角平分线与垂直平分线练习题经典
线段的垂直平分线和角平分线重难点专练

专题02线段的垂直平分线和角平分线重难点专练(解析版)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.(2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中)如图,D 为BAC Ð的外角平分线上一点,过D 作DE AC ^于E ,DF AB ^交BA 的延长线于F ,且满足FDE BDC Ð=Ð,则下列结论:①CDE V ≌BDF V ;②CE AB AE =+;③BDC BAC Ð=Ð;④DAF CBD Ð=Ð.其中正确的结论有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ,再证明FDB EDC Ð=Ð,即可证明Rt △CDE 和Rt △BDF 全等;根据全等三角形对应边相等可得CE=BF ,利用“HL”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等,可得AE=AF ,然后求出CE=AB+AE ;∠FDE 与∠BAC 都与∠FAE 互补,可得∠FDE=∠BAC ,于是可证BDC BAC Ð=Ð;利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB ,由Rt △CDE ≌Rt △BDF 可得∠ABD=∠DCE ,BD=DC ,故∠DBC=∠DCB ,于是可证明∠DAF=∠CBD .【详解】解:∵AD 平分∠CAF ,DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,∴DE=DF ,DFB DEC Ð=Ð=90o∵FDE BDC Ð=Ð,∴FDB EDC Ð=Ð,在Rt △CDE 和Rt △BDF 中FDB CDE DFB DEC Ð=ÐìïÐ=Ðí,∴Rt △CDE ≌Rt △BDF ,故①正确;∴CE=BF ,在Rt △ADE 和Rt △ADF 中,,AD AD DE DF =ìí=î∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ,∴AE=AF ,∴CE=AB+AF=AB+AE ,故②正确;∵DFA DEA Ð=Ð=90o ,∴∠EDF+∠FAE=180o ,∵∠BAC+∠FAE=180o ,∴∠FDE=∠BAC ,∵∠FDE=∠BDC ,∴∠BDC =∠BAC ,故③正确;∵∠FAE 是△ABC 的外角,∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC +∠ACB ,∵Rt △CDE ≌Rt △BDF ,∴∠ABD=∠DCE ,BD=DC ,∴∠DBC=∠DCB ,∴2∠DAF=∠DCE +∠DBC +∠ACB=∠DBC +∠DCB=2∠DBC ,∴∠DAF=∠CBD ,故④正确;综上所述,正确的结论有①②③④共4个.故选:D .【点睛】要二次证明三角形全等.2.(2021·上海金山区·八年级期末)下列命题中,是假命题的是()A .两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ;B .每个命题都有逆命题;C .每个定理都有逆定理;D .在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.【答案】C【分析】根据全等三角形的判定,命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可.【详解】解:A .两条直角边对应相等的两个直角三角形,符合两三角形的判定定理“SAS”;故本选项是正确;B 、每个命题都有逆命题,所以B 选项正确;C 、每个定理不一定有逆定理,所以C 选项错误;D 、在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,正确.故选C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定,命题与定理以及角平分线的判定方法,熟练利用这些判定定理是解题关键.3.(2021·上海市康城学校八年级期末)下列命题的逆命题是真命题的是( ).A .若a b =,则a b=B .同位角相等,两直线平行C .对顶角相等D .若0a >,0ba >,则0a b +>【答案】B【分析】分别写出各选项中命题的逆命题,然后判断其真假即可.【详解】解:A 、逆命题为:若∣a ∣=∣b ∣,则a=b ,是假命题;B 、逆命题为:两直线平行,同位角相等,是真命题;故选:B.【点睛】本题考查了互逆命题的知识,会判断命题的真假,正确写出原命题的逆命题是解答的关键.4.(2021·上海八年级期末)下列命题中,是真命题的是()A.三角形的外角大于三角形的任何一个内角B.线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形C.三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等D.面积都相等的两个三角形一定全等【答案】C【分析】A、B、D均可举反例说明错误,C选项可构造图形证明.【详解】解:A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角,原命题是假命题,故该选项不符合题意;B.