切线切平面
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法线方程为
x x0 y y0 F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 )
过曲线Г外的一点 M 0的直线为Г的切线当且仅当
(X,Y) 0,
[XF1( x0, y0 ) YF2( x0, y0 )] 2 ( X ,Y )F( x0, y0 ) 0.
因而切线上的点(x,y)满足
表示一个平面，即过点M0 S的所有切线上的点 构成一个平面.
定义 6.2 二次曲面S上一点处的所有切线上 点构成的平面S的切平面，此点称为切点.
（2）Fi (x0, y0, z0 ) 0 (i 1, 2,3)
此时 XF1(x0, y0, z0 ) YF2 (x0, y0, z0 ) ZF3(x0, y0, z0 ) 0，
它是关于(x x0),( y y0),(z z0)的二次齐次方程， 即表示以M0为顶点的二次锥面，成为S的切锥.
定义
6.3
若过M 0
S的直线l与M
处的切平面垂直，
0
则称直线l为S在M 0处的法线.
由此定义得法线方程 x x0 y y0 z z0 .
F1(x0, y0, z0 ) F2 (x0, y0, z0 ) F3(x0, y0, z0 )
(
x0
,
y0
,
z0
)
0.
l在S上当且仅当
(X,Y,Z) 0,
XF1 ( x0
,
y0Байду номын сангаас
,
z0
)
YF2
( x0
,
y0 ,
z0
)
ZF3 (
x0 ,
y0 ,
z0
)
0.
故经过M0 S的直线l是S的切线当且仅当
XF1(x0 , y0 , z0 ) YF2 (x0 , y0 , z0 ) ZF3(x0, y0, z0 ) 0
它对任何方向都满足，故过点M
的任何一条直线
0
都是S的切线.
定义 6.3 若过点M0 S的每一条直线都是S 的切线，则称点M 0是S的奇异点，S的非奇异点， 称为S的正常点.
命题 6.1 （1）正常点处有唯一的切平面，方程为
(x x0 )F1(x0, y0, z0 ) ( y y0 )F2 (x0, y0, z0 ) (z z0 )F3(x0, y0, z0 ) 0.
对二次曲线Г而言，切线、法线、正常点、奇异点
同样地定义。过正常点 M0( x0 , y0 ) ∈Г，方向为X∶Y的 直线为Г的切线当且仅当
XF1( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 ) 0.
由此得切线方程为
( x x0 )F1( x0 , y0 ) ( y y0 )F2( x0 , y0 ) 0.
§4.6 切线、切平面
定义 6.1 如果直线l与二次曲面S有两个重合 的交点或l在S上，则称l为S的切线，交点为切点。
设直线l过点M 0 (x0, y0, z0 ) S，方向为X:Y:Z, 则有两个重合的交点当且仅当
(X,Y,Z) 0,
XF1 ( x0
,
y0
,
z0
)
YF2
(
x0
,
y0
,
z0
)
ZF3
[x x0 F1( x0, y0 ) y y0 F2( x0 , y0 )] 2 ( x x0, y y0 )F ( x0, y0 ) 0.
上式的左端是 x x0 , y y0 的二次齐次多项式或零多 项式。若为前者，当它可以分解为两个实系数一次因式 的乘积时，便得到过 M 0的两条直线，如果这两条直线 的方向为非渐近方向，则它们是过M 0 的Г的切线；如果 这两条直线的方向是渐近方向，则过 M 0 的Г的切线不 存在。当它在实数范围内不能分解时，则过 M 0没有Г的 实切线；若为后者，则过 M 0 的任意直线均为Г的切线。
( X ,Y , Z )F (x0, y0, z0 ) 0.
对切线l上的任意点(x, y, z)都有
(x x0 ) : ( y y0 ) : (z z0 ) X :Y : Z. 将其代入上式中得
[(x x0 )F1(x0, y0, z0 ) ( y y0 )F2 (x0, y0, z0 ) (z z0 )F3(x0, y0, z0 )] 2 (x x0, y y0, z z0 )F (x0, y0, z0 ) 0 .
（1）Fi (x0, y0, z0) (i 1,2,3)不全为零
由直线l的方程有X:Y:Z=(x x0 ) : ( y y0 ) : (z z0)， 代入到上式有
(x x0 )F1(x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )F2 (x0, y0, z0 ) (z z0 )F3 (x0 , y0 , z0 ) 0
（2）M0为奇异点当且仅当Fi (x0, y0, z0 ) 0,i 1, 2,3
如果M0 S，则过M0的切线l不可能在S上，故过 M 0的直线l为S的切线当且仅当
(X,Y,Z) 0,
[ XF1(x0, y0, z0 ) YF2 (x0, y0, z0 ) ZF3(x0, y0, z0 )]2
x x0 y y0 F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 )
过曲线Г外的一点 M 0的直线为Г的切线当且仅当
(X,Y) 0,
[XF1( x0, y0 ) YF2( x0, y0 )] 2 ( X ,Y )F( x0, y0 ) 0.
