第四章 热传导方程
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HUST 应用偏微分方程
第4章 热传导方程
4.1.1 无限长杆上初值问题的傅里叶变换法
∂u ∂ 2u = a 2 2 , − ∞ < x < +∞, t > 0 例1 解定解问题 ∂t ∂x u ( x,0) = δ ( x), − ∞ < x < +∞ 解：利用傅立 dU (ω , t ) = − a 2ω 2U (ω , t ), t > 0 叶变换的性质 dt U (ω ,0) = 1, u − a 2ω 2t − a 2ω 2t U (ω , t ) = Ce C = 1 U (ω , t ) = e
−
ω σ
2 2
1
3
下午1时31分
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第4章 热传导方程
4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法
∂u ∂ u = a 2 2 , x > 0, t > 0, ∂x 例1 解定 ∂t u ( x,0) = 0, x ≥ 0, 解问题 u (0, t ) = N , u (+∞, t ) = 0, t > 0 解：对t求拉氏变换 d 2U ( x, p ) 2 , x>0 pU ( x, p ) = a 2 dx U (0, p ) = N ,U ( +∞, p ) = 0 p
Tn = An e
−
a 2 n 2π 2 l
2
t
u = ∑ un = ∑ Cn e
n =1 n =1
∞ n =1 =1
∞
∞
−
a 2 n 2π 2 l
2
于是得到一系列分离 变量形式的特解 un = X nTn
u ( x,0) = ϕ ( x) = ∑ C n sin
nπ sin x l nπ
t
= An Bne
un = X nTn − β n 2 a 2t ′ = Cn Bn e2 2 sin β n x = Cn e − βn a t sin β n x
u = ∑un = ∑Cne
n=1
∞
∞
∞
−βn2a2t
u ( x,0) = ∑ Cn sin β n x = ϕ ( x) n =1 l = 0 m ≠ n ∫0 sin βmxsin βnxdx≠ 0 m = n
1 e ↔e 2σ 2 ↔ e 2 e 2a πt 2π σ x2 x2 − 2 − 2 t 1 1 u ( x, t ) = ϕ ( x ) ⊗ e 4 a t + ∫ f ( x, τ ) ⊗ e 4 a ( t −τ ) dτ 0 2a πt 2a π (t − τ ) 2 ( x −ξ ) 2 ( x −ξ ) − 2 − +∞ t +∞ 1 f (ξ ,τ ) 2 = ϕ (ξ )e 4 a t dξ + ∫ ∫ e 4 a ( t −τ ) dξdτ ∫−∞ 0 −∞ 2a πt 2a π (t − τ )
uk = Tk (t ) X k ( x )
u = u( x, t)
7
u =
∑T
k
Xk
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第4章 热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l, t > 0 ∂x ∂t 例2 求下列定解问题 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, t > 0 u ( x,0) = ϕ ( x), 0≤ x≤l 令 解： u ( x, t ) = X ( x)T (t ) X ′′ + λX = 0 0 < x < l T 代入方程： ′X = a 2TX ′′ X (l) = 0 X (0) = 0, T′ X ′′ 由例1中的方法知 中的方法知， 由例 中的方法知，以上特征值问题 令 2 = = −λ 的特征值和特征函数分别为 aT X 2 X ′′ + λX = 0 nπ λn = β n2 = , n = 1,2,3,⋯ l T ′ + a 2 λT = 0 nπ u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 X n = Bn sin x l u (l , t ) = X (l )T (t ) = 0
6
n=1
sin βn x
Cm = ∫ ϕ( x) sin βm xdx
0Hale Waihona Puke Baidu
l
sin2 βm xdx ∫
0
l
故原问题的形式级数解为
u = ∑ Cn e
n =1 ∞
2 − β n a 2t
sin β n x
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第4章 热传导方程
分 离 变 量 流 程 图
u |t=0 = ϕ ( x)
a2n2π 2 − 2 t l
un = Cne
−
a2n2π 2 l2
t
nπ sin x l
nπ sin x l
2 l nπ C n = ∫ ϕ ( x) sin xdx l 0 l
l
x
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第4章 热传导方程