如果该点在线段上,那么不能构成等腰三角形,原命题是假命题,故该选项不符合题意;C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时,根据三线合一即可得出这两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等,当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时,如图所示,AD为△ABC的中线,BF⊥AD,CE⊥AD,∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD,∵BF⊥AD,CE⊥AD,∴∠BFD=∠CED=90°,∵∠ADB=∠EDC,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴BF=CE,综上,三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等,原命题是真命题,故该选项符合题意;D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形,某边相等且该边上的高相等,但它们不全等,原命题是假命题,故该选项不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查判断命题的真假,主要考查三角形外角的性质,等腰三角形的性质和判定,垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质.说明一个命题是假命题只需要举一个反例,判断一个命题是真命题需要证明它.5.(2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中)下列定理中,没有逆定理的是().A.两直线平行,同旁内角互补B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C.等腰三角形两个底角相等D.同角的余角相等【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.再分析逆命题是否为真命题.【详解】解:A、逆命题是:同旁内角互补,两直线平行,是真命题,故本选项不符合题意;B、逆命题是:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,是真命题,故本选项不符合题意;C、逆命题是:如果三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,是真命题,故本选项不符合题意;项符合题意.故选:D.【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识,如果一个定理的逆命题是假命题,那这个定理就没有逆定理.6.(2019·上海全国·八年级课时练习)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB 于E,ABCS V=15,DE=3,AB=6,则AC长是( )A.4B.5C.6D.7【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高,再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC,即可得解.【详解】解:作DF⊥AC于F,如图:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=3,∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴1163AC315 22´´+´´=,∴AC=4.故选:A.【点睛】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.7.(2020·上海闵行区·八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CH⊥AB,垂足E ,那么下列结论中一定正确的是( )A .DA=DEB .AC=EC C .AH =EHD .CD =ED【答案】D【分析】根据题意可以分析出A 、B 、C 三个选项要成立同时成立,所以D 选项一定正确,可以通过证明()ACD AED AAS @V V ,验证D 选项正确.【详解】解:可以分析出A 、B 、C 选项任何一个成立,那么都可以得到CH 是AE 的垂直平分线,那么就可以推出其他两个选项也都成立,但这是不可能的,所以A 、B 、C 都不一定正确,D 选项一定正确,证明如下:∵//DE BC ,∴AED ABC Ð=Ð,∵CH AB ^,∴90ABC BCH Ð+Ð=°,∵90ACB Ð=°,∴90ACD BCH Ð+Ð=°,∴ABC ACD AED Ð=Ð=Ð,∵AD 平分BAC Ð,∴CAD EAD Ð=Ð,在ACD △和AED V 中,CAD EAD ACD AED AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,∴()ACD AED AAS @V V ,∴CD ED =.本题考查全等三角形的性质和判定,垂直平分线的性质,解题的关键是掌握这些性质定理进行证明.8.(2019·上海市市西初级中学八年级期末)下列命题中,逆命题是真命题的是( )A .全等三角形的对应角相等;B .同旁内角互补,两直线平行;C .