因而切线上的点(x,y)满足
表示一个平面，即过点M0 S的所有切线上的点 构成一个平面.
定义 6.2 二次曲面S上一点处的所有切线上 点构成的平面S的切平面，此点称为切点.
（2）Fi (x0, y0, z0 ) 0 (i 1, 2,3)
此时 XF1(x0, y0, z0 ) YF2 (x0, y0, z0 ) ZF3(x0, y0, z0 ) 0，
它是关于(x x0),( y y0),(z z0)的二次齐次方程， 即表示以M0为顶点的二次锥面，成为S的切锥.
定义
6.3
若过M 0
S的直线l与M
处的切平面垂直，
0
则称直线l为S在M 0处的法线.
由此定义得法线方程 x x0 y y0 z z0 .
F1(x0, y0, z0 ) F2 (x0, y0, z0 ) F3(x0, y0, z0 )
(
x0
,
y0
,
z0
)
0.
l在S上当且仅当
(X,Y,Z) 0,
XF1 ( x0
,
y0Байду номын сангаас
,
z0
)
YF2
( x0
,
y0 ,
z0
)
ZF3 (
x0 ,
y0 ,
z0
)
0.
故经过M0 S的直线l是S的切线当且仅当
XF1(x0 , y0 , z0 ) YF2 (x0 , y0 , z0 ) ZF3(x0, y0, z0 ) 0
它对任何方向都满足，故过点M
的任何一条直线
0
都是S的切线.
定义 6.3 若过点M0 S的每一条直线都是S 的切线，则称点M 0是S的奇异点，S的非奇异点， 称为S的正常点.
命题 6.1 （1）正常点处有唯一的切平面，方程为
(x x0 )F1(x0, y0, z0 ) ( y y0 )F2 (x0, y0, z0 ) (z z0 )F3(x0, y0, z0 ) 0.
对二次曲线Г而言，切线、法线、正常点、奇异点
同样地定义。过正常点 M0( x0 , y0 ) ∈Г，方向为X∶Y的 直线为Г的切线当且仅当
XF1( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 ) 0.
由此得切线方程为
( x x0 )F1( x0 , y0 ) ( y y0 )F2( x0 , y0 ) 0.
§4.6 切线、切平面
定义 6.1 如果直线l与二次曲面S有两个重合 的交点或l在S上，则称l为S的切线，交点为切点。
设直线l过点M 0 (x0, y0, z0 ) S，方向为X:Y:Z, 则有两个重合的交点当且仅当
(X,Y,Z) 0,
XF1 ( x0
,
y0
,
z0
)
YF2
(
x0
,
y0
,
z0
)
ZF3
[x x0 F1( x0, y0 ) y y0 F2( x0 , y0 )] 2 ( x x0, y y0 )F ( x0, y0 ) 0.
上式的左端是 x x0 , y y0 的二次齐次多项式或零多 项式。若为前者，当它可以分解为两个实系数一次因式 的乘积时，便得到过 M 0的两条直线，如果这两条直线 的方向为非渐近方向，则它们是过M 0 的Г的切线；如果 这两条直线的方向是渐近方向，则过 M 0 的Г的切线不 存在。当它在实数范围内不能分解时，则过 M 0没有Г的 实切线；若为后者，则过 M 0 的任意直线均为Г的切线。
( X ,Y , Z )F (x0, y0, z0 ) 0.
对切线l上的任意点(x, y, z)都有
(x x0 ) : ( y y0 ) : (z z0 ) X :Y : Z. 将其代入上式中得
[(x x0 )F1(x0, y0, z0 ) ( y y0 )F2 (x0, y0, z0 ) (z z0 )F3(x0, y0, z0 )] 2 (x x0, y y0, z z0 )F (x0, y0, z0 ) 0 .
（1）Fi (x0, y0, z0) (i 1,2,3)不全为零
由直线l的方程有X:Y:Z=(x x0 ) : ( y y0 ) : (z z0)， 代入到上式有
(x x0 )F1(x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )F2 (x0, y0, z0 ) (z z0 )F3 (x0 , y0 , z0 ) 0
（2）M0为奇异点当且仅当Fi (x0, y0, z0 ) 0,i 1, 2,3
如果M0 S，则过M0的切线l不可能在S上，故过 M 0的直线l为S的切线当且仅当
(X,Y,Z) 0,
[ XF1(x0, y0, z0 ) YF2 (x0, y0, z0 ) ZF3(x0, y0, z0 )]2