浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学试题
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（13）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.46.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6对称.则θ的最小值为（）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6A. π6B. π3C. π2D.π9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+210.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.10 D.1411.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i的虚部为___ .模为___ ． 12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ）.则该几何体的体积（单位：cm 3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm 2）为___ ．13.（填空题.6分）若（1+x ）（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8.则a 1+a 2+…+a 7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法． 14.（填空题.6分）已知数列{a n }.{b n }满足：a 1=1.a n +a n+1=n.b n =a 2n-1.则数列b n =___ ；记S n 为数列{a n }的前n 项和.S 31-S 24=___ ．15.（填空题.4分）函数f （x ）=sin （ωx+φ）的部分图象如图所示.则f （x ）的单调递增区间为___ ．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．20.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1= 12，(a n+1+1)(a n+1)=2a n+1，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*.a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜112．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）【正确答案】：C【解析】：求出集合A.集合B.由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}.集合B={x|-1≤x≤1}.∴A∩B={x|0＜x≤1}=（0.1]．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（1）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）3A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b【正确答案】：D【解析】：根据指数函数和对数函数的性质即可求出．）-0.8=30.8.【解答】：解：a=30.7.b=（13则b＞a＞1.log0.70.8＜log0.70.7=1.∴c＜a＜b.【点评】：本题考查了指数函数和对数函数的性质.属于基础题．3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β【正确答案】：B【解析】：由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：对于A.若α || β.m || β.则l || m或l与m异面.故A错误；对于B.若α || β.m⊥β.则m⊥α.又l⊂α.则l⊥m.故B正确；对于C.若1 || m.α || β.则m || β或m⊂β.故C错误；对于D.若l⊥m.m || β.则α || β或α与β相交.故D错误．故选：B．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]【正确答案】：A【解析】：根据二元一次不等式组画出可行域.目标函数几何意义z′=x-3y-2的纵截距相反数.平移目标函数观察Z取值范围．【解答】：解：如图可行域：令z′=x-3y-2.平移直线x-3y-2=0可知当直线过C（0.-1）时.z′取得最大值1.经过B（-2.1）时.z′有最小值-7.Z=|x-3y-2|.所以Z的取值范围：[0.7]【点评】：本题考查线性规划问题.属常规题较简单.解题的关键是画好可行域.弄清z所对应的几何意义．5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.4【正确答案】：A【解析】：利用已知条件化简.转化求解即可．【解答】：解：1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2 .则S3=8．故选：A．【点评】：本题考查等比数列的性质.考查化归与转化的思想．6.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：由函数为偶函数.可排除选项A.由f（2）＞0.可排除BC.即可得到正确答案．【解答】：解：函数的定义域为{x|x≠±1}. f(−x)=−x(e −x−e x)x2−1=f(x) .故函数f（x）为偶函数.其图象关于y轴对称.故排除A；又f(2)=2(e 2−e−2)3＞0 .故排除BC；故选：D．【点评】：本题考查利用函数性质确定函数图象.考查数形结合思想.属于基础题．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据条件判断函数f（x）是奇函数.同时也是增函数.结合函数奇偶性和单调性的性质.利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵f（x）=|x|（e x-e-x）.∴f（-x）=|-x|（e-x-e x）=-|x|（e x-e-x）=-f（x）.即函数f（x）是奇函数.当x≥0.f（x）为增函数.则由a+b＞0得a＞-b.此时f（a）＞f（-b）=-f（b）.即f（a）+f（b）＞0成立.即充分性成立. 若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞-f（b）=f（-b）.则a＞-b.即a+b＞0成立.即必要性成立.则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件.故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6对称.则θ的最小值为（）A. π6B. π3C. π2D.π【正确答案】：C【解析】：根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式.再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．【解答】：解：函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得y=f（x-θ）=2sin[2（x-θ）+ π6 ]=2sin（2x-2θ+ π6）；又函数y的图象关于直线x=π6对称.即2× π6 -2θ+ π6=kπ+ π2.k∈Z；解得θ=- 12kπ.k∈Z；又θ＞0.所以θ的最小值为π2．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了图象平移问题.是基础题． 9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（ ） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+2 【正确答案】：C【解析】：过O 作OD⊥AB .由已知求得|OD|.再求出原点到直线x+y-4=0的距离.求得| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.再由 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |求解．【解答】：解：如图.P 为直线x+y-4=0上的任意一点.过原点O 作OD⊥AB .由|AB|=2 √3 .可得|OD|=1. ∴| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP|-1.则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√2−1=2√2−1 ． 则| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 4√2−2 ． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了直线与圆相交的性质.考查向量模的最值的求法.理解题意是关键.是中档题．10.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（ ）A.2B.4C.10D.14【正确答案】：B【解析】：可将数列的递推式两边平方.运用累加法和排除法.可得结论．【解答】：解：|a i+1|=|a i +1|.两边平方可得a i+12=a i 2+2a i +1. 由a 12=a 02+2a 0+1=0+0+1.a 22=a 12+2a 1+1.a 32=a 22+2a 2+1.….a 212=a 202+2a 20+1. 上面的式子累加可得a 212=2（a 1+a 2+…+a 20）+21.则| ∑a k 20k=1 |=| a 212−212|.若| a 212−212 |=2.可得a 21=±5.故A 可能； 若|a 212−212|=4.可得a 21不为整数.故B 不可能； 若| a 212−212 |=10.可得a 21=±1.故C 可能； 若|a 212−212|=14.可得a 21=±7.故D 可能．故选：B ．【点评】：本题考查数列递推式的运用和数列的求和.考查分类讨论思想和判断能力.属于中档题．11.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i 的虚部为___ .模为___ ． 【正确答案】：[1] 32; [2]√102【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.可得复数的虚部.再由复数模的计算公式求复数的模．【解答】：解：∵ i (1+2i )1+i = −2+i1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−2+2i+i−i 22=−12+32i .∴复数 i (1+2i )1+i 的虚部为 32. |i (1+2i )1+i |=| −12+32i |= √(−12)2+(32)2=√102． 故答案为： 32 ； √102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.考查复数模的求法.是基础题．12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）.则该几何体的体积（单位：cm3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm2）为___ ．【正确答案】：[1] 163; [2]4 √2【解析】：首先把三视图转换为几何体的直观图.进一步利用体积公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E-ABCD．如图所示：所以V E−ABCD=13×2×4×2=163. S△ADE=12×4×√22+22=4√2．故答案为：163；4√2．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换.几何体的体积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．13.（填空题.6分）若（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.则a1+a2+…+a7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法．【正确答案】：[1]125; [2]35【解析】：利用二项式定理可知.对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值．先求出任取不同的三项的所有取法.再求出三项均相邻和只有两项相邻的不同取法.利用间接法即可求解．【解答】：解：∵（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.∴a8= C77•（-2）7=-128．令x=0.得（1+0）（1-0）7=a0.即a0=1；令x=1.得（1+1）（1-2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=-2.∴a1+a2+…+a7=-2-a0-a8=-2-1+128=125．在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.有C93 =84种不同取法.三项均相邻.有7种不同的取法.两项相邻.有2×6+6×5=42种不同的取法.故三项均不相邻有84-7-42=35种不同的取法．故答案为：125；35．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.组合数公式的应用.属于中档题．14.（填空题.6分）已知数列{a n}.{b n}满足：a1=1.a n+a n+1=n.b n=a2n-1.则数列b n=___ ；记S n为数列{a n}的前n项和.S31-S24=___ ．【正确答案】：[1]n; [2]97【解析】：由a n+a n+1=n.可将n换为n-1.相减可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.再由数列的分组求和.可得所求和．【解答】：解：a1=1.a n+a n+1=n.可得a2=1-a1=0.将n换为n-1可得a n-1+a n=n-1.n≥2.又a n+a n+1=n.相减可得a n+1-a n-1=1.可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.可得b n=a2n-1=1+（n-1）=n；a2n=0+n-1=n-1.则S31-S24=a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31=（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）=（13+14+15+16）+（12+13+14）=58+39=97．故答案为：n.97．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的求和方法：分组求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．15.（填空题.4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示.则f（x）的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1][2k- 54 .2k- 14].k∈Z【解析】：由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式.再利用正弦函数的单调性.得出结论．【解答】：解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象.