布朗运动实验报告

布朗运动实验报告
一、实验原理
1．由于布朗运动XY 两个维度运动互不关联，所以可看做XY 两方向运动方程形式相同的运动。

已知布朗运动数学方程：ξγ+-=v dt
dv m 。

其中：ξ为具有随机性的噪声，是不规则运动的来源，系综平均值为令；v γ-为微粒所受阻力，是微粒所受力的系综平均值，γ满足公式：ηπγd 3=（d 为微粒直径，η为粘滞系数）。

2．求解郎之万方程
（1）微粒X 方向位移的平均平方偏差：Dt t x t x 2)]()([2
0=〉-〈，〉-〈20)]()([t x t x 可由实验测得。

（2）微粒每隔时间τ的位移的平方平均值（τ足够大时）：τD x 2)(2
=〉∆〈，〉∆〈2)(x 可由实验测得。

3．通过公式反解出D ，再由B A B k N R T
k D ==,γ，确定阿伏伽德罗常数。

二、实验方法
通过计算机数值计算得到位移数据，再进一步根据公式关系解出D 及阿伏伽德罗常数。

三、数据处理
1．布朗运动轨迹
（1）图像结果
（2）由图像结果可知，分子在不停的做无规则运动。

从单次运动结果来看，运动轨迹没有规律，且无法重复单次运动的结果。

2．微粒位移平均平方偏差
（1）原始数据及拟合结果
N曲线拟合R2拟合图像结果
10t
([2=〉
.4
])
idt
x725
〈0.9027
100t
([2=〉
])
idt
x43.8
〈0.9897
1000t
([2=〉
])
idt
x8
〈0.994
由拟合图像及相关系数结果可知，N 较小时，所得结果较为分散、随机，无法体现线性关系。

当N=5000，相关系数最大，拟合效果最接近直线，以下数据处理考虑N=5000时结果。

（2）N=5000时，Dt t idt x 2499.8])([2==〉〈，反解：
)/(10250.4)/(250.42/499.82122s m s m D -⨯===μ。

)
/(10425.9101013321046m s J d ⋅⨯=⨯⨯⋅==---πηπγ)/(10367.1293
10425.910250.4231012K J T D k b ---⨯=⨯⨯⨯==γ)(10081.610
367.1314.812323--⨯=⨯==mol k R N B A 计算所得阿伏伽德罗常数基本与理论值相符。

3．微粒位移平方平均值（以下计算取N=5000时结果）
（1）由于数据量较大，故编程由计算机完成计算部分：
（2）计算结果)(024.250)(2
m x μ=〉∆〈，
)/(10167.4302)(024.2502)(212-22s m s
m dt x D ⨯=⨯=〉∆〈=μ)
/(10425.9101013321046m s J d ⋅⨯=⨯⨯⋅==---πηπγ)/(10341.1293
10425.910167.4231012K J T D k b ---⨯=⨯⨯⨯==γ)(10200.610
341.1314.812323--⨯=⨯==mol k R N B A 计算所得阿伏伽德罗常数基本与理论值相符。

4．误差分析
（1）从整体上看，当N 逐渐变大时，所得数据越接近理论数值，但是由于N 无法取得正无穷，计算结果仍存在误差。

（2）在运行程序时发现，原有程序srand(int(time(0)))生成随机数，由于int(time(0))在相邻的两遍计算中基本一致，导致生成大量完全相同的结果，故改变为srand((int)time(0)*(int)time(0)*(int)time(0)*count)，使得连续多次求解时的生成随机数的种子发生变化，以便得到不同结果。

（3）微粒位移平方平均值方法计算N A 时，应保证τ足够大，本次实验中取τ=30S ，由于无法无限计算，故而导致计算结果存在偏差。

四、讨论
1．什么是流体中原子或分子的平均自由程？确定阿伏伽德罗常数后如何估计原子或分子大小？
（1）平均自由程：气体分子无规则运动中各段自由路程的平均值。

（2）已知某流体密度ρ、摩尔质量M ，可知1mol 该物质体积V 1mol =M/ρ，进而可知单个分子体积V 0=V 1mol /N A 。

假设该该分子为球形，则3mol 13043,34A
A A N M r N M N V r V πρρπ====。

2．数值计算所使用的参数（微粒的质量、直径；流体的温度、粘度）是否合理？如果不合理，对计算结果有何影响？
微粒的质量、直径，流体的温度基本接近实际值，而流体粘度偏小，使得所处的扩散系数D 和γ偏小，进而使算出的玻尔兹曼常数k B 偏小，计算出的N A 偏大。