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∂u ∂ 2u 例3 求下列定解问题 = a 2 , 0 < x < l, t > 0 2 ∂t ∂u (0, t ) ∂x ∂u (l , t ) = 0, = 0, t > 0 ∂x ∂x 解：令 0≤ x≤l u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 2 X ′′ + λX = 0 0 < x < l ′X = a TX ′′ T X ′(0) = 0, X ′(l) = 0 T′ X ′′ = = −λ 2 λ < 0不是特征值 aT X λ = 0 X ′′ = 0 X = Ax + B X = B0 ′′ + λX = 0 X λ = β 2 > 0 X ′′ + β 2 X = 0 T ′ + a 2 λT = 0 X = A sin βx + B cos βx ∂u (0, t ) X ′(0) = Aβ = 0 X ′(l ) = − Bβ sin βl = 0 = X ′(0)T (t ) = 0 2 ∂x nπ nπ 2 βn = λn = β n = , n = 1,2,3,⋯ ∂u (l , t ) l = X ′(l )T (t ) = 0 l ∂x X ′(0) = 0, X ′(l ) = 0
由例4知 由例 知，以上特征值问题的 特征值和特征函数分别为 X n ( x) = Bn sin β n x λn = β n2 β n > 0, n = 1,2,3,⋯ 满足方程
于是得到一系列分离变量形式 的特解
T '+ λ a 2T = 0 T 'n + β n2 a 2Tn = 0 − β n 2 a 2t ′ Tn = Cn e
2
p
N −ax U ( x, p ) = e p k 1 erfc( ) ↔ e −k p p 2 t x x 1 −a p erfc( )↔ e p 2a t x u ( x, t ) = N ⋅ erfc( ) 2a t
p
U ( x, p) = Ae
a
x
+ Be
−
p
a
x
N A+ B = , A = 0 p
u t = a 2 u xx
u |x=0 = u |x=l = 0
X(0) = X(L) = 0
u = T (t) X ( x)
T' /(a2T) = X"/ X = −λ
T '+ a2 β 2T = 0
T = Aexp(−a β t)
2 2
X "+β2X = 0
π X = sin βx, β = nl
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4.2
一维初边值问题
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第4章 热传导方程
X ′′ + λX = 0, 0 < x < l X ′(l) + hX (l) = 0 X (0) = 0,
tan βl = − β / h 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线 性方程的叠加原理， 性方程的叠加原理，设原问题的解为
第四章 热传导方程 4.1 一维初值问题
u ( x, t ) =
1 2a πt
1
1 2a πt
↔e
e
−
x2
4 a 2t
x2 − 2 2a
e
x2 − 2 4a t
− a 2ω 2 t
1 e 2π σ
↔e
−
ω 2a 2
2
x
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∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), − ∞ < x < +∞, t > 0 例2 解定解问题 ∂t ∂x u ( x,0) = ϕ ( x), − ∞ < x < +∞ 解：对x求傅氏变换 dU (ω , t ) = −a 2ω 2U (ω , t ) + F (ω , t ), t > 0 dt U (ω ,0) = Φ (ω ), pU (ω , p) − Φ (ω ) = − a 2ω 2U (ω , p) + F (ω , p) 对t求拉氏变换 F (ω , p ) + Φ (ω ) U (ω , p ) = 1 at p + a 2ω 2 e ↔ − a 2ω 2t − a 2ω 2t p−a U (ω , t ) = Φ(ω )e + F (ω , t ) ⊗ e 1 t − a 2ω 2t − a 2ω 2t − a 2ω 2 ( t −τ ) e ↔ = Φ(ω )e + ∫ F (ω ,τ )e dτ p + a 2ω 2 0
2
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− a 2ω 2t
U (ω , t ) = Φ(ω )e
+ F (ω , t ) ⊗ e
t 0
− a 2ω 2t
= Φ (ω )e
− x
2
− a 2ω 2t
+ ∫ F (ω ,τ )e
− a 2ω 2 ( t −τ )
dτ
− x2 4 a 2t − a 2ω 2t
