矩阵乘积的行列式(高等代数课件)
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§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
三、矩阵乘积的秩
定理2 设 Anm , Bms为数域 P上的矩阵，则
R( AB) min R( A), R(B).
证： 令 A (aij )nm , B (bij )ms , AB C (cij )ns . 设 B 的行向量组为 B1,L , Bm , C 的行向量组为 C1,L ,Cn . 则向量组合 ai1B1 ai2B2 L aim Bm
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
例1．设A为n级方阵，且 AA E, A 0,
证明： A E 0.
证： A E A AA A(E A) A E A
A (E A) A E A
又由 AA E, 有 A 2 1, A 1, 于是有
A E A E , 所以 A E 0.
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
而 A 0,
三、矩阵乘积的秩推广
定理2 设 Anm , Bms为数域 P上的矩阵，则
R( AB) min R( A), R(B).
推广 如果 A A1A2L At ，则 R( A) min{R( A1), R( A2 ),L , R( At )}.
c21 M
c22 M
L M
c2n M
,
AB
cn1 cn2 L cnn n
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj aikbkj ,
k 1
i, j 1,2,L ,n
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
一、矩阵乘积的行列式
定理 1 设 A，B 是数域 P 上的两个 n n 矩
一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩
引入
行列式乘法规则
a11 a12 L a1n
D1
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
an1 an2 L ann
A
B
b11 b12 L b1n
D2
b21 M
b22 M
L b2n MM
bn1 bn2 L bnn
c11 c12 L c1n
则
D1 D2
矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | .
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
二、非退化矩阵
定义 设 A为数域 P上的 n 级方阵，
若 A 0，则称 A为非退化的； 若 A 0，称 A为退化的． 注：n 级方阵 A 非退化 R( A) n A 0；
n级方阵 A 退化 R( AHale Waihona Puke Baidu n A 0.
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
推论 设 A, B为数域 P上的 n 级矩阵，则 AB 非退化 A, B 都非退化
AB 退化 A或 B 退化
证： AB非退化 AB 0 A B 0 A 0 且 B 0 A, B 都非退化 .
阵，那么
| AB | = | A | | B | ，
(1)
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘
积.
证明 这个定理就是第二章第八节的 定理 8 两
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
a11 a12
用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的 情形，即有
推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n n
k1
k 1
k 1
ci1,ci2 ,L ,cis Ci , i 1,2,L ,n
故 C1,C2 ,L ,Cn可由 B1, B2 ,L , Bm 线性表示.
所以 R(C ) R(B) ． 同理，R(C ) R( A).
R( AB) min R( A), R(B).
ai1b11 ai2b21 L aimbm1,L ,ai1b1s ai2b2s L aimbms
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
即有 ai1B1 ai2B2 L aim Bm
n
n
n
aikbk1, aikbk 2 ,L , aikbks ,
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
三、矩阵乘积的秩
定理2 设 Anm , Bms为数域 P上的矩阵，则
R( AB) min R( A), R(B).
证： 令 A (aij )nm , B (bij )ms , AB C (cij )ns . 设 B 的行向量组为 B1,L , Bm , C 的行向量组为 C1,L ,Cn . 则向量组合 ai1B1 ai2B2 L aim Bm
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
例1．设A为n级方阵，且 AA E, A 0,
证明： A E 0.
证： A E A AA A(E A) A E A
A (E A) A E A
又由 AA E, 有 A 2 1, A 1, 于是有
A E A E , 所以 A E 0.
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
而 A 0,
三、矩阵乘积的秩推广
定理2 设 Anm , Bms为数域 P上的矩阵，则
R( AB) min R( A), R(B).
推广 如果 A A1A2L At ，则 R( A) min{R( A1), R( A2 ),L , R( At )}.
c21 M
c22 M
L M
c2n M
,
AB
cn1 cn2 L cnn n
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj aikbkj ,
k 1
i, j 1,2,L ,n
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
一、矩阵乘积的行列式
定理 1 设 A，B 是数域 P 上的两个 n n 矩
一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩
引入
行列式乘法规则
a11 a12 L a1n
D1
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
an1 an2 L ann
A
B
b11 b12 L b1n
D2
b21 M
b22 M
L b2n MM
bn1 bn2 L bnn
c11 c12 L c1n
则
D1 D2
矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | .
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
二、非退化矩阵
定义 设 A为数域 P上的 n 级方阵，
若 A 0，则称 A为非退化的； 若 A 0，称 A为退化的． 注：n 级方阵 A 非退化 R( A) n A 0；
n级方阵 A 退化 R( AHale Waihona Puke Baidu n A 0.
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
推论 设 A, B为数域 P上的 n 级矩阵，则 AB 非退化 A, B 都非退化
AB 退化 A或 B 退化
证： AB非退化 AB 0 A B 0 A 0 且 B 0 A, B 都非退化 .
阵，那么
| AB | = | A | | B | ，
(1)
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘
积.
证明 这个定理就是第二章第八节的 定理 8 两
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
a11 a12
用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的 情形，即有
推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n n
k1
k 1
k 1
ci1,ci2 ,L ,cis Ci , i 1,2,L ,n
故 C1,C2 ,L ,Cn可由 B1, B2 ,L , Bm 线性表示.
所以 R(C ) R(B) ． 同理，R(C ) R( A).
R( AB) min R( A), R(B).
ai1b11 ai2b21 L aimbm1,L ,ai1b1s ai2b2s L aimbms
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩
即有 ai1B1 ai2B2 L aim Bm
n
n
n
aikbk1, aikbk 2 ,L , aikbks ,
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