高中数学双曲线知识点总结

x2
2k k2 1
4
5
，
y1
y2
k ( x1
x2 )
2
2k 2 k2 1
2
2 k2 1
8
，
蚁∴点 C( 4 5 , 8 ) 。 mm
薇将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程，的 80 64 1 ， m2 m2
蚅得 m 4 ，但当 m 4 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。 莁∴ m 4 ，C 点的坐标为 ( 5, 2) ，
袈∴ c 10 10 即 e 10 。
a42
2
肆题型三 直线与双曲线的位置关系
蚂方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方
Ax By C 0 程组，即 b2 x2 a2 y2 a2b2 ，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公
共点和相切不是等价的。
羂(2)设 A(x1,y1) , B(x2 ,y2 ) ,
螀由题意建立方程组
y=kx-1
x
2
-y2
=1
消去
y，得
(1
k
2
)x2
2kx
2
0
。
肇又已知直线与双曲线左支交于两点 A、B，有
1 k 2 0,
(2k)2 8(1 k 2 ) 0,
蒅
x1
x2
2k 1 k2
0,
解得 2 k 1。
（1）
（2） 蚅求点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到直线 x 1 的距离之和的最小值；
（3）
（4） 膆若 B（3，2），求 PB PF 的最小值。
莀解：（1）抛物线焦点为 F（1，0），准线方程为 x 1 。
芈∵P 点到准线 x 1 的距离等于 P 点到 F（1，0）的距离，
莇∴问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A（-1，1）的距离与 P 到 F（1，0）的距 离之和最小。
莅∴所求抛物线的标准方程是 y2＝ 9 x 或 x2＝－ 4 y
2
3
薂解法二：由于 A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为 y2 mx 或 x2 ny ，
代入 A 点坐标求得 m= 9 ，n=- 4 ，
2
3
肁∴所求抛物线的标准方程是 y2＝ 9 x 或 x2＝－ 4 y
2
3
羈（3）令 x=0 得 y=－2，令 y=0 得 x=4，
肀显然 P 是 AF 的连线与抛物线的交点，
羅
y
薇最小值为 AF 5
虿
A 螄
蒃（2）同理 PF 与 P 点到准线的距离相等，如图：
P
聿
薀
蒀
蚀过 B 做 BQ⊥准线于 Q 点，交抛物线与 P1 点。
O
F
x
蒁∵ P1Q P1F ，
芈∴ PB PF P1B P1Q BQ 4 。
薆∴ PB PF 的最小值是 4。
蒄
∵|AB|＝2，∴(a―b)2＋(a2―b2)＝4，则(a＋b)2－4ab＋(a2＋b2)2－4a2b2＝4
蚄则 2x＝a＋b,2y＝a2＋b2,得 ab＝2x2－y,∴4x2―4(2x2―y)＋4y2―4(2x2―y)＝4
螂整理得 y x 2 1 4x2 1
莈即点 M 纵坐标的最小值为 3/4。
PF
x0
p。 2
芀 2、若过焦点的弦 AB， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则弦长 AB x1 x2 p ， x1 x2 可由
韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类 似得到。
膁【例 6】设 P 是抛物线 y2 4x 上的一个动点。
膃由题意知，2b=12， e c = 5 。 a4
肀∴b=6，c=10，a=8。
腿∴标准方程为 x2 36 1或 y2 x2 1。
64
64 36
螇（2）∵双曲线经过点 M（0，12）， 芃∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a=12。
蒁又 2c=26，∴c=13。∴ b2 c2 a2 144 。
肁解：直线 l 的方程为 x y 1，级 bx+ay-ab=0。 ab
莈
由点到直线的距离公式，且 a＞1，得到点（1，0）到直线 l 的距离 d1
b(a 1) a2 b2
，
螆
同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离 d2
b(a 1) a2 b2
，
蚄 s d1 d2
2ab 2ab 。 a2 b2 c