对顶角相等;D .如果0,0a b >>,那么0a b +>【答案】B【分析】先分别写出各命题的逆命题,再分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.【详解】解:A.全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题,所以A 选项不符合题意;B.同旁内角互补,两直线平行的逆命题为两直线平行,同旁内角互补是真命题,所以B 选项符合题意;C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题,所以C 选项不符合题意;D. 如果0,0a b >>,那么0a b +>的逆命题为如果0a b +>,那么0,0a b >>是假命题,所以D 选项不符合题意.故选:B .【点睛】本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.9.(2019·上海七年级期末)如图,下面是利用尺规作∠AOB 的角平分线OC 的作法,在用尺规作角平分线过程中,用到的三角形全等的判定方法是( )A .ASAB .SASC .SSSD .AAS如图,根据题意可得:OE=OD,EG=DG,OG=OG,进一步即可根据SSS判定△OEG≌△ODG,可得∠BOC=∠AOC,从而可得答案.【详解】解:如图,由作图可知:OE=OD,EG=DG,OG=OG,所以△OEG≌△ODG(SSS),所以∠BOC=∠AOC,即OC是∠AOB的平分线.所以用到的三角形全等的判定方法是SSS.故选:C.【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及全等三角形的判定与性质,属于基本题型,正确理解题意、熟练掌握基础知识是解题的关键.10.(2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习)如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上,那么,这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】A【分析】根据题意,画出图形,用线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质,三角形内角和定理解答.【详解】如图,CA、CB的中点分别为D、E,CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O,且点O落在AB边上,连接CO,∵OD 是AC 的垂直平分线,∴OC=OA ,∠A=∠ACO ,同理OC=OB ,∠B=∠BCO ,∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO=180°,∴∠ACO +∠BCO=12´180°=90°,∴∠C 是直角.故选:A .【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理.熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.11.(2020·上海市云岭实验中学八年级月考)如图,已知ABC V ,求作一点P ,使P 点到CAB Ð的两边的距离相等,且PA PB =.下列确定P 点的方法正确的是( )A .P 为CAB Ð,ABC Ð两角平分线的交点B .P 为CAB Ð的平分线与AB 的垂直平分线的交点C .P 为AC ,AB 两边上的高的交点D .P 为AC ,AB 两边的垂直平分线的交点【答案】B【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答.【详解】∵P 点到CAB Ð的两边的距离相等,∴P 在CAB Ð的平分线上.∵PA PB =,∴P 在AB 的垂直平分线上.即P 为CAB Ð的平分线与AB 的垂直平分线的交点.故选:B .【点睛】线及线段垂直平分线的性质是解答此题的关键.12.(2019·上海全国·八年级课时练习)如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点.【答案】C【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等,所以根据角平分线上的点到边的距离相等,可知是△ABC三条角平分线的交点.由此即可确定凉亭位置.【详解】解:∵凉亭到草坪三条边的距离相等,∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.故选:C.【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用.主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等.13.(2020·上海虹口区·九年级二模)已知在ABC中,小明按照下列作图步骤进行尺规作图(示意图与作图步骤如表),那么交点O是△ABC的()示意图作图步骤(1)分别以点B、C为圆心,大于12BC长为半径作圆弧,两弧分别交于点M、N,联结MN 交BC于点D;(2)分别以点A、C为圆心,大于12AC长为半径作圆弧,两弧分别交于点P、Q,联结PQ 交AC于点E;(3)联结AD、BE,相交于点OA .外心B .内切圆的圆心C .重心D .