高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)doc

一、多选题
1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -⋅= B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
2．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 方向上的投影为5 C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2
4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ⋅=- B ．0OE O
C +=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
5．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．12AF AD A
B =+
B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．21
33
AG AD AB =-
D ．3BG GD =
6．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
7．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=⋅-
8．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
9．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对
C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 10．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
11．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形
12．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个
13．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33
B a c b π
=+=,则
a
c
=( ) A ．2
B ．3
C ．
12 D ．
13
14．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等
B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 15．下列说法中错误的是( )
A ．向量A
B 与CD 是共线向量,则A ，B ，
C ，
D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =
D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，
()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01
05
t <<
时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2,23ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．20,
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
19．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
20．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ∆的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C
D ．21．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ）
A ．M
B ．N
C ．
D ．1
22．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
-
D ．34
-
23．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
25．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ）
A ．
35 B ．
107
C ．
57
D 26．题目文件丢失！
27．已知圆C 的方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x
上，线段AB 为圆C
的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
28．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
29．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
30．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ） A ．0
B ．
83
C ．-4
D ．4
31．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b = ②ABC ∆的面积为
83
3
③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径43
3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
32．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，
B S ，
C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点
O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
33．已知1a b ==，1
2
a b ⋅=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ） A ．(
,32⎤-∞+⎦
B ．)
32,⎡++∞⎣
C ．(
,32⎤-∞-⎦
D ．)
32,⎡-+∞⎣
34．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，
BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）
A ．21
33AB AD - B ．
12
33AB AD - C ．21
33
AB AD -+ D ．12
33
AB AD -
+ 35．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两
种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
， 解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；
对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(
解析：CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】
对于A，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则2110
a b⋅=-=>，则,a b的夹角为锐角，错误；
对于B，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为
2
2
a b
b
⋅
=，错
误；
对于C，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则a b
-=(1，2)，若(a b
-)∥c，则(﹣n)=2(m ﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；
对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn
1
2
= (2m•n)
1
2
≤
(2
2
m n
+
)2=2，即mn的最大值为2，正确；
故选：CD.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
4．BCD
【分析】
以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
解析：BCD
【分析】
以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E为AB中点，则CE AB
⊥，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，1(0,0),(1,0),(1,0),(,
)33
E A B C D -，
设1(0,),(1,),(,3O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ，
所以133y y -
=-，解得：2
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
2OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
1
(,33
ED =，(1,BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +⋅==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
5．AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，
解析：AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33
AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误
【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333
BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3
GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误
故选：AB
【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
6．BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
7．AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，
解析：AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 8．CD
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B 错误，D 正确；
由，所以，故A 错误；
由，所以，故C 正确.
故选：CD
【点睛】
解析：CD
【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；
由()()2
144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD
【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
9．BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当时，这样的有无数个，故C
解析：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.
故选：BC
【点睛】
若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使
12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.
10．ABD
【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.
【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD
【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.
【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
11．BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在中，
对于A ，若，则或，
当A ＝
解析：BD
【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．
【详解】
在ABC ∆中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，
当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π
+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得
sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确； 综上，正确的判断为选项B 和D ．
故选：BD ．
【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
12．BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，
设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．
当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．
故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
13．AC
【分析】
将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.
【详解】
∵，
∴①，
由余弦定理可得，②，
联立①②，可得，
即，
解得或.
故选：AC.
【点睛】
本题考查余弦定理的应
解析：AC
【分析】
将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.
【详解】
∵,3B a c π
=+=，
∴2222()23a c a c ac b +=++=①，
由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π
+-=②，
联立①②，可得222520a ac c -+=， 即2
2520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得
2a c =或12
a c =. 故选：AC.
【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.
14．AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据
解析：AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据相等向量的概念知，D 正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
15．AD
【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B
解析：AD
【分析】
利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确；
若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；
温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.
故选：AD
【点睛】
本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．A
【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，
因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113
m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭
， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
， 解得34
λ=
. 故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 17．B
【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。

18．C
【解析】
【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，
()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，
∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223
ππθ<<， 故选：C.
【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.
19．B
【分析】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222
()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a a
θ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=，
所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ
=
，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B
【点睛】 本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
20．A
【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.
【详解】
由正弦定理可知
2sin sin sin a b c r A B C ===
已知sin cos sin a b c A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以122
ABC S =⨯=. 故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 21．C
【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.
【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；
故选：C.
【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.
22．B
【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.
【详解】
13BE AE AB AD AB =-=-，1()2
AD AB AC =+ ， 5166
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23
λμ∴+=-. 故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
23．D 【分析】 根据已知条件可得()
222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.
【详解】 ()()()
222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线
M ∴轨迹必过ABC ∆的外心
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.
24．C
【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.
【详解】
由123||||||1
OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230
OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，
故可判断该三角形为等边三角形，
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.
25．C
【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．
【详解】 解：3cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4
sin 5A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=．
sin C ∴= 由正弦定理可得：
sin sin b c B C =，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．无
27．B
【分析】
将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.
【详解】
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2
222||||||22
PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
28．A
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.
【详解】 cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即
()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，
0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，
0B π<<，所以，2
B π=，因此，AB
C 是直角三角形. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
29．A
【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，
根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC
OC OC ⋅⋅=,
即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12
a =-
. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
30．C
【分析】
先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.
【详解】 如图所示，
AB AF 2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()
230,3,3,1,,33B F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
因此()BF AE BF 233,2,3232643
→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
31．C
【分析】
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π
=或
sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】
4c =，3C π∠=
，可得42sin 3sin 3
c R C π===，可得ABC ∆
外接圆半径3R =，④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，
即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=
或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π
=，3C π
=，6B π
=，可得2a b =，①可能成立；
由4c =
可得a =
，b =
4+
；面积为12bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，
可得a =
，b =
则三角形的周长为4a b c ++=+
11sin sin 223333
S ab C π==⋅⋅= 则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
32．C
【分析】
利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到
AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】
如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅， 所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。

因为四边形DOEC 的对角互补，所以AOB C π∠=-，
cos()cos OA OB OA OB C OA OB C π∴⋅=-=-．
同理，||cos OB OC OB OC A ∴⋅=-‖，
||cos OC OA OC OA B ∴⋅=-‖，
∴||cos ||||cos ||||cos OA OB C OB OC A OC OA B ==‖． ∴||cos ||||cos ||||cos ||||||||||||
OA OB C OB OC A OC OA B OA OB OC OA OB OC OA OB OC ==‖‖‖‖， ::cos :cos :cos OA OB OC A B C ∴=． 又11sin()sin 22
A S O
B O
C A OB OC A π=-= 11sin()sin 22B S OA OC B OA OC B π=-= 11sin()sin 22
C S OB OA C OB OA C π=-= sin sin sin ::::A B C A B C S S S OA OB OC ∴=
=sin sin sin ::tan :tan :tan cos cos cos A B C A B C A B C =． 由奔驰定理得tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=. 故选C ．
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
33．A
【分析】 不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动。