薀（1）曲线 E 的方程； 芅（2）直线 AB 的方程； 芅（3）m 的值和△ABC 的面积 S。 薁解：由双曲线的定义可知，
肆
y
膆
A膀 C
蒆
B
袈
肃
O
x
肈曲线 E 是以 F1( 2,0), F2( 2,0) 为焦点的双曲线的左支， 芈且 c 2 ，a=1，易知 b c2 a2 1。 莅故直线 E 的方程为 x2 y2 1(x 0) ，
膅方程
袅图形
膃顶点 艿
（0，0）
膈对称 羄
x轴
芀
y轴
轴
羁焦点
羇离心 肄
e=1
率
蚁准线
羆（二）典例讲解
芃题型一 抛物线的定义及其标准方程
蚁方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标
准方程有时可设为 y2 mx 或 x2 my(m 0) 。
虿【例 5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
聿 C 到 AB 的距离为
5 ( 5) 2 1
2
1，
( 5 )2 12
3
2
莆∴△ABC 的面积 S 1 6 3 1 3 。
2
3
一、
二、螅抛物线
螂高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定 义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。 （一） （二） 螁知识归纳
（1）
（2）
（3） （4） （5）
肃虚轴长为 12，离心率为 5 ； 4
羃焦距为 26，且经过点 M（0，12）；
（6） 螁与双曲线 x2 y2 1 有公共渐进线，且经过点 A 3, 2 3 。 9 16
羈解：（1）设双曲线的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1或
y2 a2
x2 b2
1 (a 0,b 0) 。
螀 解法一：设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x,y)
肈由抛物线方程 y＝x2 知焦点 F(0, 1 ) ,准线方程 4
y 1 ，设点 A、B、M 到准线的距离分别为|AD1|、 4
|BC1| 、 |MN| ， 则 |AD1| ＋ |BC1| ＝ 2|MN| ， 且
MN =2(y+ 1 ) ，根据抛物线的定义，有|AD1|＝|AF|、 4
螄∴ k 5 。 2
羀故直线 AB 的方程为 5 x y 1 0 。 2
衿（3）设 C(xc , yc ) ，由已知 OA OB mOC ，得 (x1 , y1) (x2, y 2) (mxc , myc ) ，
蚅∴
(xc ,
yc
)
(
x1
源自文库
x2 m
,
y1
y2 m
)(m
0)
。
羁又
x1
蚈（1）抛物线的焦点是双曲线16x2 9 y2 144 的左顶点；
芆（2）经过点 A（2，－3）； 螁（3）焦点在直线 x-2y-4=0 上； 肀（4）抛物线焦点在 x 轴上，直线 y=-3 与抛物线交于点 A，︱AF︱=5.
膆解：（1）双曲线方程可化为 x2 y2 1 ，左顶点是（-3，0） 9 16
肇∴直线 x-2y-4=0 与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
蚅∴焦点为（0，-2），（4，0）。
肁∴抛物线方程为 x2 8 y 或 y2 16x 。
荿（4）设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为 y2 2 px( p 0) ，A（m，-3），由抛物
蒅线定义得 5 AF m p ， 2
y2 b2
1 的左、右焦点，若双曲线上存在点
A，使
F1 AF2 90 ，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。
芁解：∵ F1 AF2 90 袆∴ AF1 2 AF2 2 4c2
羆又︱AF1︱=3︱AF2︱，
节∴ AF1 AF2 2 AF2 2a 即 AF2 a ， 蚈∴ AF1 2 AF2 2 9 AF2 2 AF2 2 10 AF2 2 10a2 4c2 ，
袁∴标准方程为 y2 x2 1。 144 25
薆（3）设双曲线的方程为
x2 a2
y2 b2
薆 A 3, 2 3 在双曲线上
2
袂∴ 32 2 3 1 得 1
9 16
4
荿所以双曲线方程为 4x2 y2 1 94
蕿题型二 双曲线的几何性质
蚆方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是 e、a、b、c 四者
高中数学双曲线知识点总结
蒄 平面内到两个定点 , 错误!未找到引用源。的距离之差的绝对值是常数 2a(2a<
)