中心【答案】C【分析】根据尺规作图得到AD 、BE 是△ABC 的中线,根据重心的概念判断即可.【详解】解:由尺规作图可知,MN 、PQ 分别是线段BC 、AC 的垂直平分线,∴点D 、E 分别是BC 、AC 的中点,∴AD 、BE 是△ABC 的中线,∴点O 是△ABC 的重心,故选:C .【点睛】本题考查的是中线的尺规作图及三角形重心的概念:三角形的重心是三角形三条中线的交点,掌握三角形重心的概念是解题的关键.14.(【新东方】初中数学1234初二上)如图在ABC V 中,ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点G ,过点G 作//EF BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点G 作GD AC ^于D ,下列四个结论:其中正确的结论有( )个.①EF BE CF =+;②90BGC A Ð=°+Ð;③点G 到ABC V 各边的距离相等;④设GD m =,AE AF n +=,则AEF S mn =△;⑤AEF V 的周长等于+AB AC 的和.A .1B .2C .3D .4【答案】C【分析】①根据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G 可得出∠EBG =∠CBG ,∠BCG =∠FCG ,再由EF ∥BC 可知∠CBG =∠EGB ,∠BCG =∠CGF ,故可得出BE =EG ,GF =CF ,由此可得出结论;②先根据角平分线的性质得出∠GBC +∠GCB =12(∠ABC +∠ACB ),再由三角形内角和定理即可得出结论;③根据三角形角平分线的性质即可得出结论;④连接AG ,由三角形的面积公式即可得出结论;⑤根据BE=EG,GF=CF,进行等量代换可得结论.【详解】解:①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,∴∠EBG=∠CBG,∠BCG=∠FCG.∵EF∥BC,∴∠CBG=∠EGB,∠BCG=∠CGF,∴∠EBG=∠EGB,∠FCG=∠CGF,∴BE=EG,GF=CF,∴EF=EG+GF=BE+CF,故①正确;②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,∴∠GBC+∠GCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A),∴∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A,故②错误;③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,∴点G也在∠BAC的平分线上,∴点G到△ABC各边的距离相等,故③正确;④连接AG,作GM⊥AB于M,如图所示:∵点G是△ABC的角平分线的交点,GD=m,AE+AF=n,∴GD=GM=m,∴S△AEF=12AE•GM+12AF•GD=12(AE+AF)•GD=12nm,故④错误.⑤∵BE=EG,GF=CF,∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC,即△AEF的周长等于AB+AC的和,故⑤正确,故选:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识;熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键.15.(【新东方】初中数学1222初二上)如图,在ABC V 中,45,ABC AD BEÐ=°,分别为,BC AC 边上的高,,AD BE 相交于点F ,连接CF ,则下列结论:①BF AC =;②FCD DAC Ð=Ð;③CF AB ^;④若2BF EC =,则FDC △周长等于AB 的长.其中正确的有( )A .①②B .①③④C .①③D .②③④【答案】B【分析】证明△BDF ≌△ADC ,可判断①;求出∠FCD =45°,∠DAC <45°,延长CF 交AB 于H ,证明∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°,可判断③;根据①可以得到E 是AC 的中点,然后可以推出EF 是AC 的垂直平分线,最后由线段垂直平分线的性质可判断④.【详解】解:∵△ABC 中,AD ,BE 分别为B C 、AC 边上的高,∠ABC =45°,∴AD =BD ,∠DAC 和∠FBD 都是∠ACD 的余角,而∠ADB =∠ADC =90°,∴△BDF ≌△ADC (ASA ),∴BF =AC ,FD =CD ,故①正确,∵∠FDC =90°,∴∠DFC =∠FCD =45°,∵∠DAC =∠DBF <∠ABC=45°,∴∠FCD ≠∠DAC ,故②错误;延长CF 交AB 于H ,∵∠ABC =45°,∠FCD =45°,∴∠AHC =∠ABC +∠FCD =90°,∴CH⊥AB,即CF⊥AB,故③正确;∵BF=2EC,BF=AC,∴AC=2EC,∴AE=EC=12 AC,∵BE⊥AC,∴BE垂直平分AC,∴AF=CF,BA=BC,∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB,即△FDC的周长等于AB,故④正确,综上:①③④正确,故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,也考查了线段的垂直平分线的性质与判定,也利用了三角形的周长公式解题,综合性比较强,对学生的能力要求比较高.