福建省春季高考高职单招数学模拟试题(十四)及答案

福建省春季高考高职单招数学模拟试题（十四）
【考试时间：2014年1月6日下午2:15——4:15，共120分钟】
班级： 姓名： 座号： 成绩：
一、选择题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卡上。

1.已知集合{1,2,3,4}M =，集合{1,3,5}N =，则M N 等于（ ） .{2}A .{2,3}B .{1,3}C .{1,2,3,4,5}D 2．复数
1i
i
+在复平面内对应的点在（ ） A 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 已知命题2
:,210,p x R x ∀∈+>则 （ ） A ．2
:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B ．2
:,210p x R x ⌝∀∈+≤
C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+<
D ．2
:,210p x R x ⌝∀∈+<
4. 一个空间几何体的三视图如右图所示，这个几何体的体积是（ ）
A. 2
B.4
C.6
D.8
5. 要得到函数2sin()6
y x π
=+
的图象，只要将函数2sin y x =的图象（ ） （A ）向左平移6π个单位 （B ）向右平移6π
个单位
（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3
π
个单位
6.已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出的结果是（ ）
.3A .9B .27C .81D
7. 在空间中，下列命题正确的是（ ）
A ． 平行于同一平面的两条直线平行
B ． 垂直于同一平面的两条直线平行
C ． 平行于同一直线的两个平面平行
D ． 垂直于同一平面的两个平面平行
8.若AD 为ABC ∆的中线，现有质地均匀的粒子散落在ABC ∆内，则粒子在ABD ∆内的概率等于（ ）
4.5A 3.4B 1.2C 2.3D 9. 计算sin 240︒的值为（ ）
.A 1.2B - 1.2
C
D ⒑"tan 1"α=是""4
π
α=
的 （ ）
正（主）视
侧（左）
俯视图
11. 下列函数中，在),0(+∞上是减函数的是（ ）
.A x
y 1=
.B 12+=x y .C x
y 2= .D x y 3l o g =
⒓已知直线的点斜式方程是21)y x -=-，那么此直线的倾斜角为（ ）
.
6
A π
.
3
B π
2.
3C π 5.6
D π 13.已知实数x 、y 满足0
4x y x y ⎧⎪
⎨⎪+⎩
≥≥0≥4，则z x y =+的最小值等于（ ）
.0A .1B .4C .5D
14、设椭圆的两焦点为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A 、
2
2 B 、
2
1
2-
C 、22-
D 、12-
厦门市海沧中学高职高考 数学模拟试卷答题卡
一、 请将选择题答案填入：
二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

请把答案写在答题卡相应的位置上。

15.如果0a >，那么1
1a a
+
+的最小值是 。

16. 函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是___________ 17. 在△ABC 中，若π
,4
B b ∠=
=，则C ∠= ． 18.如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅=
，则AE BF ⋅
的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.（本小题满分8分）
已知等差数列{}n a 满足：26,7753=+=a a a ，{}n a 的前n 项和为n S 。

（1）求n a 及n S ；（2）令)(1
1
*2
N n a b n n ∈-=
，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

20.（本小题满分8分）设函数)(2sin cos 2)(2
R a a x x x f ∈++=，（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]6
x π
∈时，f(x)的最大值为2，求a 的值。

21.（本小题满分10分）
如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，
.3
1
CB CG = （I ）求证：;BC PC ⊥ （II ）求三棱锥C —DEG 的体积；
（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。

若存在，求AM 的长；否则，说明理由。

22. （本小题满分10分）已知椭圆G ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为36
，右焦点为()
0,22，斜率为
1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）。

（1）求椭圆G 的方程；（2）
求∆PAB 的面积。

23.（本小题满分12分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示． （Ⅰ）计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标；
（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;
（Ⅲ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．
24.（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=,a R ∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈(0,)+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范
围.
福建省春季高考高职单招数学模拟试题（十四）参考答案
15. 3 16. 1 0105 或12
7π
18．三．解答题
19. （本小题满分8分）
所以，n n b b b T +++= 21)1
11313121211(41+-+++-+-=
n n )
1(4+=
n n
即，数列{}n b 的前n 项和n T =n
4(n+1)。

