逻辑代数和逻辑函数化简

第2章 逻辑代数和逻辑函数化简

基本概念：逻辑代数是有美国数学家George Boole 在十九世纪提出,因此也称布尔代数,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。也叫开关代数，是研究只用0和1构成的数字系统的数学。

基本逻辑运算和复合逻辑运算 基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。 复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”等。 基本逻辑运算

1.“与”运算

①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具备时，事件才会发生。

②运算电路：开关A 、B 都闭合，灯F 才亮。 ③表示逻辑功能的方法： 真值表

表达式：F =A •B 逻辑符号：

开关A 、B 的状态代表输入： 灯F 的状态代表输出：

功能说明：有0出0，全1出1。

在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号：

通过“•”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。

推广：当有n个变量时：F=A1A2A3∙∙∙A n

“与”运算的几个等式：

0•0=0，0•1=0，1•1=1

A•0=0（0-1律），A•1=A（自等律），A•A=A（同一律），A•A•A=A （同一律）。

2.“或”运算

①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件

中，只要具备一个，事件就会发生。

②运算电路：开关A、B只要闭合一个，

灯F就亮。

③表示逻辑功能的方法：

逻辑功能：有1出1，全0出0。

真值表：（略）

表达式：F=A+B

逻辑符号：

推广：当有n个变量时：F=A1+A2+ A3+∙∙∙+A n

“或”运算的几个等式：

0+0=0，0+1=1，1+1=1

A+0=A（自等律）A+1=1（0-1律），A+A=A（同一律）。

上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。

3．“非”运算

①逻辑含义：当决定事件的条件具备时，

事件不发生；当条件不具备时，事件反而发

生了。

②运算电路：开关A闭合，灯F不亮。

③表示逻辑功能的方法：

逻辑功能：入0出1，入1出0。

真值表：（略）

表达式：F=A

逻辑符号：

“非”运算的几个等式：

A=A（还原律）；A+A=1、A A=0（互补律）。

2.1.2 复合逻辑运算

1．“与非”运算

“与”和“非”的组合。有专门实现这种运算的实际器件（如TTL 与非门等）。

逻辑符号：

表达式：F=AB；真值表：（略），逻辑功能为：有0出1，全1出0。

2．“或非”运算

“或”和“非”的组合。也有专门实现这种运算的实际器件（如TTL、CMOS与非门等）。

逻辑符号：

表达式：F=B

A+；真值表：（略），逻辑功能为：有1出0，全0出1。

3．“与或非”运算

逻辑符号：

表达式：F=CD

AB+；真值表：（略）。

4．“异或”运算

逻辑功能：两变量状态相异出1，相同出0。真值表：（略）。

表达式：F=A B=A B + A B

逻辑符号：

“异或”运算的几个等式：

A 0 = A；A 1 =A；A A=1；A A= 0

5．“同或”运算

逻辑功能：两变量状态相异出0，相同出1。。

逻辑符号：

与“异或”运算正好相反，也称“异或非”运算。“异或”运算的几个等式（略）。

逻辑代数的基本定律及规则

2.2.1 逻辑代数的基本定律

或者称为基本公式：

0-1律：1·A=A；0+A=A。

0·A=0；1+A=1。

交换律：AB=BA；A+B=B+A。

结合律：A（BC）=（AB）C；A+（B+C）=（A+B）+C。

分配律：A（B+C）=AB+AC；A+BC=（A+B）（A+C）。

互补律：A A=0；A+A=1。

重叠律：AA=A；A+A=A。

还原律：A=A；

反演律：AB=B

A

A+；B

A+=B

吸收律1：A+AB= A；A（A+B）= A。

吸收律2：A+A B= A+B；A（A+B）= AB。

吸收律3：AB+ A B= A；（A+B）（A+B）= A。

冗余定理：AB+A C+BC= AB+A C；（A+B）（A+C）（B+C）=（A+B）（A+C）。

证明：左边=AB+A C+BC（A+A）

= AB+A C+ABC+A BC

= AB（1+C）+A C（1+B）= AB+A C=右边（证毕）冗余定理指出：当某变量以互补形式出现在两个与项中时，这两个与项的其余因子组成的第三项为多余项。

推论：A B+A C+BC f (a，b，c，…)= AB+A C

多余项

2.2.2 逻辑代数的基本规则 1．代入规则

将逻辑等式中的某一变量都代之以另一个逻辑函数，此等式仍成立。

例：AB =B A +。用BC 代替等式中的B 得

)(BC A =BC A +=C B A ++

反复运用代入规则可得：

ABCD = ++++D C B A 。扩大了等式的应用范围。

2．对偶规则

如果将任一逻辑函数式F =f (A ，B ，C ，…)中所有的

·换成 +

+ 换成 · 0 换成 1 1 换成 0

例：求F =B D C CD B B A )(+++⋅的对偶式。 解：F '=)(])()[(B D C D C B B A +⋅+++

F 与F '互为对偶，)(''F =F 。

还要注意到：对偶关系不是相等的关系，即F '≠F 。

运用对偶规则可以使要记忆的公式减少一半。观察P27中的基本公式可以发现，只要记住左半部分，运用对偶规则就能得到右半部分。

所得到的新函数F ˊ就是F 的对偶式。此即对偶规则。运用时注意：