<二、解答题16.(2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中)如图,在ABCV中,2ACB BÐ=Ð,BACÐ平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过H作直线l AO^于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M.=;(1)当直线l经过点C时(如图2),求证:BN CD(2)当M是线段BC的中点时,写出线段CE和线段CD之间的数量关系,并证明;(3)请直接写出BN、CE和CD之间的数量关系.【答案】(1)见解析;(2)CD=2CE,证明见解析;(3)当点M在线段BC上时,CD=BN+CE;当点M在BC的延长线上时,CD=BN-CE;当点M在CB的延长线上时,CD=CE-BN.【分析】(1)连接ND,先由已知条件证明DN=DC,再证明BN=DN即可;(2)当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为CD=2CE,过点C作CN'⊥AO交AB于N'.过点C作CG∥AB交直线l于G,再证明△BNM≌△CGM问题得证;(3)BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论:①当点M在线段BC上时;②当点M在BC的延长线上时;③当点M在CB的延长线上时;由(2)即可得出结论.【详解】(1)证明:连接ND,如图2所示:∵AO平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵直线l⊥AO于H,∴∠AHN=∠AHE=90°,∴∠ANH=∠AEH ,∴AN=AC ,∴NH=CH ,∴AH 是线段NC 的中垂线,∴DN=DC ,∴∠DNH=∠DCH ,∴∠AND=∠ACB ,∵∠AND=∠B+∠BDN ,∠ACB=2∠B ,∴∠B=∠BDN ,∴BN=DN ,∴BN=DC ;(2)解:当M 是BC 中点时,CE 和CD 之间的数量关系为CD=2CE ,理由如下:过点C 作CN'⊥AO 交AB 于N',过点C 作CG ∥AB 交直线l 于点G ,如图3所示:由(1)得:BN'=CD ,AN'=AC ,AN=AE ,∴∠ANE=∠AEN ,NN'=CE ,∵CG ∥AB ,∴∠ANE=∠CGE ,∠B=∠BCG ,∴∠CGE=∠AEN ,∴CG=CE ,∵M 是BC 中点,∴BM=CM ,在△BNM 和△CGM 中,B BCG BM CM NMB GMC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△BNM ≌△CGM (ASA ),∴BN=CG,∴CD=BN'=NN'+BN=2CE;(3)解:BN、CE、CD之间的等量关系:当点M在线段BC上时,CD=BN+CE;理由如下:过点C作CN'⊥AO交AB于N',如图3所示:由(2)得:NN'=CE,CD=BN'=BN+CE;当点M在BC的延长线上时,CD=BN-CE;理由如下:过点C作CN'⊥AO交AB于N',如图4所示:同(2)得:NN'=CE,CD=BN'=BN-CE;当点M在CB的延长线上时,CD=CE-BN;理由如下:过点C作CN'⊥AO交AB于N',如图5所示:同(2)得:NN'=CE,CD=BN'=CE-BN.【点睛】本题是三角形综合题目,考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识;熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解17.(2020·上海同济大学附属实验中学)如图,△ABC 中,AB =AC ,∠BAC +∠BDC=180°.(1)求证:AD 为∠BDC 的平分线;(2)若∠DAE=12∠BAC ,且点E 在BD 上,直接写出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系_______.【答案】(1)见解析;(2)DE= B E+DC.【分析】(1)过A 作AG ⊥BD 于G ,AF ⊥DC 于F ,先证明∠BAG=∠CAF ,然后证明△BAG ≌△CAF得到AG=AF ,最后由角平分线的判定定理即可得到结论;(2)过A 作∠CAH=∠BAE ,证明△EAD ≌△HAD ,得到AE=AH ,再证明△EAB ≌△HAC 中,即可得出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系.