可得12• 2πω= 54- 14.∴ω=π．再根据五点法作图.可得π× 14+φ=π.∴φ= 3π4.f（x）=sin（πx+ 3π4）．令2kπ- π2≤πx+ 3π4≤2kπ+ π2.k∈Z.解得 2k- 54≤x≤2k- 14.k∈Z.故函数的增区间为[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．故答案为：[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.正弦函数的单调性.属于中档题．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 2√23【解析】：换元t= xy +2yx.然后结合基本不等式可求t的范围.然后结合函数y=t+ 1t的单调性可求范围.然后2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t.从而可求【解答】：解：因为x＞0.y＞0.令t= xy +2yx.则t ≥2√2 .所以y=t+ 1t 在[2 √2 .+∞）上单调递增.y ≥9√24.则2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t≤9√24= 2√23.当且仅当t= 1t即t=1时取等号.故答案为：2√23【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是应用条件的配凑.属于中档试题．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]2 √3【解析】：构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O 为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.推导出∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理推导出12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.由此能求出四面体ABCD的体积的最大值．【解答】：解：四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°. 构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.∵异面直线AB与CD所成角为60°.∴∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理得：AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos60°.∴AB2+BE2-AB•BE=12.∴12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.∴四面体ABCD的体积：V A−BCD=13V ABE−CDF = 13×12×AB×BE×sin60°×BC = √36×AB×BE≤ 2√3．∴四面体ABCD的体积的最大值为2 √3．故答案为：2√3．【点评】：本题考查四面体的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理化角为边.再由余弦定理求出cosB.从而求出sinB的值；（2）根据题意画出图形.利用余弦定理求出BD的值.再求△ABC的面积．【解答】：解：（1）△ABC中.sin2A+sin2C-sin2B= 23sinAsinC.由正弦定理得.a2+c2-b2= 23ac.所以cosB= a 2+c2−b22ac=23ac2ac= 13；又B∈（0.π）.所以sinB= √1−sin2B = √1−(13)2= 2√23；（2）如图所示.设BD=AD=2DC=x.由c=AB=2.利用余弦定理得.AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB. 即x2=22+x2-2×2×x× 13.解得x=3.CD= 12 x= 32.所以△ABC的面积为S△ABC= 12AB•BC•sinB= 12×2×（3+ 32）× 2√23=3 √2．【点评】：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题.也考查了运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取BC的中点E.连接DE.分别计算BD.CD.利用勾股定理的逆定理证明BD⊥CD.再根据面面垂直的性质得出BD⊥平面SCD；（2）建立空间坐标系.计算平面MBD的法向量n⃗ .计算n⃗和DS⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出SD与平面MBD所成角的大小．【解答】：（1）证明：取BC 的中点E.连接DE. 设AB=a.则AD=a.BC=2a.BE= 12 BC=a. ∵∠ABC=90°.AD || BE.AD=BE. ∴四边形ABED 是正方形. ∴BD= √2 a.DE⊥BC .DE=CE=a. ∴C D= √2 a.∴BD 2+CD 2=BC 2.故BD⊥CD .∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.BD⊂平面ABCD.BD⊥CD . ∴BD⊥平面SCD ．（2）解：过S 作SN⊥CD .交CD 延长线于N.∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.SN⊂平面SCD.SN⊥CD . ∴SN⊥平面ABCD.∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角.故∠SDN=60°. ∵SD=CD= √2 a.∴DN=√2a 2 .SN= √6a2. 以D 为原点.以DB.DC.及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz.如图所示.则B （ √2 a.0.0）.D （0.0.0）.A （ √22a.- √22a.0）.S （0.- √22a. √62a ）. ∵M 是SA 的中点.∴M （ √24 a.- √22 a. √64 a ）.∴ DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.- √22 a. √62 a ）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 a.0.0）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √24 a.- √22 a. √64a ）. 设平面MBD 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {√2ax =0√24ax −√22ay +√64az =0 . 令z=2可得 n ⃗ =（0. √3 .2）.∴cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •DS ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DS ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √62a √7×√2a= √2114 . ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|= √2114 ．【点评】：本题考查面面垂直的性质.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对∀n∈N *.a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2＜ 112 ．【正确答案】：【解析】：（1）求得a n+1= an1+a n.判断a n ＞0.两边取倒数.结合等差数列的定义和通项公式.可得所求通项公式；（2）求得a k a k+1a k+2= 12 [ 1(k+1)(k+2) - 1(k+2)(k+3)].再由数列的裂项相消求和和不等式的性质.即可得证．【解答】：解：（1）由a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ .可得a n+1= an 1+a n.由a 1＞0.可得a n ＞0. 则 1a n+1=1+ 1a n.即1a n+1- 1a n=1.所以{ 1a n}是首项为2.公差为1的等差数列. 则 1a n=2+n-1=n+1.即a n = 1n+1 ；（2）证明：a n = 1n+1 .对k=1.2.3.….a k a k+1a k+2= 1(k+1)(k+2)(k+3)= 12 [ 1(k+1)(k+2)- 1(k+2)(k+3)].所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2= 12 [ 12×3- 13×4+ 13×4- 14×5+…+ 1(n+1)(n+2)- 1(n+2)(n+3)]= 12 [ 12×3- 1(n+2)(n+3)]= 112- 12(n+2)(n+3)＜112．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的裂项相消求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过椭圆E的离心率.及椭圆过点P（- √3 . 12）.求得a.b即可得到椭圆方程．（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.写出直线MA、MB的方程即可得到得D（0. 2 y0x0+2）.C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2令x0+2y0=t.利用椭圆参数方程无得t的范围即可求解．【解答】：解：（1）由题意{ca =√323 a2+14b2=1.结合a2=b2+c2.解得a2=4.b2=1.c2=3.故.椭圆C的标准方程为：x 24+y2=1．；（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.a（-2.0）.B（0.-1）.直线MA的方程为：y=y0x0+2(x+2) .令x=0.得D（0. 2 y0x0+2）.直线MB的方程为：y=y0+1x0x−1 .令x=0.得C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2.令x0+2y0=t.则t2=(x0+2y0)2=x02+4y02+4x0y0 =4+4x0y0. ∴ x0y0=t2−44.∴S=t2−44t2−44+t+2=1+ −4t+2．令x0=2cosθ，y0=sinθ，θ∈(0，π2) .则t=2cosθ+2sinθ=2 √2 sin（θ+π4）.∵ θ∈(0，π2) .∴ θ+π4∈(π4，3π4) .sin（θ+π4）∈（√22.1]．∵函数S=1+ −4t+2在（2.2 √2 ]单调递增.∴ S∈(0，3−2√2 ]．三角形OCD的面积的取值范围为（0.3-2 √2 ]．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的综合应用.三角形面积的求法.考查转化思想以及计算能力.是难题．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导.判断函数的单调性.进而得到函数的最值；（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.依题意当x≥−π2时.x•h（x）≥0恒成立.然后分a≤1及a＞1讨论.即可得出结论．【解答】：解：（1）f'（x）=e x-sinx.令g（x）=e x-sinx.x≥0.则g'（x）=e x-cosx．当x∈[0.π）时.g'（x）为增函数.g'（x）≥g'（0）=0；当x∈[π.+∞）时.g'（x）≥eπ-1＞0．故x≥0时.g'（x）≥0.g（x）为增函数.故g（x）min=g（0）=1.即f'（x）的最小值为1．时.x•h（x）≥0恒成立．（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.h'（x）=e x-sinx-a.则x≥−π2当a≤1时.若x≥0.则由（1）可知.h'（x）≥1-a≥0.所以h（x）为增函数.故h（x）≥h（0）=0恒成立.即x•h（x）≥0恒成立；，0] .则h''（x）=e x-cosx.若x∈[−π2h'''（x）=e x+sinx在[−π，0]上为增函数.2)=e−π2−1＜0 .又h'''（0）=1. ℎ‴(−π2故存在唯一x0∈(−π，0) .使得h'''（x0）=0．2，x0)时.h'''（x）＜0.h''（x）为减函数；当x∈(−π2x∈（x0.0）时.h'''（x）≥0.h''（x）为增函数．)=e−π2＞0 .h''（0）=0.又ℎ″(−π2，0)使得h''（x1）=0．故存在唯一x1∈(−π2故x∈(−π，x1)时.h''（x1）＞0.h'（x）为增函数；2x∈（x1.0）时.h''（x1）＜0.h'（x）为减函数．)=eπ2+1−a＞0 .h'（0）=1-a≥0.又ℎ′(−π2，0]时.h'（x）＞0.h（x）为增函数.所以x∈[−π2故h（x）≤h（0）=0.即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时.由（1）可知h'（x）=e x-sinx-a在[0.+∞）上为增函数.且h'（0）=1-a＜0.h'（1+a）≥e1+a-1-a＞0.故存在唯一x2∈（0.+∞）.使得h'（x2）=0．则当x∈（0.x2）时.h'（x）＜0.h（x）为减函数.所以h（x）＜h（0）=0.此时x•h（x）＜0.与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述.a≤1．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性.极值及最值.考查不等式的恒成立问题.考查转化思想.分类讨论思想.考查逻辑推理能力.属于中档题．。