X (0) = 0, X (l ) = 0
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T ′ + a 2 λT = 0 a 2 n 2π 2 Tn′ + Tn = 0 2 l
这些特解满足方程和齐次边界条件， 这些特解满足方程和齐次边界条件， 但不满足初始条件。 但不满足初始条件。由线性方程的叠 加原理， 加原理，设原问题的解为
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∂u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l , t > 0, ∂t 4.2.1 无热源 ∂x 有限长杆上初 ∂u(l , t ) + hu(l , t ) = 0, t > 0 u(0, t ) = 0, 边值问题的分 ∂x 0≤ x≤l u( x,0) = ϕ ( x) 离变量法 u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 解： u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 令 ∂u (l , t ) 代入方程： XT ' = a 2 X ′′T + hu (l , t ) ∂x X ′′ 1 T ' = 2 = −λ = X ′(l )T (t ) + hX (l )T (t ) X a T = [X ′(l ) + hX (l )]T (t ) = 0 X ′′ + λX = 0 T '+ λa2T = 0 X (0) = 0, X ′(l ) + hX (l ) = 0
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∂u ∂ 2u X ′′ + λX = 0 0 < x < l 2 , 0 < x < l, t > 0 =a 2 ∂t X ′(0) = 0, X ′(l) = 0 ∂u (0, t ) ∂x ∂u (l , t ) 2 = 0, = 0, t > 0 nπ λn = , n = 0,1,2,⋯ ∂x ∂x l u ( x,0) = ϕ ( x), 0≤ x≤l nπ X n = Bn cos x l 2 T ′ + a λT = 0 λ = 0 T0′ = 0 T0 = A0 u0 = X 0T0 = B0 A0 = C0 a 2 n 2π 2 2 2 2 − t a n π l2 λ > 0 Tn′ + Tn = 0 Tn = An e 2 l 于是得到一系列分离变量形式的特解
第4章 热传导方程
4.1.1 无限长杆上初值问题的傅里叶变换法
∂u ∂ 2u = a 2 2 , − ∞ < x < +∞, t > 0 例1 解定解问题 ∂t ∂x u ( x,0) = δ ( x), − ∞ < x < +∞ 解：利用傅立 dU (ω , t ) = − a 2ω 2U (ω , t ), t > 0 叶变换的性质 dt U (ω ,0) = 1, u − a 2ω 2t − a 2ω 2t U (ω , t ) = Ce C = 1 U (ω , t ) = e
−
ω σ
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4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法
∂u ∂ u = a 2 2 , x > 0, t > 0, ∂x 例1 解定 ∂t u ( x,0) = 0, x ≥ 0, 解问题 u (0, t ) = N , u (+∞, t ) = 0, t > 0 解：对t求拉氏变换 d 2U ( x, p ) 2 , x>0 pU ( x, p ) = a 2 dx U (0, p ) = N ,U ( +∞, p ) = 0 p
Tn = An e
−
a 2 n 2π 2 l
2
t
u = ∑ un = ∑ Cn e
n =1 n =1
∞ n =1 =1
∞
∞
−
a 2 n 2π 2 l
2
于是得到一系列分离 变量形式的特解 un = X nTn
u ( x,0) = ϕ ( x) = ∑ C n sin
nπ sin x l nπ
t
= An Bne
un = X nTn − β n 2 a 2t ′ = Cn Bn e2 2 sin β n x = Cn e − βn a t sin β n x
u = ∑un = ∑Cne
n=1
∞
∞
∞
−βn2a2t
u ( x,0) = ∑ Cn sin β n x = ϕ ( x) n =1 l = 0 m ≠ n ∫0 sin βmxsin βnxdx≠ 0 m = n
1 e ↔e 2σ 2 ↔ e 2 e 2a πt 2π σ x2 x2 − 2 − 2 t 1 1 u ( x, t ) = ϕ ( x ) ⊗ e 4 a t + ∫ f ( x, τ ) ⊗ e 4 a ( t −τ ) dτ 0 2a πt 2a π (t − τ ) 2 ( x −ξ ) 2 ( x −ξ ) − 2 − +∞ t +∞ 1 f (ξ ,τ ) 2 = ϕ (ξ )e 4 a t dξ + ∫ ∫ e 4 a ( t −τ ) dξdτ ∫−∞ 0 −∞ 2a πt 2a π (t − τ )
