钢管下料问题讲课教案
钢管下料问题
钢管下料摘要在生活中常遇到通过切割、剪裁、等手段，将原材料加工成所需尺寸的工艺过程，称为原料下料问题。
按照进一步工艺要求，确定下料方案，使用料最省或利润最大。
本文研究的是钢管下料问题。
用数学规划模型确定切割方案，使其既能满足顾客需求，又能用料最省。
对于问题(1)，以按照第i 种模式(1,2,,7i =)切割的原料钢管的根数为研究对象，确定下料方案，使其用料最省。
①以切割后剩余的总余料量最小为目标建立整数线性规划模型如下：7171min ,1,2,3..0,1,2,,7i ii ji i j i iz c x a x b j s t x i ===⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割27根原料钢管。
总余料量为27m 。
②以切割原料钢管的总根数最少为目标建立整数线性规划模型同上。
利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割25根原料钢管。
总余料量为35m 。
在余料没有什么用途的情况下，通常选择使用原料钢管的总根数最少为目标。
对于问题(2)，以所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m ，5m ，6m ，和8m 的钢管数量为研究对象(1,2,3i =)，此处仅以切割原料钢管的总根数最少为目标，建立整数非线性规划模型如下：31314141min ,1,2,3,4,1,2,3..,1,2,30,1,2,3ii ji i j i j ji j j ji j iz y r y b j c r m i s t c r n i y i =====⎧≥=⎪⎪⎪≥=⎪⎨⎪⎪≤=⎪⎪≥=⎩∑∑∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割28根原料钢管。
此整数非线性规划模型的解并不唯一，本文仅给出其中一组解。
关键字：钢管下料，用料最省，切割模式，整数线性规划，整数非线性规划1. 问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
《钢筋工程钢筋下料》课件
大型建筑工程通常需要大量钢筋，钢筋下料需要考虑工程规模、施工难度和工 期等因素。
详细描述
大型建筑工程如桥梁、高层建筑等，其钢筋用量大，结构复杂，需要精确计算 和合理安排钢筋下料。在案例一中，我们将介绍如何根据工程需求和施工条件 ，制定合理的钢筋下料方案，确保工程质量和进度。
案例二：复杂结构的钢筋下料
通过拉伸、弯曲等试验，检查钢筋的力学 性能是否符合标准，防止因力学性能不达 标而导致结构安全事故。
钢筋加工的质量控制
钢筋切断的质量控制
根据设计要求，使用合适的切割设备和工 具，准确地进行钢筋切断，防止出现过长
或过短的现象。
A 钢筋调直的质量控制
采用机械或人工方式对钢筋进行调 直，确保钢筋平直，无波浪形和折
防腐处理
考虑环境因素和工程要求 ，选择适合的防腐处理方 式，如镀锌、喷塑等。
提高钢筋下料效率的方法
优化下料方案
根据施工图纸和现场实际情况， 制定合理的下料方案，减少材料
浪费和加工时间。
使用自动化设备
采用自动化钢筋加工设备，提高 加工速度和精度，减少人工干预
。
提高操作技能
定期对钢筋加工人员进行技能培 训，提高其操作水平和熟练度。
03
钢筋下料的计算方法
钢筋长度计算
钢筋长度计算是钢筋下料的基础，需要综合考虑设计长度、搭接长度和弯曲调整值 等因素。
钢筋的设计长度需要根据图纸和规范要求进行确定，搭接长度和弯曲调整值也需要 根据实际情况进行计算。
在计算过程中，需要注意钢筋的接头位置和弯曲半径，以确保下料长度的准确性。
钢筋重量计算
完成加工后，应对钢筋进行质量 检验与验收，确保其符合设计要 求和相关规范。
钢筋下料的基本原则
管工下料培训材料 ppt课件
四、来回弯下料计算方法
1. 来回弯下料计算工况
⑤ 空间内有夹角来回弯 ➢ 测量不方便 ➢ 存在异面的情况
四、来回弯下料计算方法
2. 来回弯下料计算方法
① 通过平面几何的方法 ➢ 通过管道中心线和管口几何关系进行计算 ➢ 对于水平面和垂直面内的管道下料计算较为
方便 ➢ 对于倾斜面的管道下料计算，在测量过程中
2
L1
AD
a
R
tan
2
L2 BE b R tan 2
三、简单工况的下料方法
2. 弯头下料计算
L外弧
(D 2
R)
L内直
2 (R
D) sin 2
2
L内直
2 ( L外弧
D) sin 2
R L外弧 D
2
三、简单工况的下料方法
acos(1) 60 2
二、管工数学基础
⑥ 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2abcosC
⑦ 三角形面积
S 1 底边高 2
S 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B
一、常见下料工况介绍
4. U型弯
一、常见下料工况介绍
5. 空间摆头
二、管工数学基础
1. 三角形
① 勾股定理
a2 b2 c2
② 三角函数计算公式
正弦 sin A a c
余弦 cos A b c
正切 tan A a b
sin B b c
cosB a c
(完整版)钢管下料问题
钢管下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m。
(1) 现在一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管。
应如何下料最节省？(2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外，该客户除需要(1) 中的三种钢管外，还需要10根5m的钢管。
应如何下料最节省。