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1} 2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgxD．f（x）＝x0与4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤16．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或48．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知集合，则列举法表示集合A＝，集合A的真子集有个．12．函数的定义域是，值域是．13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的值域一共有种不同情况．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，又∵B＝{x|x＞1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，则集合A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}故选：D．2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgxD．f（x）＝x0与【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝﹣x（x≤R），与g（x）＝x（x ≤0）的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数f（x）＝•＝（x≥1），与g（x）＝（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数f（x）＝lgx2＝2lg|x|（x≠0），与g（x）＝2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝＝log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝．而log25＞log24＝2＞，∴＜．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤1【解答】解：根据题意，对于函数，设t＝x2+4x+5，则y＝，t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，在区间（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）上为增函数，y＝在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，则当x＝﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）＝1，故A、C错误，D正确；t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1为二次函数，其图象关于直线x＝﹣2对称，则的图象关于直线x＝﹣2对称，B错误；故选：D．6．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝﹣＝2，由复合函数单调性可得函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为（2，5），要使函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，只需，解关于m的不等式组得≤m＜2，故选：C．7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或4【解答】解：令t＝f（x），y＝f[f（x）]＝f（t）＝2t2﹣t+a．函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，即方程2x2﹣x+a＝0有根，若方程2x2﹣x+a＝0有1个零点，则△＝1﹣8a＝0，即a＝．而方程2t2﹣t+a＝0化为，即（4t﹣1）2＝0，t＝，此时函数y＝f[f（x）]有2个零点；若方程2x2﹣x+a＝0有2个零点，则△＝1﹣8a＞0，得a＜．此时方程2t2﹣t+a＝0的根为t＝，而小根＞在a＜时成立，∴函数y＝f[f（x）]有4个零点．综上，函数y＝f[f（x）]零点的个数是2或4．故选：C．8．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x，f“（x）＝e x+e﹣x≥2，f（x）递增，无最小值，无最大值，g（x）＝e x+e﹣x≥2，当x＞0时，g'（x）＝e x﹣e﹣x＝≥0，g（x）递增，g（x）为偶函数，所以g（x）在（﹣∞，0）递减，所以（0，+∞）上递增，所以g（x）min＝g（0）＝2，无最大，故选：D．9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）＝x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）＝﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）＝﹣x+≥2＝2，当x＞0时，且a＜0时，f （x）＝x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）【解答】解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1＜a≤e，x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，x3，x4是方程x+﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，∴﹣x1x2+x3+x4＝2+a+lna．∵g（a）＝2+a+lna在（1，e]上为单调增函数，∴g（a）∈（3，e+3]．故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知集合，则列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A 的真子集有15个．【解答】解：∵集合，∴列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A的真子集有24﹣1＝15个．故答案为：{0，1，3，9}，15．12．函数的定义域是[﹣1，7]，值域是[0，4]．【解答】解：7+6x﹣x2≥0，解得x∈[﹣1，7]，t＝﹣（x﹣3）2+16，t∈[0，16]，y＝∈[0，4]，故答案为：[﹣1，7]，[0，4]13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝﹣2或4．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝|﹣2|＝2，f（f（﹣2））＝f（2）＝；∵f（a）＝2，∴当a≤0时，f（a）＝|a|＝2，解得a＝﹣2；当a＞0时，f（a）＝＝2，解得a＝4．综上，实数a的值为﹣2或4．故答案为：，﹣2或4．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有27个，其中函数的值域一共有7种不同情况．【解答】解：因为函数的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，所以：①当函数值为一个数时，函数共有3个，函数的值域有3种情况，②当函数值为两个数时，函数共有＝18个，函数的值域有3种情况，③当函数值为三个数时，函数共有A＝6个，函数的值域有1种情况，故这样的函数一共有3+18+6＝27个，函数的值域一共有7种情况，故答案为：27；7．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为2＜a ≤4．【解答】解：根据题意函数是R上的单调减函数，2﹣a＜0，a≤4，且2﹣a+3a≥4，即a＞2，a≤4，a≥1，故2＜a≤4，故答案为：2＜a≤4．16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|，即为|ax﹣﹣1|≥2恒成立，可得a（x﹣）≥3或a（x﹣）≤﹣1，由|x|且x≠0可得y＝x﹣的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞），由于a＝0不等式不成立，当a＞0，0＜x≤时，a∈∅或a（x﹣）≤﹣a，即﹣1≥﹣a，则a≥；当a＞0，﹣≤x＜0时，a（x﹣）≥a或a∈∅，即3≤a，则a≥2，综上可得a≥2；同理可得a＜0时，|ax﹣﹣1|≥2恒成立，可得a≤﹣2，故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围（﹣，﹣]∪[，）．．【解答】解：∵x2﹣1＞0，x∈Z，∴A＝{x|x＞1或x＜﹣1，x∈Z}，∵B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，设方程x2﹣2tx﹣1＝0的两根为m，n，不妨设m＜n，则m+n＝2t，mn＝﹣1；∴m，n一正一负，且互为负倒数；且B＝{x|m≤x≤n}∵A∩B＝{x1，x2}，令f（x）＝x2﹣2tx﹣1，则有2种情况：①，当A∩B＝{2，3}时，即﹣1＜m＜0，3≤n＜4，则，得，解得，≤t＜；②当A∩B＝{﹣2，﹣3}时，即﹣4＜m≤﹣3，0＜n＜1，则，得，解得，﹣＜t≤﹣；综上述：t的取值范围是（﹣，﹣]∪[，）．故答案为：（﹣，﹣]∪[，）．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝﹣1+﹣+＝﹣1+100﹣+24＝﹣1+100﹣+16＝115．（2）＝lg（×）+＝lg10+＝+1＝．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为4∈A，所以2a≤4≤a2+1，解得a≤﹣或≤a≤2．又3∉A，所以2a＞3或a2+1＜3，故﹣＜a＜或a＞．∴若4∈A，3∉A，有≤a≤2；故a的取值范围是：[，2]．（2）B＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，当3a+1＝2，即a＝时，B＝{2}，不合题意．当3a+1＜2，即a＜时，B＝{x|3a+1≤x≤2}，所以，∴，解得a＝﹣1．当3a+1＞2，即a＞时，B＝{x|2≤x≤3a+1}，所以，∴，解得1≤a≤3．综上知，a＝﹣1或1≤a≤3．故实数a的取值范围是{a|a＝﹣1或1≤a≤3}．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设﹣1＜x≤0，则0≤﹣x＜1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+1＝﹣x2+1，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝﹣x2+1，（﹣1＜x＜≤0），设x≤﹣1，则﹣x≥1，∴f（﹣x）＝2﹣2﹣x，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝2﹣2﹣x，（x≤﹣1），∴当x＜0时，f（x）的解析式为；（2）易知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为减函数，∴f（2﹣x）≤f（x+m）⇔f（|2﹣x|）≤f（|x+m|）⇔|2﹣x|≥|x+m|，∴（2m+4）x≤4﹣m2对任意x∈[m﹣1，m]恒成立，当2m+4≥0，即m≥﹣2时，只需（2m+4）m≤4﹣m2，解得，故此时；当2m+4＜0，即m＜﹣2时，只需（2m+4）（m﹣1）≤4﹣m2，解得，此时无解．综上，实数m的取值范围为．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）当a＝5，b＝﹣3时，，令，则（3x）2﹣4•3x﹣5＝0，解得3x＝5或3x＝﹣1（舍），∴x＝log35；（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴a＝﹣1，b＝1，∴，∴＝3x+3﹣x﹣1，∴不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10即为32x+3﹣2x﹣1≥m（3x+3﹣x﹣1）﹣10，亦即（3x+3﹣x）2﹣m（3x+3﹣x）+7﹣m≥0对任意x∈R且x≠0恒成立，令t＝3x+3﹣x＞2，则t2﹣mt+7﹣m≥0对任意t∈（2，+∞）都成立，亦即对任意t∈（2，+∞）都成立，令，则m≤h（t）min，又，由双勾函数可知，h（t）在（2，+∞）为增函数，∴，∴，∴m的最大值为．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则φ（x）＝e|x﹣3|+e|x﹣2|+1，由于x∈[2，3]，即|x﹣3|＝3﹣x，|x﹣2|+1＝x﹣2+1＝x﹣1，∴φ（x）＝e3﹣x+e x﹣1＝+≥2＝2e，当且仅当＝时，即x＝2时φ（x）有最小值2e．（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，故a的取值范围为[0，2]．（3）h（x）＝max{e f（x），e g（x）}＝e max{f（x），g（x）}＝e max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}，接下来讨论max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}在[1，6]上的最小值，情形一：2a﹣1≤a≤1，即a≤1时，x∈[1，6]，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}，①当a≤0时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣2a+1≥2﹣2a，②当0＜a≤1时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣a+1≥2﹣a，情形二：1＜a＜2a﹣1＜6，即时，③当1＜a≤2时，（i）当1＜x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2≤0，（ii）当a＜x≤2a﹣1时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜3a﹣2﹣2a＜0，（iii）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝|x﹣a|+1≥1，④当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，（ⅳ）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；情形三：当1＜a＜6≤2a﹣1，即时，⑤当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；⑥当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当a＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；情形四：当a≥6时，（i）当1≤x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；综上，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝，∴．。
2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试卷及解析
2019届宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集，集合，则集合A． B．C． D．2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A． B． C． D．3．记为等差数列的前项和,若, 则A． B． C． D．4．4．满足线性约束条件23,23,{0,x yx yxy+≤+≤≥≥的目标函数z x y=+的最大值是A．1 B．32C．2 D．35．已知函数，则函数的图象为A． B．C． D．6．若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为①若直线，则在平面内一定不存在与直线平行的直线．②若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线垂直．③若直线，则在平面内不一定存在与直线垂直的直线．④若直线，则在平面内一定存在与直线垂直的直线．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④7．已知，那么A． B． C． D．8．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为A． B． C． D．9．已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10．如图，在三棱柱中，底面为边长为的正三角形，在底面的射影为中点且到底面的距离为，已知分别是线段与上的动点，记线段中点的轨迹为，则等于(注：表示的测度，本题中若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）。
浙江省镇海中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