8分
20.（本小题满分8分）
解：(1) ()1
)4
2sin(22sin 2cos 1+++
=
+++=a x a x x x f π。

（2分）
π
πω
=2则f(x)的最小正周期T=
…………………3分
()22x k π
π
π
ππ≤+
≤+
∈且当2k -k Z 时，f(x)单调递增，
即()Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-
8,83ππππ为()x f 的单调递增区间。

…………………5分 (2)当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈6,
0πx 时，127424πππ≤+≤x 24284x x ππππ+==当，即时，sin(2x+)=1 所以()21,212m ax -=∴=++=
a a x f …………………8分
21．（本小题满分10分）本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象
能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想。

满分10分。

（I ）证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴…………1分 又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ， …………2分 ∵PD ⋂CD=D
∴BC ⊥平面PCD 又∵PC ⊂面PBC ∴PC ⊥BC …………4分
（II ）解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G —DEC 的高。

…………5分
∵E 是PC 的中点，1)222
1
(2121=⋅⋅⋅==
∴∆∆PDC EDC S S ……6分 9
2
1323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC
G DEG C S GC V V
…………7分 （III ）连结AC ，取A C 中点O ，连结EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，
则PA//平面MEG 。

…………8分 下面证明之
∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴EO//PA ，
又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA//平面MEG
…………9分
在正方形ABCD 中，∵O 是AC 中点， OCG ∆∴≌OAM ∆
,32=
=∴CG AM ∴所求AM 的长为.3
2
…………10分
22．（本小题满分10分）
解：（1）由已知得⎪⎩⎪
⎨⎧=
=362
2a
c c ,。

1分，解得a=23,。

2分， 又.42
22=-=c a b 。

3分，
所以椭圆G 的方程为14
122
2=+y x 。

4分
（2）设直线l 的方程为y=x+m,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1412
2
2y x m x y 得)1(0123642
2=-++m mx x 。

（5分） 设A ，B 的坐标分别为()()),(,,,212211x x y x y x <AB 中点为()00,y x E ，则
4
,43200210m
m x y m x x x =+=-=+=。

（6分） 因为AB 是等腰三角形PAB ∆的底边，所以PE ,AB ⊥所以PE 的斜率,14
3342-=+
--
=
m m
k 解得m=2. （。

7分）
此时方程（1）为,01242
=+x x 解得,0,321=-=x x 所以2,121=-=y y
所以23=AB 。

（。

8分）此时，点P （-3,2）到直线AB ：x-y+2=0的距离d=2
2
32
2
23=
+--, （。

9分） 所以PAB ∆的面积.2
9
21=⋅=
d AB S （。

10分） 23．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2126375960638586104107
64.810
X +++++++++=
=，…………2分
64.8在35与75之间，空气质量属于二级，未超标. …………3分 （Ⅱ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A ,
243
()105
P A +=
=. …………6分 （Ⅲ）由茎叶图知PM2.5数据在0~35之间的有21、26，PM2.5数据在35~75之间的有37、59、60、
63，从这六个数据中，任意抽取2个的结果有：
(21，37)，(21，59)，(21 ，60)，(21，63)，(26，37)，(26，59)，(26 ，60)，(26，63)，(21，26)，(37，59)，(37 ，60)，(37，63)，(59，60)，(59，63)，(60 ，63) ． 共有15个. …………10分 记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件B ,
8()15P B =
.
…………12分 24．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在区间()0,+∞上,
1
1
()ax f x a x x
-'=-=
. ……………………1分 ①若0a ≤,则()0f x '<,()f x 是区间()0,+∞上的减函数； ……………3分 ②若0a >,令()0f x '=得1x a
=
. 在区间1(0,)a
上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数;
在区间1(,)a
+∞上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 综上所述，①当0a ≤时,()f x 的递减区间是()0,+∞，无递增区间；
②当0a >时，()f x 的递增区间是1(,)a +∞，递减区间是1(0,)a
. …………5分 （II ）因为函数)(x f 在1=x 处取得极值，所以(1)0f '=
解得1=a ，经检验满足题意. …………7分
由已知()2,f x bx ≥-则1ln ()2,1x
f x bx b
x x ≥-+
-≥ …………………8分 令x x
x x g ln 11)(-+=，则22211ln ln -2()x x g x x x x -'=--=
…………………10分 易得)(x g 在(]
2,0e 上递减，在[)
+∞,2e 上递增， …………………11分 所以2
2m in 11)()(e e g x g -==，即21
1b e
≤-
． …………12分。