问题(1)分析与模型建立首先分析1根19m的钢管切割为4m、6m、8m的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程：4k1 6k2 8k3 19的整数解。
但要求剩余材料r 19 (4k1 6k2 8k3) 4。
容易得到所有模式见表1。
表1钢管切割模式决策变量用X i表示按照第i种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。
以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有min z x1 x2X3 X4 X5 X6 X7约束条件为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有4x-| 3X22X3X6X7506米长的钢管至少20根，有X2 3X5 X6 2x7208米长的钢管至少15根，有X3 2X4 X6 15因此模型为:min z x-i x2 x3 x4 X5 x6 x74x1 3x2 2x3 x6 x7 50x2 3x5 x6 2x7 20s.t.x3 2x4 x6 15X取整,i 1,2,L ,7解得：x1 0,x2 12,x3 0,x4 0,x5 0, x6 15,x7 0 目标值z=27 。
即12根钢管采用切割模式2：3根4m, 1根6m,余料1m。
15根钢管采用切割模式6: 1根4m , 1根6m , 1根8m，余料1m。
切割模式只采用了2种，余料为27m，使用钢管27根。
LINGO 程序：model:sets:model/1..7/:x;endsetsmin=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50;x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20;x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i)));end问题( 2)模型建立首先分析 1 根19m 的钢管切割为4m、6m、8m、5m 的钢管的模式,所有模式相当于求解不等式方程：4k1 6k2 8k3 5k4 19的整数解。
《钢筋下料图解》课件
校核与修正
对所绘制的钢筋下料图进行校核，确保其准 确性和可行性，如有需要可进行修正。
钢筋下料图的绘制技巧
熟图纸规范
了解并熟悉钢筋下料图的 绘制规范和标准，确保图 纸的规范性和准确性。
注意细节
在绘制过程中注意细节的 处理，如线条的粗细、标 注的清晰度等，以提高图 纸的可读性和准确性。
实践经验积累
通过不断的实践和经验积 累，提高自己的绘图技巧 和技能水平。
检测内容
包括钢筋规格、外观质量、平直度、下料长 度等方面。
检测工具
可以使用卡尺、钢卷尺、钢筋试验机等工具 进行检测。
检测频次
应根据实际情况和施工要求确定检测频次， 一般不少于每批次一次。
钢筋下料的质量问题与解决方案
钢筋规格不符
应立即停止使用，并追查来源，确保 使用合格的钢筋。
钢筋外观质量缺陷
可以进行打磨、除锈等处理，严重者 应予以退货。
04
钢筋下料的实际操作
钢筋下料的工具与材料
工具
切割机、钢筋弯曲机、钢筋钳、扳手等。
材料
钢筋、连接件、夹具等。
钢筋下料的操作流程
准备工作
熟悉图纸，明确钢筋 规格、数量和位置。
下料
根据图纸要求，使用 切割机进行钢筋切割 。
弯曲
使用弯曲机对钢筋进 行弯曲，使其符合设 计要求。
组装
将钢筋与连接件、夹 具等组装在一起，形 成完整的结构。
使用专门的绘图软件，如AutoCAD、 SketchUp等，进行钢筋下料图的绘制 。
钢筋下料图的绘制步骤
确定图纸比例和尺寸
根据实际需要选择合适的比例和尺寸，确保 图纸的准确性和可读性。
绘制构件轮廓
根据设计图纸或实际构件的形状，绘制出其 轮廓线。
数学实验钢管下料问题
钢管的下料问题 线性规划中的整数规划基本形式
Max(Min)(c
1
x+
1
c
2
x
2
+…+
c
n
xn
)
a x+
11 1
a
12
x2
+…+
a1n
xn
(=,)
b
1
a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm
x1~n 0 且取整数
x3 x5 2x7 15源自（1）求解得到： x2 12,x5 15,其余0，最优值27
（2）
（2）求解得到： x2 15,x5 5,x7 = 5 其余0,最优值25 结果分析：（2）比（1）总余量增加了 8cm 但是所有原料的钢管的总跟数减
少了两根。在余料没有什么用途的情况下，通常选用总跟数最小为目标。 问题（2）的求解 模型建立
显然他 们应当是非负整数
目标函数：总余量最小
Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7 切割总数量最小
（1）
Min Z1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条件：
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 s.t. x2 2x4 x5 3x6 20
r11x1 r12 x2 r13x3 50 s.t.r21x1 r22 x2 r23x3 50
r31x1 r32 x2 r33x3 50 r41x1 r42 x2 r43x3 50
10-桥梁工程施工教案钢筋下料
北京财贸职业学院建筑管理学院《桥梁工程施工》课程教案2016 ～2017 学年第 2 学期主讲教师范宝莉授课班级市、水14专业系（科）市政教研室（组）市政北京财贸职业学院建筑学院教案首页教学过程与内容师生活动时间分配复习新课6.1.2钢筋工程二、钢筋的配料配料：按照设计图纸的要求，确定各钢筋的直线下料长度、总根数及总重量，提出钢筋配料单，以供加工制作。