的点的轨迹。
莁方程
蒀简图
羈袇_y
蚆螃_y
薄螂_x 肈
薄范围
肈顶点
虿焦点
袃渐近线
螁离心率
袀对称轴
蒈关于 x 轴、y 轴及原点对称
膂准线方程
薂 a、b、c 的 关系
膇考点
羃 题型一 求双曲线的标准方程
的关系，构造出 e c 和 c2 a2 b2 的关系式。 a
芃【例
2】双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的焦距为 2c，直线
l 过点（a，0）和（0，b），且
点（1，0）到直线 l 的距离与点（-1，0）到直线 l 的距离之和 s≥ 4 c 。求双曲线的离心率 5
e 的取值范围。
莄又 (3)2 2 pm ，
膁∴ p 1或 p 9 ，
螀故所求抛物线方程为 y2 2x 或 y2 18x 。
膇题型二 抛物线的几何性质
膃方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线 l 的距离处
理，例如若 P（x0，y0）为抛物线 y2
2 px( p 0) 上一点，则
|BC1|＝|BF|,∴ 2(y+ 1 ) ＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2， 4
蒈∴ 2(y+ 1 ) 2 4
肃∴ y 3 ,即点 M 纵坐标的最小值为 3 。
4
4
膄 分析二：要求 AB 中点 M 的纵坐标 y 的最小值，可列出 y 关于某一变量的函数，然后 求此函数的最小值。
葿 解法二：设抛物线 y＝x2 上点 A(a,a2),B(b,b2)，AB 的中点为 M(x，y)，则
莀
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
蚇【例 4】如图，已知两定点 F1( 2,0), F2( 2,0) ，满足条件 PF2 PF1 2 的点 P 的轨 迹是曲线 E，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点，如果 AB 6 3 ，且曲线 E 上存在点
C，使 OA OB mOC ，求
膃蚀_x 蚃
袃关于 x 轴、y 轴及原点对称
薃
1、给出渐近线方程
y
n m
x
的双曲线方程可设为
x2 m2
y2 n2
(
0)
，与双曲线
x2 a2
y2 b2
1共渐近线的方程可设为
x2 a2
y2 b2
(
0) 。
罿 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 羅【例 1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
蕿由 s≥ 4 c ，得 2ab ≥ 4 c ，即 5a c2 a2 2c2 。
5
c5
肇于是得 5 e2 1 2e2 ，即 4e4 25e2 25 0 。
袆解不等式，得 5 e2 5 。由于 e＞1＞0，所以 e 的取值范围是 5 e 5 。
4
2
袁【例
3】设
F1、F2
分别是双曲线 x2 a2
蚀题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题 蚇方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
螆【例 7】已知抛物线 y＝x2，动弦 AB 的长为 2，求 AB 的中点纵坐标的最小值。
莄分析一：要求 AB 中点纵坐标最小值，可求出 y1＋y2 的最小值，从形式上看变量较多， 结合图形可以观察到 y1、y2 是梯形 ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标 y 成为中位线，可 以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
x1
x2
1
2 k
2
0.
莃又∵
AB 1 k 2 • x1 x2 1 k 2 • (x1 x2 )2 4x1x2
膈依题意得 2
(1 k 2 )(2 k 2 ) (1 k 2 )2
6
3 ，整理后得 28k 4 55k 2 25 0 ，
螆∴ k 2 5 或 k 2 5 。
7
4
薅但 2 k 1，
肅由题意设抛物线方程为 y2 2 px( p 0) 且 p 3 ， 2
袁∴p=6.
蒁∴方程为 y2 12x
袈（2）解法一：经过点 A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： 袄 y2＝2px 或 x2＝－2py． 羁点 A（2，－3）坐标代入，即 9＝4p，得 2p＝ 9
2
薈点 A（2，－3）坐标代入 x2＝－2py，即 4＝6p，得 2p＝ 4 3