uk = Tk (t ) X k ( x )
u = u( x, t)
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u =
∑T
k
Xk
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∂u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l, t > 0 ∂x ∂t 例2 求下列定解问题 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, t > 0 u ( x,0) = ϕ ( x), 0≤ x≤l 令 解： u ( x, t ) = X ( x)T (t ) X ′′ + λX = 0 0 < x < l T 代入方程： ′X = a 2TX ′′ X (l) = 0 X (0) = 0, T′ X ′′ 由例1中的方法知 中的方法知， 由例 中的方法知，以上特征值问题 令 2 = = −λ 的特征值和特征函数分别为 aT X 2 X ′′ + λX = 0 nπ λn = β n2 = , n = 1,2,3,⋯ l T ′ + a 2 λT = 0 nπ u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 X n = Bn sin x l u (l , t ) = X (l )T (t ) = 0
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n=1
sin βn x
Cm = ∫ ϕ( x) sin βm xdx
0Hale Waihona Puke Baidu
l
sin2 βm xdx ∫
0
l
故原问题的形式级数解为
u = ∑ Cn e
n =1 ∞
2 − β n a 2t
sin β n x
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分 离 变 量 流 程 图
u |t=0 = ϕ ( x)
a2n2π 2 − 2 t l
un = Cne
−
a2n2π 2 l2
t
nπ sin x l
nπ sin x l
2 l nπ C n = ∫ ϕ ( x) sin xdx l 0 l
l
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∂u ∂ 2u 例3 求下列定解问题 = a 2 , 0 < x < l, t > 0 2 ∂t ∂u (0, t ) ∂x ∂u (l , t ) = 0, = 0, t > 0 ∂x ∂x 解：令 0≤ x≤l u ( x,0) = ϕ ( x), u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 2 X ′′ + λX = 0 0 < x < l ′X = a TX ′′ T X ′(0) = 0, X ′(l) = 0 T′ X ′′ = = −λ 2 λ < 0不是特征值 aT X λ = 0 X ′′ = 0 X = Ax + B X = B0 ′′ + λX = 0 X λ = β 2 > 0 X ′′ + β 2 X = 0 T ′ + a 2 λT = 0 X = A sin βx + B cos βx ∂u (0, t ) X ′(0) = Aβ = 0 X ′(l ) = − Bβ sin βl = 0 = X ′(0)T (t ) = 0 2 ∂x nπ nπ 2 βn = λn = β n = , n = 1,2,3,⋯ ∂u (l , t ) l = X ′(l )T (t ) = 0 l ∂x X ′(0) = 0, X ′(l ) = 0
由例4知 由例 知，以上特征值问题的 特征值和特征函数分别为 X n ( x) = Bn sin β n x λn = β n2 β n > 0, n = 1,2,3,⋯ 满足方程
于是得到一系列分离变量形式 的特解
T '+ λ a 2T = 0 T 'n + β n2 a 2Tn = 0 − β n 2 a 2t ′ Tn = Cn e
2
p
N −ax U ( x, p ) = e p k 1 erfc( ) ↔ e −k p p 2 t x x 1 −a p erfc( )↔ e p 2a t x u ( x, t ) = N ⋅ erfc( ) 2a t
p
U ( x, p) = Ae
a
x
+ Be
−
p
a
x
N A+ B = , A = 0 p
u t = a 2 u xx
u |x=0 = u |x=l = 0
X(0) = X(L) = 0
u = T (t) X ( x)
T' /(a2T) = X"/ X = −λ
T '+ a2 β 2T = 0
T = Aexp(−a β t)
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X "+β2X = 0
π X = sin βx, β = nl