（一）下料长度计算：1、钢筋外包尺寸——外皮至外皮尺寸，由构件尺寸减保护层厚度得到。
2、钢筋下料长度=直线长=轴线长度=外包尺寸之和－中间弯折处量度差值＋端部弯钩增加值解：①钢筋：外包尺寸=6000-2*25+200*2=6350弯折度量差值：2 ×90°度量差值=2×2d=50mm弯钩增长值= 2×180°弯钩= 2×6.25d=325mm 下料长度=6350-50+325=6625mm3、中间弯折处的量度差值=弯折处的外包尺寸－弯折处的轴线长几种常用弯折角度的量度差值：4、端部弯钩增加值：规范规定：HPB235级钢筋端部应做180°弯钩，弯心直径≥2.5d，平直段长度≥3d。
HRB335、HRB400级钢筋：设计要求端部做135°弯钩时，弯心直径≥4d，平直段长度按设计要求。
一个弯钩增加长度：师生互动难点学生掌握经验结果即可学生掌握5分钟60分钟教学过程与内容师生活动时间分配5、对箍筋的要求及下料计算（1）绑扎箍筋的端头形式：90°/90°，90°/180°，135°/135°（2）箍筋弯心直径（D）≮2.5d，且＞纵向受力筋的直径3）箍筋弯钩平直段长：一般结构=5d，抗震结构=10d（4）矩形箍筋外包尺寸＝2（外包宽＋外包高）外包宽（高）=构件宽（高）－2×保护层厚＋2×箍筋直径（5）一个弯钩增加值：90°——（D/2＋d/2）π/2－（D/2＋d）＋平直段长6）箍筋下料长度：L=外包尺寸－中间弯折量度差值＋端弯钩增长值矩形箍筋135°/135°弯钩时，近似为L=外包尺寸＋2×平直段长（7）为方便计算，直接用箍筋调整值进行计算。
流通加工 钢管下料 指导书
《流通加工作业——钢管下料》实训指导书工作任务某物流配送中从钢管厂进货，需要将钢管按照用户的要求切割后进行配送，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是7.4米长，而用户分别需要2.9米长、2.1米长和1.5米长的钢管各100根，应如何下料使原材料最节省？1.问题分析首先，应当确定哪些切割方案是可行的，所以一个切割方案，是指按照用户需要在原料钢管上安排切割的一种组合，例如，我们可以将7.4米长的钢管截下2.9米的一根、1.5米的三根，所剩料头为0；或者截两根2.9米、一根1.5米的，所剩料头为0.1米，可行的切割方案是很多。
其次。
应当确定哪些切割方案是合理的。
用场假设一个合理的切割方案的余料应该很小，至少不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸，在这种合理性假设下，可以选择的切割方案一共有4钟，如表1所示。
问题转化为满足用户需要的条件下，按照那些种合理的方案使原材料最为节省。
而所谓节省，切割后剩余的料头和最小火切割原料钢管的总根数最少。
2.模型建立假设四种方案切割的钢管数分别为：X1，X2，X3，X4决策目标：切割后剩余的料头最少，设切割后剩余的料头和为Y目标函数为：MinY=0X1+0.1X2+0.2X3+0.3X4结束条件为：X1+2X2+X4=1002X3+2X4=1003X1+X2+2X3=100X1，X2，X3，X4≧0上述实际问题就变成这样一个数学问题，求解满足约束条件的X1，X2，X3，X4使Y达到最小值，这是一个规划且接问题，建立完数学模型后，如果利用手工求解时非常复杂的，我们可以利用Excel中的“规划求解”工具进行求解。
3.求解利用Excel具体求解步骤如下：➢启动Excel，新建一张工作表➢按表1的形式将数据输入到工作表中，如图1所示➢在B2单元格中输入公式“=B8*B9+C8*C9+D8*D9+E8*E9”，即规划求解的“目标函数”。
➢在F4单元格中输入公式，如图1所示，它对应岁列出的第一个“约束条件”。
数学建模--钢管下料问题
钢管下料问题摘要:如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点,本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。
分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。
大规模数学规划的描述分为四个部分： model:1．集合部分（如没有，可省略） SETS:集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS2．目标函数与约束部分3．数据部分（如没有，可省略）4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end关键字：材料 Lingo 软件 整数规划问题描述：某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。
（1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。
应如何下料最节省？（2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。
应如何下料最节省。
（1）问题简化：问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根问题2. 客户增加需求：由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。
如何下料最节省？问题分析：切割模式,例如：按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？两种标准：1.原料钢管剩余总余量最小。
钢管下料问题
钢管下料问题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--钢管下料问题1 问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm 。