浙江省镇海中学2020届高三数学上学期期中试题（含分析）一、选择题（本大题共10小题）已知会合，，则的元素的个数为若a，b，且，则以下不等式中必定成立的是A.B.C.D.已知是等差数列的前n项和，且，，则等于A.50B.42C.38D.36函数的图象大概为A.B.C.D.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是84B.C.D.6.将函数的图象向右平移个单位长度后，获得，则的函数分析式为A. B.C.D.7.设命题p：，命题，若q是p的必需不充足条件，则实数a的取值范围是A.B. C. D.已知，，，则A.B.C.D.已知椭圆和双曲线有同样的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为A.B.C.D.设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A.2B.C.D .9二、填空题（本大题共7小题）11.抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．12.已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______．若实数知足拘束条件，则的最小值为______；的最小值为______．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______．已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______16.已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上随意一点，若在该圆上随意点直线l的斜率k的取值范围为______．A知足，则已知点，为单位圆上两点，且知足，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题）已知的最大值为．Ⅰ务实数a的值；Ⅱ若，求的值．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．20.如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，Ⅰ求二面角的大小；Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．M为AC的中点，且．已知数列的前n项和为，且知足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列知足，，求数列通项公式．22.在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：老是相切．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，订交于点，分别与y轴交于点B，C．证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值．答案和分析【答案】C【分析】解：0，1，2，3，4，，，3，4，，的元素的个数为4．应选：C．能够求出会合A，B，而后进行交集的运算求出，从而得出的元素的个数．本题考察了描绘法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单一性，考察了计算能力，属于基础题．【答案】D【分析】解：，b，且，取，可清除A，B；取，可清除C．由不等式的性质知当时，，故D正确．应选：D．依据不等式的基天性质，联合特别值，可判断选项正误．本题考察了不等式的基天性质，属基础题．【答案】B【分析】解：，，，解可得，，，则．应选：B．联合等差数列的乞降公式求出，d，而后再带入乞降公式即可求解．本题主要考察了等差数列的乞降公式的简单应用，属于基础试题【答案】A【分析】解：，则函数为偶函数，图象对于y轴对称，清除B，当，，清除C，当时，，清除D，应选：A．先判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想以及当时的函数值能否对应进行清除即可．本题主要考察函数与图象的辨别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想，利用清除法是解决本题的重点．【答案】B【分析】【剖析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4．本题考察了棱柱的结构特点和三视图，属于基础题．【解答】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4．因此五棱柱的表面积为．应选：B．6.【答案】C7.【分析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，获得，马上的图象向左平移个单位，获得．应选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换和引诱公式的应用求出结果．本题考察的知识重点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，引诱公式的应用，主要考察学生的运算能力和变换能力及思想能力，属于基础题型．【答案】A【分析】解：命题解得：．p：．命题：，解得：．又是p的必需不充足条件，，，应选：A．先求出命题 p，q的等价条件，利用p是本题主要考察充足条件和必需条件的应用，应的解是解决本题的重点．q的充足不用要条件，确立实数a的取值范围．利用对数不等式和分式不等式的解法求出对8.【答案】B9.【分析】解：已知，，，则，，整理得：，因此，又因为，因此，即，因此，由条件可得，整理得，，因此，，即，因此和两式平方和得，，因此，解得．应选：B．直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考察的知识重点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考察学生的运算能力和变换能力及思想能力，属于基础题型．【答案】A【分析】【剖析】设出椭圆方程与双曲线方程，再设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，联合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．本题考察椭圆和双曲线的定义和性质，主假如离心率，考察解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考察化简整理的运算能力，属于中档题．【解答】解：不如设椭圆方程为，双曲线方程为．再设，，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，，13.在三角形中，，可得，即有，可得，即为，则，当且仅当，即，获得最小值．应选：A．【答案】C【分析】解：设a，b为正实数，且，设，，则，，由柯西不等式：，因此，化简得，因此不等式的解的端点就是n的一个最大值和一个最小值，也就是其对应的方程的两个根的和，由韦达定理，其对应的方程的根的和为，故的最大值和最小值之和为为．应选：C．利用换元法，设，，则，利用柯西不等式转变为，解不等式，利用根与系数的关系，解出即可．考察换元法，柯西不等式的应用，一元二次不等式的解法，韦达定理，综合题．【答案】【分析】解：抛物线的焦点坐标是；准线方程是：．故答案为：；．利用抛物线的标准方程求解焦点坐标以及准线方程即可．本题考察抛物线的简单性质的应用，是基础题．【答案】【分析】解：，，；线段AB的方程为．点在线段AB上，，即．当时，ab有最大值为．故答案为：；．直接由两点求斜率公式可得直线AB的斜率；求出线段AB的方程，把P 的坐标代入，可得a，b的关系，把ab转变为a的二次函数求最值．本题考察直线的斜率，训练了利用二次函数求最值，是基础题．【答案】116.【分析】解：作出实数知足拘束条件，表示的可行域，作出直线，平移直线，当过点时，取最小值：1．的最小值为可行域内的点与的距离的最小值，即点到直线的距离．的最小值为：．故答案为：1；．作出不等式组表示的可行域，以及直线，平移通过目标函数的几何意义，即可获得所求最小值．的最小值为可行域内的点与的距离的最小值，即点到直线的距离．本题考察线性目标函数在不等式组下的最值问题的解法，注意运用平移法，考察作图能力，属于基本知识的考察．【答案】【分析】解：成立右图所示的空间直角坐标系，则有0，，，0，，设平面的一个法向量为，则有，即，．设直线与平面所成的角为，．则有，．故直线与平面所成的角为．空间的一条直线l与直线所成的角为，不如设直线l恒过定点A，则直线l与平面的交点M的轨迹为：以点为圆心，为半径的圆．则点M的坐标可设为，，又平面的一个法向量为，直线l与平面所成的角为，则有，，．故直线l与平面所成的最大角为．成立空间直角坐标系，用向量法可求解；结构法，设动直线l恒过定点A，与平面的交点是以点为圆心，为半径的圆；而后设定直线l的方向向量，即可求解．本题主要考察利用向量法求解立体几何运动题，凡是可成立坐标系的这种题应选择向量法更加适合．【答案】5【分析】解：因为是等比数列，因此，，因此，即，又，因此，．故答案为：5，依据等比中项的性质，，，代入原式化简即可本题考察了等比数列的等比中项的性质，基本不等式等知识，属于基础题．【答案】【分析】解：因为，因此：当点A位于Y轴左边时：设直线PA的倾斜角为因为；，因此：；斜率k的取值范围：由对称性可知：当点A位于Y轴右边时，斜率k的取值范围：综上可得：直线l的斜率k的取值范围是：故答案为：先设出直线的倾斜角，依据三角形内角和为，求出点A位于Y轴左边时倾斜角的范围，从而求出斜率，再依据对称性即可求出结论．本题主要考察直线和圆的地点关系，本题的重点点在于依据条件剖析出倾斜角的取值范围，属于基础题目．【答案】【分析】解：，又，，设，，，则又，当或时，获得最小值为，当时，获得最大值．故答案为：计算，得出，设，，，依据和角公式化简，再依据的范围求出答案．本题考察了平面向量的坐标运算，三角函数的化简求值，属于中档题．【答案】解：Ⅰ，因为函数的最大值为，故，解得．Ⅱ因为，因此，整理得．因此，因此．或，因此或，故，因此当时．．当时，，因此原式．【分析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．Ⅱ利用三角函数的关系式的变换和同角三角函数及倍角公式的应用求出结果．本题考察的知识重点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和变换能力及思想能力，属于基础题型．【答案】解：Ⅰ在锐角中，，，可得，由余弦定理可得：，由A为锐角，可得．Ⅱ，又，可得，，，，即的取值范围是【分析】Ⅰ由已知可得，由余弦定理可得，由A为锐角，可得A的值．Ⅱ由三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求B的范围，从而利用三角函数的有界线即可得取值范围．本题主要考察了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质等基础知识在解三角形中的综合应用，考察了运算能力和转变思想，属于中档题．20.【答案】解：分别取线段AB，BC的中点O，N，连结PO，ON，MN，PN，设，则有在等腰直角中，O是中点，则有---在等腰直角中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有---由可知，平面PON，又，平面PON，则有．又，则，又，则有，又，由三角形余弦定理可知，，，即二面角的大小为．成立如下图的空间直角坐标系，过点P作交NO延伸线于点D，设，则有0，，2，，0，，1，，由可知，，又，．，．，设平面PBC的一个法向量为，则有，又，，，．设直线PM与平面PBC所成角为，则有：．故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为．【分析】重点是找到；利用空间向量，成立适合的空间直角坐标系，就能够很好地求解．在几何法不好求解的立体几何题，能够选择用向量法去办理，但前提是：能够很好地成立空间直角坐标系，求出各点的坐标．21.【答案】解：Ⅰ数列的前n项和为，且知足：．当时，，两式相减得：，因此数列是以2为首项为公比的等比数列．因此．Ⅱ因为，因此，因为，因此，因此．【分析】Ⅰ直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步利用关系式的变换的应用求出结果．本题考察的知识重点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，主要考察学生的运算能力和变换能力及思想能力，属于基础题型．【答案】解：Ⅰ，，，可得FP的中点为，当时，FP的中点为原点，当时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为，可得中垂线l的方程为，代入抛物线方程，可得，由直线和抛物线相切可得，解得，则抛物线的方程为；Ⅱ证明：可设过点的直线的方程为，即，代入抛物线的方程，可得，设，，则，，由，两边对x求导可得，即，可得M处的切线方程为，化为，同理可得N处的切线方程为，由可得，，即，又，分别与y轴交于点，，设过A，B，C的外接圆的方程为，，即有，联合，，可得，，，可得的外接圆方程为，可得，由可得或，则当变化时，的外接圆过定点和；的外接圆的半径，浙江省镇海中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)可适当时，r的最小值为，则的外接圆面积的最小值为【分析】Ⅰ求得FP的中点，议论和t不为0，求得直线 FP的斜率，可得中垂线l的斜率和方程，联立抛物线方程，运用直线和抛物线相切的条件：鉴别式为0，解方程可得p，从而获得所求抛物线方程；Ⅱ可设过点的直线的方程为，即，代入抛物线方程，设，，运用韦达定理，由导数可得切线的斜率，分别求得M，N处切线的方程，求得交点A的坐标，B和C的坐标，设过A，B，C的外接圆的方程为，，由待定系数法解方程可得D，E，F，由圆过定点的求法，可得所求定点；求得的外接圆的半径r，再由二次函数的最值求法，可得所求最小值．本题考察抛物线的方程和性质，考察直线和抛物线的地点关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，同时考察圆的方程的求法和运用，以及圆过定点的求法，考查化简运算能力和推理能力，是一道综合题．11。
浙江省镇海中学2020届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析
2.【答案】D
【解析】解：，b，且，取，可排除AB；取，可排除C.
由不等式的性质知当时，，故D正确.
故选：D．
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
9.【答案】A
【解析】【分析】 设出椭圆方程与双曲线方程,再设,,由椭圆和双曲线的定义,解方程可得s,t,再
由余弦定理，可得a,m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最 小值.
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质,主要是离心率,考查解三角形的余弦定理,以及 基本不等式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
本题主要考查函数与图象的识别和判断， 利用函数的奇偶性和极限思想， 利用排除法是 解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】 几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4．
本题考查了棱柱的结构特征和三视图，属于基础题．
【解答】
由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4．
n求的取值范围.
20.如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且.
I求二面角的大小；
n求直线PM与平面PBC所成角的正弦值.
21.已知数列的前n项和为，且满足：
I求数列的通项公式；
n数列满足，，求数列通项公式.
22.在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线I与抛物线C:总是相切.
