第48讲 圆的方程(原卷版)

第48讲 圆的方程

一、课程标准

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想

二、基础知识回顾

1、 圆的定义及方程

2、 点与圆的位置关系

(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．

(2)三种情况

圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)．

①(x 0 －a )2＋(y 0 －b )2＝r 2⇔点在圆上；

②(x 0 －a )2＋(y 0 －b )2>r 2⇔点在圆外；

③(x 0－a )2＋(y 0 －b )2

3、常用结论

(1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝C ≠0，B ＝0，

D 2＋

E 2－4A

F ＞0.

(2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.

三、自主热身、归纳总结

1、 已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 的值为( )

A. －43

B. －34

C. 3

D. 2 2、 点(m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )

A. 点在圆外

B. 点在圆内

C. 点在圆上

D. 不能确定

3、圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )

A ．－43

B ．－34 C. 3 D ．2

4、点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )

A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4

C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

5、(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )

A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋332＝43

B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －332＝43

C ．(x －3)2＋y 2＝43

D ．(x ＋3)2＋y 2＝43

6、已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．

四、例题选讲

考点一 圆的方程

例1、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．

变式1、（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．

(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上；

(2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.

变式2、(1) 已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为________________________________．

(2) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是

________________________．

(3) 若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．

方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.

考点二与圆有关的最值问题

例2若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．

(1)y

x－4；

(2)3x－4y；

(3)x2＋y2.

变式1、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．

变式2、已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则

(1)y x

的最大值和最小值分别为________和________； (2)y －x 的最大值和最小值分别为________和________；

(3)x 2＋y 2的最大值和最小值分别为_______和_______．

方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －b x －a

形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

考点三 与圆有关的轨迹问题

例3 已知△ABC 中，AB ＝AC ＝3，△ABC 所在平面内存在点P 使得PB 2＋PC 2＝3PA 2＝3，则△ABC 面积的最大值为____．

变式1、已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．

(1)求直角顶点C 的轨迹方程；

(2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．