现有一客户需要15根290 mm 、28根315 mm 、21根350 mm 和30根455 mm 的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的一种切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm 。
为了使总费用最小，问我们应如何下料2 问题的假设(1) 假设4种切割模式使用频率为4321x x x x ≥≥≥。
(2) 假设题目中每种切割模式下使用原料的总根数余料浪费不能超过100 mm 。
3 问题的分析题目中要我们求最小费用。
目标函数中可以设原料钢管总费用为1。
然后就可以列出。
其次要确定满足要求的钢管切割模式。
而题目中提到使用频率最高的一种切割模式，我们可以假设，给满足要求的切割模式排序。
观察题目知，约束条件很多，要考虑全面。
在这，余料约束理解为每一种切割模式下使用的钢管总根数的余料浪费不能超过100 mm 。
为了缩小可行解的搜索范围，可以考虑上下界的约束。
最后建立模型求解即可。
4 模型的建立与求解模型的建立由于所使用的切割模式的种类不能超过4种，可以用i x 表示按照第i 种模式)4,3,2,1(=i 切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。
设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290 mm 、315 mm 、350 mm 和455 mm 的钢管数量分别为i i i i r r r r 4321,,,(非负整数)。
下料问题
原料下料问题 生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将 原材料加工成所需大小 按照工艺要求，确定下料方案，使所用材 料最省，或利润最大
例1 钢管下料
客户需求 4米50根 6米20根 原料钢管:每根19米 8米15根 节省的标准是什么？ 5米10根
问题1. 如何下料最节省 ? 问题2. 客户增加需求：
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
钢管下料问题1 目标2（总根数） Min Z 2 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7
+ 3 x x 2 + 2 3 + x 4 + x 5 ³ 50 约束条 4 x1 件不变 x x x 2 + 2 4 + x 5 + 3 6 ³ 20
. 5 x x x 1 + 2 2 + x 3 + 3 4 £ 144000 (40小时) 约束 时间约束 1 条件 + x , x 2 + x 3 £ 50000 4 £ 20000 原料约束 x1
约束 条件
产量 x 1 x 2 x 3 x 4
由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成 本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米1根 4米1根 6米1根 6米1根 8米1根 6米1根 8米1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
y1 = min{ x x x 10 x x x x } 1 + 2 2 + 4 4 , ( 1 + 4 2 + 16 3 + 5 4 ) / 2
数学建模之钢管下料问题案例分析学习资料
数学建模之钢管下料问题案例分析钢管下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
(1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。
应如何下料最节省？(2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。
应如何下料最节省。
问题（1）分析与模型建立首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819k k k ++≤的整数解。
但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。
容易得到所有模式见表1。
表1 钢管切割模式决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。
以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有 1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为：1234567min z x x x x x x x =++++++123672567346432503220..215,1,2,,7i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥⎧⎪+++≥⎪⎨++≥⎪⎪=⎩取整 解得：12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x =======目标值z=27。
即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。
15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。
管道工培训课件：下料讲解
管道工
下料