A.2B.C.D.9
二、填空题（本大题共7小题）
11.抛物线的焦点坐标是，准线方程是•
【100所名校】2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届浙江省宁波市镇海中学 高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集U =R ，集合A ={x|x ≥3},B ={x|x ≤0<5}，则集合(C U A )∩B = A ．{x|0≤x ≤3} B ．{x|0<x <3} C ．{x|0<x ≤3} D ．{x|0≤x <3}2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A ．8−π3B ．163C ．8−π6D ．2033．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=45,a 3+a 8=12, 则a 7= A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．4．满足线性约束条件23,23,{ 0,0x y x y x y +≤+≤≥≥的目标函数z x y =+的最大值是A ．1B ．32C ．2D ．3 5．已知函数f (x )=x 2−In|x|x，则函数f (x )的图象为A ．B ．C ．D ．6．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为①若直线m ⊥α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线．②若直线m ⊥α，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m ⊂α，则在平面β内不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m ⊂α，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④ 7．已知sin (π6−α)=√23，那么cos2α+√3sin2α=A ．109 B ．−109 C ．−59 D ．598．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m ⋅a n =16a 12，则1m+9n 的最小值为 A ．32 B ．114 C ．83 D ．103 9．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P,Q 均位于第一象限，且2QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，QF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则双曲线C 的离心率为A ．√3−1B ．√3+1C ．√13−2D ．√13+210．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为边长为2的正三角形，B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为√3，已知E,F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点，记线段EF 中点M 的轨迹为L ，则|L |等于(注：|L |表示L 的测度，本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．1B．√102C．√32D．√394二、填空题11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.12．y=sin(2x+π6)的最小正周期为_________________，为了得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动_______个单位13．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a=______，若l1//l2，则a=__________.14．已知x,y∈R，且4x2+y2+xy=1，则4x2+y2的最小值_________，此时x的值为___________.15．已知两不共线的非零向量a ,b⃑满足|a|=2,|a−b⃑|=1,则向量a与b⃑夹角的最大值是__________.16．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3=S6，给出以下结论：①a10= 0②S10最小③S7=S12④S19=0，正确的有_________________.17．设函数f(x)={|12x−4|+1,x≤1x(x−2)2+a,x>1，若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4，使得f(x1)x1=f(x2) x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7，则a的取值范围为__________.三、解答题18．已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3（1）求函数f(x)图象对称中心的坐标；（2）如果ΔABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−32n,n∈N∗，b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，对任意m,n∈N∗，不等式S m>λb n恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．20．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC,∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（1）求证：AB⊥PC（2）若ΔPAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值21．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q（1）当直线PQ的方程为x−y−√2=0时，求抛物线C1的方程；（2）当正数p变化时，记S1,S2分别为ΔFPQ,ΔFOQ的面积，求S1S2的最小值。
2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2|450,{|0ln 2}A x x x B x x =∈--≤=<<Z ，则A B 的元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．7【答案】C【解析】求出集合,A B ，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】}{{}24501,0,1,2,3,4,5A x Z x x =∈--≤=-，{}{}20ln 21B x x x x e =<<=<<{}2,3,4,5A B ∴⋂=所以A B ⋂的元素的个数为4. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集概念与运算，属于基础题.2．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ac bc > B ．2()0a b c ->C ．11a b＜D ．22a b -<-【答案】D【解析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，若0c ≤，则不等式不成立； 对于B ，若0c =，则不等式不成立； 对于C ，若,a b 均为负值，则不等式不成立；对于D ，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题. 3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且244,18S S ==，则6S 等于（ ）A ．50B ．42C ．38D ．36【答案】B【解析】由等差数列前n 项和的性质：232,,n n n n n S S S S S --成等差数列即可求解. 【详解】由24264,,S S S S S --成等差数列， 所以()()62184418S -=+- 所以642S =， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项的性质，需熟记性质的内容，属于基础题. 4．函数()243xx f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的奇偶性、极限值以及特殊值，利用排除法即可判断. 【详解】()()f x f x -=，可知函数为偶函数，可排除C ；当x →+∞时，由于指数函数的增长速度快，则()0f x →，可排除B ； 当2x =时，()216162239y f ===<，特殊值法可排除D ； 故选：A 【点睛】本题主要考查函数奇偶性等性质的应用，利用函数的性质求函数的大致图像可采用排除法，此题属于中档题.5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．76B ．84C ．76+D ．84+【答案】C【解析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4. 【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4. 所以五棱柱的表面积为(14422244224762⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++++⨯=+⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查三视图，解题的关键是还原几何体，属于基础题. 6．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =的函数解析式为（ ）A ．()cos2f x x =-B ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()cos2f x x =D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数图象的平移法则即可求解. 【详解】把()26g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位可得()sin 2sin 2cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移，需掌握平移法则，平移是对变量x 平移且“左加右减” ，属于基础题.7．设命题():lg 210p x -≤，命题()10x a q x a-+≤-：，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．102⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．∅【答案】A【解析】首先求出命题p 、q 中不等式的解集，再根据命题之间的关系推出集合的包含关系即可求出参数的取值范围. 【详解】解不等式()lg 210x -≤得02-11x <≤，所以112x <≤， 故满足命题p 的集合112P xx ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭， 解不等式()10x a x a-+≤-得()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦且x a ≠，所以1a x a <≤+故命题q 的集合{}1Q x a x a =<≤+， 若q 是p 的必要而不充分条件，则PQ即1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩解得102a ≤≤故选：A 【点睛】本题主要考查命题中必要不充分条件，解题的关键是根据命题的关系推出集合的包含关系，属于基础题. 8．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．B C ．3±D ．3±【答案】B【解析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题.9．已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值为（ ）A ．B ．4+C ．2+D ．1【答案】A【解析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：12,2m n a m n a +=-=，解出,m n ，利用余弦定理解关于12,e e 的等式，再由基本不等式求出2212e e +的最小值即可. 【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程为：()222210x y a b a b+=>>，()2211221110,0x y a b a b -=>>， 设1PF m =，2PF n =，m n >. 则12,2m n a m n a +=-=，11,m a a n a a ∴=+=- ，在12PF F ∆中，123F PF π∠=，由余弦定理可得2221241cos cos 322m n c F PF mn π+-∠===，化为()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-，所以2221340a a c +-=，2212134e e ∴+=， ()(2222222112122222121231131144444e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当21e =时，取等号，则2212e e +. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质以及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，综合性比较强.10．设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（ ） A ．2 B ．92C ．132D ．9【答案】C【解析】根据题意可得2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解不等式即可求解. 【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1221212213a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2222121413a b b a a b ⎡⎤⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22212212591313a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当且仅当22a b b a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得12922a b ≤+≤所以12a b +的最大值为92；最小值为2； 所以最大值和最小值之和为132. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.二、填空题 11．抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 【答案】，.【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是，准线方程是，故填：，.【考点】抛物线的标准方程及其性质.12．已知点A （1，0），B （0，2），点(),P a b 在线段AB 上，则直线AB 的斜率为______；⋅a b 的最大值为______．【答案】2-12【解析】由直线上两点求斜率公式：1212y y k x x -=-，可求斜率，再用二次函数配方求最值即可求解. 【详解】由A （1，0），B （0，2），可得20201AB k -==--，所以直线AB 的斜率为2-， 直线AB ：22y x =-+由点(),P a b 在线段AB 上，所以()2201b a a =-+≤≤，所以()21122224a b a a a ⎡⎤⎛⎫⋅=-+=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以a b ⋅的最大值为12.故答案为：2-；12【点睛】本题主要考查直线的斜率以及直线方程，需熟记斜率公式以及点斜式方程，属于基础题.13．若实数(),x y 满足约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值为_____ ；______．【答案】12【解析】作出约束条件满足的可行域，然后利用目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】作出约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩满足的可行域，设2z x y =-，则2y x z =-，由图可知在C 处取得最小值，由201x y y +-=⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1C ，所以min 2111z =⨯-=，即2x y -的最小值为1；(),x y ，()0,1-两点间的距离，设()0,1-到直线20x y +-=的距离为d ，则2d ==2故答案为：1 ；2【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.14．已知长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，，1AA 与平面1A BD 所成的角为______. 【答案】60【解析】根据等体积法求出点A 到平面1A BD 的距离h ，在直角三角中利用“对边比斜边”即可求解.【详解】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，， 则1A D ==，2BD ==，1A B ==在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以1111222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin 2h AA θ==所以60θ=. 故答案为：60 【点睛】本题主要考查立体几何中的线面角，解题的关键是找到线面所成角，放在三角形中求解，此题也可以建立空间直角坐标系，采用向量法.15．