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一维初边值问题
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第4章 热传导方程
X ′′ + λX = 0, 0 < x < l X ′(l) + hX (l) = 0 X (0) = 0,
tan βl = − β / h 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线 性方程的叠加原理， 性方程的叠加原理，设原问题的解为
第四章 热传导方程 4.1 一维初值问题
u ( x, t ) =
1 2a πt
1
1 2a πt
↔e
e
−
x2
4 a 2t
x2 − 2 2a
e
x2 − 2 4a t
− a 2ω 2 t
1 e 2π σ
↔e
−
ω 2a 2
2
x
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∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), − ∞ < x < +∞, t > 0 例2 解定解问题 ∂t ∂x u ( x,0) = ϕ ( x), − ∞ < x < +∞ 解：对x求傅氏变换 dU (ω , t ) = −a 2ω 2U (ω , t ) + F (ω , t ), t > 0 dt U (ω ,0) = Φ (ω ), pU (ω , p) − Φ (ω ) = − a 2ω 2U (ω , p) + F (ω , p) 对t求拉氏变换 F (ω , p ) + Φ (ω ) U (ω , p ) = 1 at p + a 2ω 2 e ↔ − a 2ω 2t − a 2ω 2t p−a U (ω , t ) = Φ(ω )e + F (ω , t ) ⊗ e 1 t − a 2ω 2t − a 2ω 2t − a 2ω 2 ( t −τ ) e ↔ = Φ(ω )e + ∫ F (ω ,τ )e dτ p + a 2ω 2 0
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− a 2ω 2t
U (ω , t ) = Φ(ω )e
+ F (ω , t ) ⊗ e
t 0
− a 2ω 2t
= Φ (ω )e
− x
2
− a 2ω 2t
+ ∫ F (ω ,τ )e
− a 2ω 2 ( t −τ )
dτ
− x2 4 a 2t − a 2ω 2t
X (0) = 0, X (l ) = 0
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T ′ + a 2 λT = 0 a 2 n 2π 2 Tn′ + Tn = 0 2 l
这些特解满足方程和齐次边界条件， 这些特解满足方程和齐次边界条件， 但不满足初始条件。 但不满足初始条件。由线性方程的叠 加原理， 加原理，设原问题的解为
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∂u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l , t > 0, ∂t 4.2.1 无热源 ∂x 有限长杆上初 ∂u(l , t ) + hu(l , t ) = 0, t > 0 u(0, t ) = 0, 边值问题的分 ∂x 0≤ x≤l u( x,0) = ϕ ( x) 离变量法 u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 解： u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 令 ∂u (l , t ) 代入方程： XT ' = a 2 X ′′T + hu (l , t ) ∂x X ′′ 1 T ' = 2 = −λ = X ′(l )T (t ) + hX (l )T (t ) X a T = [X ′(l ) + hX (l )]T (t ) = 0 X ′′ + λX = 0 T '+ λa2T = 0 X (0) = 0, X ′(l ) + hX (l ) = 0
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第4章 热传导方程
∂u ∂ 2u X ′′ + λX = 0 0 < x < l 2 , 0 < x < l, t > 0 =a 2 ∂t X ′(0) = 0, X ′(l) = 0 ∂u (0, t ) ∂x ∂u (l , t ) 2 = 0, = 0, t > 0 nπ λn = , n = 0,1,2,⋯ ∂x ∂x l u ( x,0) = ϕ ( x), 0≤ x≤l nπ X n = Bn cos x l 2 T ′ + a λT = 0 λ = 0 T0′ = 0 T0 = A0 u0 = X 0T0 = B0 A0 = C0 a 2 n 2π 2 2 2 2 − t a n π l2 λ > 0 Tn′ + Tn = 0 Tn = An e 2 l 于是得到一系列分离变量形式的特解