管道系统由不同形状、不同长度的管段组成。在管道工程安装施工中，为了得到所需长度的管段，需在实际安装位置对管道分路、变径、预留管口、阀门等位置做出标记，预先对管段的长度进行测量，计算岀管子加工时的下料尺寸，然后根据管段的下料尺寸切断管子。量尺、下料是管道工程安装施工使用最频繁，也是最关键的一项程序。量尺和下料尺寸 是否准确，直接关系到安装工程质量的优劣，关系到安装工期及人力、物力的消耗。 根据图纸的尺寸要求，管道需要截成合适的长度，以便于施工，这个过程称为下料。
管道的安装加工对象是管子，管段的下料长度（即管段的加工长度），使管子与管件连接后符合管段长度的要求。管段是由两管件（或阀门）之间 的管子与管件组成的一段管道。两管件中心线之间的长度称为管段的构造长度。管段中管子在轴线方向的有效 长度称为管段的安装长度。管段安装长度的展开长度称为管段的下料长度。当管段为直管时，下料长度就等于安装长度；如管段中有弯时，则下料长度大于安装长度。由于在管道安装中，管件（或阀门)自身占有长度，且连接时管子又要伸入管件内一定长度，因此要使管子的下料长度准确，必须掌握正确的下料方法。常用的有计算下料法与比量下料法两种。
50
拧入深度/mm
11
13
14
16
18
20
承插连接计算下料。计算时，先量出管段的构造长度，并且査出连接管 件的有关尺寸，如图所示，然后按下式计算其下料长度;
2．比量法下料 比量法下料多用于金属管道和非金属管道的螺纹连接和承插连接。 （1）螺纹连接比量法 以图为例，先在钢管的一端套丝，再缠上麻丝或生料带，并拧紧前方的管件。在管子的另一端用后方的管件比量，使两管件的中心距为构造长度L，再从管件边缘量螺纹拧进深度b，在钢管上用锯条锯出切断线，如图 （a）所示。
数学规划之钢管和易拉罐下料
3
优化策略
在求解过程中，可以采用一些优化策略来加速求 解过程，例如分支定界法、动态规划等。
04
易拉罐下料数学规划模型
易拉罐下料问题描述
易拉罐下料问题
易拉罐制造过程中，如何 将一块金属板材切割成多 个易拉罐的底部和侧面， 以最小化材料浪费。
约束条件
易拉罐的底部和侧面具有 特定的形状和尺寸，需要 满足一定的物理和机械性 能要求。
物流运输
物流运输是现代社会不可或缺的一部分。通过数 学规划方法，可以合理规划运输路线、降低运输 成本、提高运输效率等。
03
钢管下料数学规划模型
钢管下料问题描述
钢管下料问题
给定一根长度为L的钢管，需要切割 成若干段长度不同的小钢管，每段小 钢管的长度和数量有一定的要求，如 何切割使得浪费的材料最少。
易拉罐下料问题
由于模型复杂度高，通常采用启发式 算法如遗传算法、蚁群算法、粒子群 算法等进行求解。这些算法能够在可 接受的时间内找到近似最优解，但无 法保证找到全局最优解。
06
数学规划在钢管和易拉罐 下料中的应用实例
钢管下料应用实例
线性规划模型
根据钢管的长度、直径和壁厚等参数，以及客户需求的长度和数 量，建立线性规划模型进行下料优化。
问题描述的比较
钢管下料问题
给定一根钢管，需要将其切割成若干小段，每段长度不同，且满足一定的需求 量和成本限制，目标是使得总成本最小。
易拉罐下料问题
给定一批易拉罐，需要将其按照不同的方式进行裁剪和加工，得到不同规格和 数量的产品，同时满足一定的需求和资源限制，目标是使得总收益最大。
数学模型的比较
钢管下料问题
本。
提高生产效率
优化下料方案可以减少生产过程中 的调整和等待时间，提高生产效率。
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钢管下料问题
钢管下料问题
1 问题的提出
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm 。
现有一客户需要15根290 mm 、28根315 mm 、21根350 mm 和30根455 mm 的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的一种切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm 。
为了使总费用最小，问我们应如何下料？
2 问题的假设
(1) 假设4种切割模式使用频率为4321x x x x ≥≥≥。
(2) 假设题目中每种切割模式下使用原料的总根数余料浪费不能超过100 mm 。
3 问题的分析
题目中要我们求最小费用。
目标函数中可以设原料钢管总费用为1。
然后就可以列出。
其次要确定满足要求的钢管切割模式。
而题目中提到使用频率最高的一种切割模式，我们可以假设，给满足要求的切割模式排序。
观察题目知，约束条件很多，要考虑全面。
在这，余料约束理解为每一种切割模式下使用的钢管总根数的余料浪费不能超过100 mm 。
为了缩小可行解的搜索范围，可以考虑上下界的约束。
最后建立模型求解即可。
4 模型的建立与求解
4.1 模型的建立
由于所使用的切割模式的种类不能超过4种，可以用i x 表示按照第i 种模式)4,3,2,1(=i 切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。
设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290 mm 、315 mm 、350 mm 和455 mm 的钢管数量分别为i i i i r r r r 4321,,,(非负整数)。
设一根原料钢管价值为1。
决策目标 切割原料钢管总费用最少，目标为
43214.13.12.11.1m in x x x x +++
约束条件
1) 客户的需求约束
为满足客户的需求，应有
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30212815432144434241343332312423222114131211x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r
2) 钢管成品量约束
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过