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________．【答案】5 52【解析】243546225a a a a a a ++=22233553535225()25,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=22354354255()242a a a a a a +∴=≤=⇒≤ ，即4a 的最大值为5216．已知圆22:1O x y +=，设点P 是恒过点（0，4）的直线l 上任意一点，若在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则直线l 的斜率k 的取值范围为______．【答案】,⎫⎛+∞-∞-⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦ 【解析】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，从而结合图像可知直线的倾斜角的取值范围为566ππα≤≤，由t a n k α=即可求解. 【详解】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，设直线的倾斜角为α，由图可知566ππα≤≤因为tan k α=，所以3k ≥或3k ≤-即斜率k 的取值范围为,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，故答案为：,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线斜率与直线倾斜角的关系，属于基础题. 17．已知单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，且OC xOA yOB =+，则2x y -的取值范围为_____．【答案】[]22-,【解析】由点C 是单位圆上的动点，求得[]1(2)1,12OC OB x y ⋅=--∈-，由此能求出2x y -的取值范围. 【详解】单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，OC xOA yOB =+，,,OA OB OC ∴均为单位向量，即221OA OB ==，12OA OB ⋅=-，点C 是单位圆上的动点，∴OC OB ⋅的取值范围是[]1,1-，又()OC OB xOA yOB OB ⋅=+⋅[]11(2)1,122xOA OB yOB OB x y x y =⋅+⋅=-+=--∈-2x y ∴-的取值范围为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题主要考查向量的坐标运算以及向量的数量积，考查学生分析问题的能力，属于向量的综合题，三、解答题18．已知()222x x x f x sin cos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭的最大值为2． （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 【答案】（1）12-；（2）516.【解析】（1）由二倍角的正、余弦公式以及辅助角公式化简即可求解. （2）由（1）中f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入化简可得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据两角和与差的公式求出sin ,cos αα的值，代入即可求解. 【详解】 （1）()()1112222242x x x f x sin cos sin a sinx cosx a x aπ⎛⎫⎛⎫=⋅++=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 故102a +=，解得a 12=-． （2）由于f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以4cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以44sin sin ππαα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．2446cos cos ππαα-⎛⎫=-+=⎪⎝⎭或，所以26sin cos αα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或26sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故22122122422211sin cos sin sin cos sin sin cos tan cos cos παααααααααααααα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===+++，所以当2626sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时．144523616sin cos αα-==．当2626sin cos αα⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，144523616sin cos αα-==， 所以原式516=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的倍角公式、两角和与差的公式，需熟记公式，属于基础题. 19．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知223,39b a c c ==-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围． 【答案】（1）3π；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）利用余弦定理即可求解. （2）由23B C π+=，以及两角和与差的公式，则sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-），再由022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，求出6π＜B 2π＜即可求解.【详解】（1）在锐角△ABC 中，∵b ＝3，a 2＝c 2﹣3c +9，∴可得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，∴由余弦定理可得：cos A 2221222b c a bc bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得A 3π=．（2）∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2B +sin 2（23π-B ）＝sin 2B +（2cos B 12+sin B ）2＝112+B 12-cos2B ）＝112+sin （2B 6π-），又∵022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，可得6π＜B 2π＜，∴2B 6π-∈（6π，56π）， ∴sin （2B 6π-）∈（12，1]，∴sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-）∈（54，32]，即sin 2B +sin 2C 的取值范围是（54，32]．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形以及三角恒等变换两角和与差的公式，解题的关键是利用三角形的内角和求出B 的取值范围，此题属于中档题.20．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PAB ∆和ABC ∆都为等腰直角三角形，PA PB ⊥，AB AC ⊥，M 为AC 的中点，且PM AC =．（1）求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小； （2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）120；（2）10. 【解析】（1）取线段AB ，BC 的中点O ，N ，连接PO ，ON ，MN ，PN ，证出PON ∠为P ﹣AB ﹣C 二面角，在PON ∆中利用余弦定理即可求解.（2）由（1）以AO为x轴，以ON为y轴，过O作平面ABC的垂线，以垂线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出线面角.【详解】（1）分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有在等腰直角△P AB中，O是中点，则有AB⊥PO﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②由①②可知，AB⊥平面PON，又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．又AB＝2，则MN＝1，又PM＝AC＝2，则有PN==，又OP＝ON＝1，由三角形余弦定理可知，12 cos PON∠=-，∴∠PON＝120，即二面角P﹣AB﹣C的大小为120．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P 作PD ⊥ON 交NO 延长线于点D ，设AB ＝AC ＝2，则有A （﹣1，0，0），C （﹣1，2，0），B （1，0，0），M （﹣1，1，0）， 由（1）可知，∠POD ＝180°﹣∠PON ＝60°，又∵OP ＝1，∴12OD PD ==， ∴1002D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，102P ⎛- ⎝⎭，．∴312PM ⎛=- ⎝⎭，，， 设平面PBC 的一个法向量为()n x y z =，，，则有0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 又∵1122BP ⎛=-- ⎝⎭，，，()220BC =-，，，∴102220x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩， ∴()113n =，，． 设直线PM 与平面PBC 所成角为θ，则有：sin θ=故直线PM 与平面PBC【点睛】本题主要考查立体几何的二面角以及运用空间直角坐标系求线面角，求二面角步骤“作、证、求”，关键作出二面角；同时此题考查了学生的计算能力，属于基础题.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12b =-，()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 通项公式．【答案】（1）(2)nn a =--；（2）(2)nn b n-=. 【解析】（1）由n S 与n a 的关系可求得数列{a n }是等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）把n a 代入可得()()12322nn nn b b n n++--=-+，裂项化简即可求解.【详解】（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．当n ≥2时，a n ＝﹣3S n ﹣1+2，两式相减得：a n +1＝﹣2a n ， 所以数列{a n }是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以(2)nn a =--．（2）由于()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，所以()()12322nn nn bb n n++--=-+，由于()()()((122[2)3223212(2)(2)(2)[22)111nn n n n n nn n n nn n n n n n n n +⎤--+-⎤⎡+----⎛⎫⎦⎤-=⋅--=+--=+=- ⎪⎥⎢⎦+++++⎝⎭⎦⎣， 所以()()11221n nn n bb n n++---=-+，所以(2)nn b n-=．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需掌握等比数列的定义以及通项公式，属于中档题. 22．在平面直角坐标系中，已知()()2,0,2,F P t -，若线段FP 的中垂线l 与抛物线C ：()220y px p =>总是相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点Q （2，1）的直线l ′交抛物线C 于M ，N 两点，过M ，N 分别作抛物线的切线12,l l 相交于点A ．12,l l 分别与y 轴交于点B ，C ．（ i ）证明：当'l 变化时，ABC ∆的外接圆过定点，并求出定点的坐标 ； （ ii ）求ABC ∆的外接圆面积的最小值． 【答案】（1）28y x =；（2）（i ）证明见解析；（ii ）14417π. 【解析】（1）根据F （2，0），P （﹣2，t ）得FP 的中点为（0，2t ），，讨论t 的值，当t ≠0时，求出线段FP 的中垂线l ，代入抛物线方程y 2＝2px ，0∆=即可求解.（2）设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），代入抛物线的方程y 2＝8x ，求出y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，对y 2＝8x 两边求导得2y •y ′＝8，即y ′4y=，求出,M N 处的切线方程，再求出,B C ，设出外接圆的方程即可求出定点；由上一问可求出半径，配方求半径的最小值即可求解. 【详解】（1）F （2，0），P （﹣2，t ），可得FP 的中点为（0，2t）， 当t ＝0时，FP 的中点为原点，当t ≠0时，直线FP 的斜率为4t -，线段FP 的中垂线l 的斜率为4t ， 可得中垂线l 的方程为y 4t=x 2t +，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得216t x 2+（4﹣2p ）x 24t +=0，由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p ）2﹣16＝0，解得p ＝4，则抛物线的方程为y 2＝8x ；（2）（i ）证明：可设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），即x ＝my +2﹣m ，代入抛物线的方程y 2＝8x ，可得y 2﹣8my ﹣16+8m ＝0，设M （218y ，y 1），N （228y ，y 2），则y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，由y 2＝8x ，两边对x 求导可得2y •y ′＝8，即y ′4y=， 可得M 处的切线方程为y ﹣y 114y =（x 218y -），化为y 1y ＝4x 212y +，①同理可得N 处的切线方程为y 2y ＝4x 222y +，②由①②可得y 122y y +==4m ，x 128y y==m ﹣2，即A （m ﹣2，4m ）， 又l 1，l 2分别与y 轴交于点B （0，12y ），C （0，22y），设过A ，B ，C 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，（D 2+E 2﹣4F ＞0），即有()()21122222042042216240y y E F y y E F m m D m mE F ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪-++-++=⎪⎩结合y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，可得D ＝﹣m ﹣2，E ＝﹣4m ，F ＝4m ﹣8，可得△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2﹣（m +2）x ﹣4my +4m ﹣8＝0， 可得m （4﹣x ﹣4y ）+（x 2+y 2﹣2x ﹣8）＝0，由2244280x y x y x +=⎧⎨+--=⎩可得40x y =⎧⎨=⎩或28172417x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则当l ′变化时，△ABC 的外接圆过定点（4，0）和（2817-，2417）；（ii ）△ABC 的外接圆的半径r2===可得当m 617=时，r=，则△ABC的外接圆面积的最小值为14417π．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析计算能力，综合性比较强.第 21 页共 21 页。
2019届浙江省镇海中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
【解析】先求出a1=﹣9d，再表示出求和公式，即可判断．
【详解】
设等差数列{an}的公差为d，∵2a1+3a3=S6，∴5a1+6d=6a1+15d，
化为：a1+9d=0，即a10=0，
给出下列结论：①a10=0，正确；
②S10=10a1+ =﹣45d，可能大于0，也可能小于0，因此不正确；
所以g（x）有极大值为 = ．
又x2＞0，所以f′（x）的极大值小于0．
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．
当x＞0时， = ．
令h（x）=2x3﹣1+lnx， ．
所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，而h（1）=1＞0，h（ ）=﹣ ．
又x2＞0，所以函数f′（x）在（0，+∞）上有一个零点，则原函数有一个极值点．
设g（x）=f（x）﹣7x=x（x﹣2）2﹣7x+a（x＞1），
g′（x）=（3x+1）（x﹣3），
当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＞3时，g′（x）＞0，g（x）递增．
以O为原点，OB、OC、O 为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系，
则
∴
∴ , ,
∴|的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键，是压轴题．
二、填空题
11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.
