？

（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？ 解：（1）3.10010010110110410310296999710010

1）＝（＝甲+++++++++⨯x 甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9

（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(10

12222＝甲-++-+-=ΛS 甲队的标准差：

37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．

例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5

盆，记录其花期：

甲组：25，23，28，22，27

乙组：27，24，24，27，23

（1）10盆花的花期最多相差几天？

（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？

（3）施用哪种保花肥效果更好？

分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！

解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．

（2）由平均数公式得：252722282325(5

1）＝＝甲++++x

得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．

（3）由方差公式得：

得22S 乙甲

1.一组数据5，8，x ，10，4的平均数是2x ，则这组数据的方差是________．

2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm ）：2，－2，－1，1，0，

则这组数据的极差为______cm ．方差是_______，标准差是______

3.若样本1，2，3，x 的平均数为5，又样本1，2，3，x ，y 的平均数为6， 则样本1，2，3，x ，y 的极差是_______，方差是_______，标准差是______．

4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____，

标准差为________．

5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．

6.若样本x1，x2，……，x n的平均数为＝5，方差S2＝0.025，则样本4x1，4x2，……，4x n的平均数x＇＝_____，方差S＇2＝_______．