1850mm ，也不能少于1560mm(余料不能大于290mm),于是
()1850455350315290156044434241343332312423222114131211≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤r r r r r r r r r r r r r r r r 3) 不同切割模式切割次数约束
每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)，即
()5,,2,1,54321Λ=≤+++i r r r r i i i i
4) 余料约束
为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，即
()4,3,2,1,10045535031529018504321=≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-i r r r r i i i i 5) 原料钢管总根数上下界约束
所需原料钢管的总根数有上界和下界。
首先，原料钢管的总根数不可能少于
19]1850
30455213502831515290[=⨯+⨯+⨯+⨯根 这就得到了最优解的一个下界。
其次考虑一种非常特殊的生产计划，即
第一种切割模式下只生产290mm 钢管，一根原料钢管切割成6根290mm 钢管，为满足15根290mm 钢管的需求，需要3根原料钢管。
第二种切割模式下只生产315mm 钢管，一根原料钢管切割成5根290mm 钢管，为满足28根315mm 钢管的需求，需要6根原料钢管。
第三种切割模式下只生产350mm 钢管，一根原料钢管切割成5根350mm 钢管，为满足21根350mm 钢管的需求，需要5根原料钢管。
第四种切割模式下只生产455mm 钢管，一根原料钢管切割成4根455mm 钢管，为满足30根455mm 钢管的需求，需要8根原料钢管。
于是满足要求的这种生产计划，共需
228563=+++根
这就得到了最优解的一个上界。
所以有以下约束
22194
1≤≤∑=i i x
6) 不同切割模式使用频率约束
切割模式使用频率约束。
根据假设(1)知
4321x x x x ≥≥≥
综上所述，建立如下的整数非线性规划模型
()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥≥≥≥≤≤=≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+++≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∑=4,3,2,1,,0,,,4
,3,2,1,,022
194,3,2,1,100455350315290185051850455350315290156030212815..4.13.12.11.1min 432143214143214321444342413433323124232221141312114321444342413433323124232221141312114
321i r r r r i x x x x x x i r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r x x x x r r r r r r r r r r r r r r r r t s x x x x i
i i i i i i i i i i i
i i i 且为整数且为整数 4.2 模型的求解
运用LINGO 软件进行求解。
我们得到只使用3种切割模式，且分别使用
14,4,1次；而且每种原料钢管用第1种模式生产4种产品各1,2,0,1根，用第2种模式生产4种产品各0,0,5,0根，用第3种模式生产4种产品各2,0,1,2根，目标函数值为21.5。
附录
min =1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;
r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28; r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1560;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1560;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1560;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1560;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;1850-
(290*r11+315*r21+350*r31+455*r41)<=100;1850-
(290*r12+315*r22+350*r32+455*r42)<=100;1850-
(290*r13+315*r23+350*r33+455*r43)<=100;1850-
(290*r14+315*r24+350*r34+455*r44)<=100;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;@gin (x1);@gin (x2);@gin (x3);@gin (x4);@gin (r11);
@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24) ;@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43 );@gin(r44);。