2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三(上)期中数学试卷答案解析_20201208213730
2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三（上）期中数学试卷答案解析一、选择题1．已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．（0，1]D．（﹣∞，2）【解答】解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故选：C．2．设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．3．已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥mC．若1∥m，α∥β，则m∥βD．若l⊥m，m∥β，则α⊥β【解答】解：对于A，若α∥β，m∥β，则l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；对于C，若1∥m，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若l⊥m，m∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选：B．4．已知x，y满足约束条件，则Z＝|x﹣3y﹣2|的取值范围是（）A．[0，7]B．（1，7）C．[0，4]D．[1，4]【解答】解：如图可行域：令z′＝x﹣3y﹣2，平移直线x﹣3y﹣2＝0可知当直线过C（0，﹣1）时，z′取得最大值1，经过B（﹣2，1）时，z′有最小值﹣7，Z＝|x﹣3y﹣2|，所以Z的取值范围：[0，7]故选：A．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，a2＝2，则S3＝（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：，则S3＝8．故选：A．6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；又，故排除BC；故选：D．7．已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝|﹣x|（e﹣x﹣e x）＝﹣|x|（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）为增函数，则由a+b＞0得a＞﹣b，此时f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0成立，即充分性成立，若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），则a＞﹣b，即a+b＞0成立，即必要性成立，则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件，故选：C．8．已知函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．π【解答】解：函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得y＝f（x﹣θ）＝2sin[2（x﹣θ）+]＝2sin（2x﹣2θ+）；又函数y的图象关于直线对称，即2×﹣2θ+＝kπ+，k∈Z；解得θ＝﹣kπ，k∈Z；又θ＞0，所以θ的最小值为．故选：C．9．已知线段AB是圆C：x2+y2＝4的一条动弦，且，若点P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，过原点O作OD⊥AB，由|AB|＝2，可得|CD|＝1，∴||＝|OP|﹣1，则．则||＝||＝2||＝2||，∴的最小值为．故选：C．10．已知数列{a n}满足a0＝0，|a i+1|＝|a i+1|（i∈N），则||的值不可能是（）A．2B．4C．10D．14【解答】解：|a i+1|＝|a i+1|，两边平方可得a i+12＝a i2+2a i+1，由a12＝a02+2a0+1＝0+0+1，a22＝a12+2a1+1，a32＝a22+2a2+1，…，a212＝a202+2a20+1，上面的式子累加可得a212＝2（a1+a2+…+a20）+21，则||＝||，若||＝2，可得a21＝±5，故A可能；若||＝4，可得a21不为整数，故B不可能；若||＝10，可得a21＝±1，故C可能；若||＝14，可得a21＝±7，故D可能．故选：B．二、填空题11．复数的虚部为，模为．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部为，||＝||＝．故答案为：；．12．已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是；此几何体各个面中，面积的最大值（单位：cm2）为．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD．如图所示：所以，．故答案为：．13．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有种不同的取法．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8＝•（﹣2）7＝﹣128．令x＝0，得（1+0）（1﹣0）7＝a0，即a0＝1；令x＝1，得（1+1）（1﹣2）7＝a0+a1+a2+…+a7+a8＝﹣2，∴a1+a2+…+a7＝﹣2﹣a0﹣a8＝﹣2﹣1+128＝125．在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，有＝84种不同取法，三项均相邻，有7种不同的取法，两项相邻，有2×6+6×5＝42种不同的取法，故三项均不相邻，则有84﹣7﹣42＝35种不同的取法．故答案为：35．14．已知数列{a n}，{b n}满足：a1＝1，a n+a n+1＝n，b n＝a2n﹣1，则数列b n＝；记S n为数列{a n}的前n项和，S31﹣S24＝．【解答】解：a1＝1，a n+a n+1＝n，可得a2＝1﹣a1＝0，+a n＝n﹣1，n≥2，将n换为n﹣1可得a n﹣1又a n+a n+1＝n，相减可得a n+1﹣a n﹣1＝1，可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列，可得b n＝a2n﹣1＝1+（n﹣1）＝n；a2n＝0+n﹣1＝n﹣1，则S31﹣S24＝a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31＝（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）＝（13+14+15+16）+（12+13+14）＝58+39＝97．故答案为：n，97．15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为．【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（πx+）．令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，k∈Z，解得2k﹣≤x≤2k﹣，k∈Z，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．16．已知x＞0，y＞0，则的最大值为．【解答】解：因为x＞0，y＞0，令t＝，则t，所以y＝t+在[2，+∞）上单调递增，y，则＝＝＝＝＝＝，当且仅当t＝即t＝1时取等号，故答案为：17．四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，若四面体ABCD的外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为．【解答】解：四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，构建直三棱柱ABE﹣CDF，设G，H分别为△ABE，△CDF的外心，连结GH，取其中点O，则O为直三棱柱ABE﹣CDF的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，∵异面直线AB与CD所成角为60°，∴∠ABE＝60°，设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r，则r＝＝2，AE＝2r sin60°＝2，由余弦定理得：AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos60°，∴AB2+BE2﹣AB•BE＝12，∴12＝AB2+BE2﹣AB•BE≥2AB•BE﹣AB•BE＝AB•BE，∴四面体ABCD的体积：＝＝≤．∴四面体ABCD的体积的最大值为2．故答案为：．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，c＝2．（1）求sin B的值；（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得，a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B＝＝＝；又B∈（0，π），所以sin B＝＝＝；（2）如图所示，设BD＝AD＝2DC＝x，由c＝AB＝2，利用余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即x2＝22+x2﹣2×2×x×，解得x＝3，CD＝x＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝AB•BC•sin B＝×2×（3+）×＝3．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形且∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，CD＝SD，点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求SD与平面MBD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝a，则AD＝a，BC＝2a，BE＝BC＝a，∵∠ABC＝90°，AD∥BE，AD＝BE，∴四边形ABED是正方形，∴BD＝a，DE⊥BC，DE＝CE＝a，∴CD＝a，∴BD2+CD2＝BC2，故BD⊥CD，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，BD⊥CD，∴BD⊥平面SCD．（2）解：过S作SN⊥CD，交CD延长线于N，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，SN⊂平面SCD，SN⊥CD，∴SN⊥平面ABCD，∴∠SDN为直线SD与底面ABCD所成的角，故∠SDN＝60°，∵SD＝CD＝a，∴DN＝，SN＝，以D为原点，以DB，DC，及平面ABCD的过点D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，则B（a，0，0），D（0，0，0），A（a，﹣a，0），S（0，﹣a，a），∵M是SA的中点，∴M（a，﹣a，a），∴＝（0，﹣a，a），＝（a，0，0），＝（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2可得＝（0，，2），∴cos＜，＞＝＝＝，∴SD与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝．20．已知数列{a n}满足a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜．【解答】解：（1）由a1＝，可得a n+1＝，由a1＞0，可得a n＞0，则＝1+，即﹣＝1，所以{}是首项为2，公差为1的等差数列，则＝2+n﹣1＝n+1，即a n＝；（2）证明：a n＝，对k＝1，2，3，…，a k a k+1a k+2＝＝[﹣]，所以a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n +1a n +2＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝﹣＜．21．已知椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （﹣，）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆C 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，O 为椭圆的中心，求三角形OCD 的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意，结合a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，故，椭圆C 的标准方程为：．；（2）设M （x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，a （﹣2，0），B （0，﹣1），直线MA 的方程为：，令x ＝0，得D （0，），直线MB 的方程为：，令x ＝0，得C （，0），所以三角形OCD 的面积S ＝|OC ||OD |＝＝，令x 0+2y 0＝t ，则＝4+4x 0y 0，∴，∴S＝＝1+．令，则t＝2cosθ+2sinθ＝2sin（），∵，∴，sin（）∈（，1]．∵函数S＝1+在（2，2]单调递增，∴]．三角形OCD的面积的取值范围为（0，3﹣2]．22．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣sin x，令g（x）＝e x﹣sin x，x≥0，则g'（x）＝e x﹣cos x．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，则时，x•h（x）≥0恒成立．当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若，则h''（x）＝e x﹣cos x，h'''（x）＝e x+sin x在上为增函数，又h'''（0）＝1，，故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．当时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又，h''（0）＝0，故存在唯一使得h''（x1）＝0．故时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又，h'（0）＝1﹣a≥0，所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．。
【100所名校】2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题(含解析版)
3．记 为等差数列 的前 项和,若 ,则
A． B． C． D．
4．4．满足线性约束条件 的目标函数 的最大值是
A．1 B． C．2 D．3
5．已知函数 ，则函数 的图象为
A． B．
C． D．
6．若 、 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为
①若直线 ，则在平面 内一定不存在与直线 平行的直线．
化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），
m+n﹣2=16，解得m+n=6，
所以 = （m+n）（ ）= （10+ ）≥ = ，
当且仅当 时取等号，此时 ，解得 ，
因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 ＞ ，
验证可得，当m=2、n=4时， 取最小值为 ，故选：B．
A． B． C． D．
二、填空题
11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.
【详解】
因为两非零向量 满足 , ,设向量 夹角为 ，
由于非零向量 以及 构成一个三角形，设 ，
则由余弦定理可得 ，
解得 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，
所以 的最大值是 ，故答案是 .
【点睛】
该题考查的是有关向量夹角的大小问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，注意当什么情况下取得最值，再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦值最小.
9．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为双曲线 上一点， 为双曲线 渐近线上一点， 均位于第一象限，且 ， ，则双曲线 的离心率为
2020镇海中学高三期中数学
2020镇海中学高三期中数学
一、引言
2020年，对于镇海中学高三学生来说，是一个不平凡的一年。
在疫情的影响下，学生们经历了许多变化和挑战。
而在这个特殊的时期，高三学生们依然努力备战数学期中考试，为自己的未来努力奋斗。
二、数学知识的综合运用
1. 题型分析
数学期中考试通常包括选择题、填空题、解答题等多种题型，要求考生综合运
用所学的知识进行解题。
2. 难度分析
数学期中考试的难度适中，考查的内容主要为基础知识和基本技能的掌握程度，考生需要认真复习课本知识，并注重习题的训练，提高解题能力。
三、解题技巧与方法
1. 夯实基础
基础知识是解题的基石，考生要重点复习和掌握各个章节的基础知识，如方程、不等式、函数等，确保基础扎实。
2. 多做练习
做题是提高解题能力的重要途径，考生要多做各种类型的数学题，尤其是一些
常考的经典题目，加深对知识的理解。
3. 注重方法
在解题过程中，考生要注重方法的选择和运用，灵活应用各种解题方法，提高
解题效率。
四、数学学习的反思与展望
1. 反思过去
回顾数学学习的历程，分析自己在学习中存在的问题和不足，查漏补缺，找出
提高的空间。
2. 展望未来
展望数学学习的未来，明确学习目标和计划，制定合理的学习计划，努力提高数学成绩，为高考和未来的学习打下坚实基础。
五、结语
2020镇海中学高三期中数学考试即将到来，希望所有学生能够以满腔热情投入备考中，不畏困难，勇攀高峰。
相信通过自己的努力和坚持，一定能取得优异的成绩。
加油！。
浙江省镇海中学2019-2020学年第一学期期中考试高三数学试题
镇海中学学年第一学期期中考试高三数学试题卷一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1. 已知集合，则的元素的个数为A. B. C. D.2. 若且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.3. 已知是等差数列的前项和，且，则等于A. B. C. D.4. 函数的图像大致为5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A.B.C.D.6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B. )C. D. )7. 设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 已知，，，则A. B. C. D.9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为A. B. C. D.10. 设为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. B. C. D.二、填空题（本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分）11. 抛物线方程的焦点坐标为；准线方程为12. 已知点，点在线段上，则直线的斜率为；的最大值为13. 若实数满足约束条件，则的最小值为；的最小值为14. 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为；若空间的一条直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的最大角为15. 已知数列是等比数列且，，则的最大值为16. 已知圆，设点是恒过点的直线上任意一点，若在该圆上任意点满足，则直线的斜率的取值范围为17. 已知点为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为三、解答题（本大题共小题，共分）18. 已知的最大值为（I）求实数的值；（II）若，求的值.19. 在锐角中，角所对边分别为，已知，（I）求；（II）求的取值范围.20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，为的中点，且（I）求二面角的大小；（II）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知数列 的前 项和为 ，且满足： （I ）求数列 的通项公式；（II ）数列 满足 ， ，求数列 通项公式.22. 在平面直角坐标系中，已知 ， ，若线段 的中垂线 与抛物线B C总是相切.（I）求抛物线的方程；（II）若过点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线相交于点. 分别与轴交于点.（i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；（ii）求的外接圆面积的最小值.。
2019年浙江省镇海中学期中考试高三数学试题含答案
镇海中学2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|0＜lnx＜2}，则A∩B的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．72．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．＜D．﹣2a＜﹣2b 3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S2＝4，S4＝18，则S6等于（）A．50 B．42 C．38 D．364．函数的图象大致为（）A5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．76 B.84 C．D．6．将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到，则y＝f（x）的函数解析式为（）A．f（x）＝﹣cos2x B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）＝cos2x D．f（x）＝cos（2x）7．设命题p：lg（2x﹣1）≤0，命题：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．，B．，C．，D．∅8．已知＜＜，sinα﹣2cosβ＝1，，则（）A．B．C．D．9．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且∠F1PF2，若椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为（）A．B．C．D．10．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为（）A．2 B．C．D．9第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．抛物线y2＝2x的焦点坐标是▲ ，准线方程是▲ ．12．已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上，则直线AB的斜率为▲ a•b的最大值为▲ ．13．若实数（x，y）满足约束条件，则2x﹣y的最小值为▲的最小值为▲ ．14．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则直线AA1与平面A1BD所成的角为▲ 若空间的一条直线l与直线AA1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成的最大角为▲ ．15．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝▲ ，a4的最大值为▲16．已知圆O：x2+y2＝1，设点P是恒过点（0，4）的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为▲ ．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为单位圆上两点，且满足，则|x1+y1|+|x2+y2|的取值范围为▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知的最大值为．（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若，求的值．19．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b＝3，a2＝c2﹣3c+9．（Ⅰ）求A（Ⅱ）求sin2B+sin2C的取值范围．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB和△ABC都为等腰直角三角形，P A⊥PB，AB⊥AC，M为AC的中点，且PM＝AC．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小（Ⅱ）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）数列{b n}满足b1＝﹣2，，求数列{b n}通项公式．22．在平面直角坐标系中，已知F（2，0），P（﹣2，t），若线段FP的中垂线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）总是相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）若过点Q（2，1）的直线l′交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线l1，l2相交于点A．l1，l2分别与y轴交于点B，C．（i）证明：当l′变化时，△ABC的外接圆过定点，并求出定点的坐标（ii）求△ABC的外接圆面积的最小值．一、1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C二、11．（，0）x12．﹣2 13．1 14．60015．5 16．[，+∞）∪（﹣∞，] 17．[，]三、18、（Ⅰ），由于函数的最大值为，故，解得a．（Ⅱ）由于f（x），所以，整理得．所以，所以或．或，所以或，故，所以当时．．当时，，所以原式．19．（Ⅰ）在锐角△ABC中，∵b＝3，a2＝c2﹣3c+9，∴可得c2+b2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cos A，∴由A为锐角，可得A．（Ⅱ）∵sin2B+sin2C＝sin2B+sin2（B）＝sin2B+（cos B sin B）2＝1（sin2B cos2B）＝1sin（2B），又∵＜＜＜＜，可得＜B＜，∴2B（，），∴sin（2B）（，1]，∴sin2B+sin2C＝1sin（2B）（，]，即sin2B+sin2C的取值范围是（，]．20．（1）分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有在等腰直角△P AB中，O是中点，则有AB⊥PO﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②由①②可知，AB⊥平面PON，又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．又AB＝2，则MN＝1，又PM＝AC＝2，则有PN，又OP＝ON＝1，由三角形余弦定理可知，∠，∴∠PON＝120°，即二面角P﹣AB﹣C的大小为1200．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作PD⊥ON交NO延长线于点D，设AB ＝AC＝2，则有A（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0），由（1）可知，∠POD＝180°﹣∠PON＝60°，又∵OP＝1，∴，．∴，，，，，．∴，，，设平面PBC的一个法向量为，，，则有，又∵，，，，，，∴，∴，，．设直线PM与平面PBC所成角为θ，则有：．故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为．21．（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．当n≥2时，a n＝﹣3S n﹣1+2，两式相减得：a n+1＝﹣2a n，所以数列{a n}是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以．（Ⅱ）由于，所以，由于，所以，所以．22．（Ⅰ）F（2，0），P（﹣2，t），可得FP的中点为（0，），当t＝0时，FP的中点为原点，当t≠0时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为，可得中垂线l的方程为y x，代入抛物线方程y2＝2px，可得x2+（4﹣2p）x0，由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p）2﹣16＝0，解得p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x；（Ⅱ）（i）证明：可设过点Q（2，1）的直线l′的方程为x﹣2＝m（y﹣1），即x＝my+2﹣m，代入抛物线的方程y2＝8x，可得y2﹣8my﹣16+8m＝0，设M（，y1），N（，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，由y2＝8x，两边对x求导可得2y•y′＝8，即y′，可得M处的切线方程为y﹣y1（x），化为y1y＝4x，①同理可得N处的切线方程为y2y＝4x，②由①②可得y4m，x m﹣2，即A（m﹣2，4m），又l1，l2分别与y轴交于点B（0，），C（0，），设过A，B，C的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2﹣4F＞0），即有，结合y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，可得D＝﹣m﹣2，E＝﹣4m，F＝4m﹣8，可得△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣（m+2）x﹣4my+4m﹣8＝0，可得m（4﹣x﹣4y）+（x2+y2﹣2x﹣8）＝0，由可得或，则当l′变化时，△ABC的外接圆过定点（4，0）和（，）；（ii）△ABC的外接圆的半径r，可得当m时，r的最小值为，则△ABC的外接圆面积的最小值为π．。
【100所名校】2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题(含答案)
2019届浙江省宁波市镇海中学 高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集U =R ，集合A ={x|x ≥3},B ={x|x ≤0<5}，则集合(C U A )∩B = A ．{x|0≤x ≤3} B ．{x|0<x <3} C ．{x|0<x ≤3} D ．{x|0≤x <3}2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A ．8−π3B ．163C ．8−π6D ．2033．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=45,a 3+a 8=12, 则a 7= A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．4．满足线性约束条件23,23,{ 0,0x y x y x y +≤+≤≥≥的目标函数z x y =+的最大值是A ．1B ．32C ．2D ．3 5．已知函数f (x )=x 2−In|x|x，则函数f (x )的图象为A ．B ．C ．D ．6．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为①若直线m ⊥α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线．②若直线m ⊥α，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m ⊂α，则在平面β内不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m ⊂α，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④ 7．已知sin (π6−α)=√23，那么cos2α+√3sin2α=A ．109 B ．−109 C ．−59 D ．598．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m ⋅a n =16a 12，则1m+9n 的最小值为 A ．32 B ．114 C ．83 D ．103 9．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P,Q 均位于第一象限，且2QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，QF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则双曲线C 的离心率为A ．√3−1B ．√3+1C ．√13−2D ．√13+210．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为边长为2的正三角形，B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为√3，已知E,F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点，记线段EF 中点M 的轨迹为L ，则|L |等于(注：|L |表示L 的测度，本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．1B．√102C．√32D．√394二、填空题11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.12．y=sin(2x+π6)的最小正周期为_________________，为了得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动_______个单位13．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a=______，若l1//l2，则a=__________.14．已知x,y∈R，且4x2+y2+xy=1，则4x2+y2的最小值_________，此时x的值为___________.15．已知两不共线的非零向量a ,b⃑满足|a|=2,|a−b⃑|=1,则向量a与b⃑夹角的最大值是__________.16．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3=S6，给出以下结论：①a10= 0②S10最小③S7=S12④S19=0，正确的有_________________.17．设函数f(x)={|12x−4|+1,x≤1x(x−2)2+a,x>1，若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4，使得f(x1)x1=f(x2) x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7，则a的取值范围为__________.三、解答题18．已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3（1）求函数f(x)图象对称中心的坐标；（2）如果ΔABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−32n,n∈N∗，b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，对任意m,n∈N∗，不等式S m>λb n恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．20．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC,∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（1）求证：AB⊥PC（2）若ΔPAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值21．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q（1）当直线PQ的方程为x−y−√2=0时，求抛物线C1的方程；（2）当正数p变化时，记S1,S2分别为ΔFPQ,ΔFOQ的面积，求S1S2的最小值。