【详解】证明:(1)如图1,过A 作AG ⊥BD 于G ,AF ⊥DC 于F ,∵AG ⊥BD ,AF ⊥DC ,∴∠AGD=∠F=90°,∴∠GAF+∠BDC=180°,∵∠BAC+∠BDC=180°,∴∠GAF=∠BAC ,∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC ,∴∠BAG=∠CAF ,在△BAG 和△CAF 中90AGB F BAG CAFAB AC ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=îo∴△BAG ≌△CAF (AAS ),∴AG=AF ,∴∠BDA=∠CDA ,(2)BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC ,理由如下:如图2,过A 作∠CAH=∠BAE 交DC 的延长线于H ,∵∠DAE=12∠BAC ,∴∠DAE=∠BAE+∠CAD ,∵∠CAH=∠BAE ,∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH ,在△EAD 和△HAD 中EAD HAD AD ADADE ADH Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî,∴△EAD ≌△HAD (ASA ),∴DE=DH ,AE=AH ,在△EAB 和△HAC 中AB AC BAE CAH AE AH =ìïÐ=Ðíï=î,∴△EAB ≌△HAC (SAS ),∴BE=CH ,∴DE=DH=DC+CH=DC+BE ,∴DE=DC+BE.故答案是:DE=DC+BE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,角平分线的判定定理,线段和差的证明,掌握截长法和补短法是解答此题的突破口.18.(2019·上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中)如图,A、B两村在一条小河的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水(1)若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置?(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省,厂址应选在哪个位置?请用尺规作图,将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图(1)(2)中标出,并保留作图痕迹.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)作出AB的垂直平分线与河岸交于点P,则点P满足到AB的距离相等.(2)作出点A关于河岸的对称点C,连接CB,交于河岸于点P,连接AP,则点P能满足AP+PB最小.【详解】(1)根据垂直平分线的性质:垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知,作出AB的垂直平分线与河岸交于点P,则点P满足到AB的距离相等.(2)作出点A关于河岸的对称点C,连接CB,交于河岸于点P,连接AP,则点P能满足AP+PB最小,理由:AP=PC,三角形的任意两边之和大于第三边,当点P在CB的连线上时,CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质,轴对称的性质和距离之和最短问题,熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键.19.(2019·上海外国语大学附属大境初级中学八年级月考)如图,在△ABC中,如果BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且他们相交于点P,设∠A=n°.(1)求∠BPC的度数(用含n的代数式表示),写出推理过程.(2)当∠BPC=125°时,∠A= .(3)当n=60°时,EB=7,BC=12,DC的长为.【答案】(1)∠BPC=90°+12n,推理过程见解析;(2)70°;(3)5.【分析】(1)根据角平分线的性质得∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,再根据三角形内角和定理求得∠A=-180°+2∠BPC,即可求证∠BPC=90°+12 n;(2)根据(1)可知∠BPC=90°+12n,把∠BPC=125°代入原式求出n即为∠A的度数;(3)当n=60°时,即可求出∠BPC=120°,作辅助线在CB上截取CG=CD,可证出△CPG≌△PCD(SAS),即可得出∠DPO=∠GPC,PD=PG,再可证出△BEP≌△BGP,即可得出BE=BG,即可求出DC.【详解】解:(1)∵DB 、CE 分别为∠ABC ,∠ACB 的平分线,∴∠ABC=2∠PBC ,∠ACB=2∠PCB.∵∠A=180°-(∠ABC+∠ACB),∴∠A=180°-2(∠PBC+∠PCB),∴∠A=180°-2(180°-∠BPC),∴∠A=-180°+2∠BPC ,∴2∠BPC=180°+∠A ,∴∠BPC=90°+ 12∠A,∴∠BPC=90°+12n (2)由(1)知∠BPC=90°+12∠A ∴当∠BPC=125°时,∠A =2×(125°-90°)= 70°;(3)在CB 上截取CG=CD ,连接GP ,Q CE 平分BCA Ð∴∠GCP=∠PCD ,在△PCD 和△PCG 中,CD CG GCP PCD PC PC ìïÐÐíïî===∴△PCD ≌△CGP (SAS ),∴∠GPC=∠CPD ,PG=PD ,由∠BPG+∠GPC=120°,又∵∠BPG+2∠GPC=180°,解得:∠BPG=∠GPC=∠FPC=60°在△BEP 和△BGP 中,EBP GBP BP BPBPE BPG ÐÐìï=íïÐÐî== ∴△BEP ≌△BGP (ASA ),∴BE=BG ,∴CG=BC-BG=BC-BE=12-7=5∴CD=CG=5.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义以及三角形全等的判定与性质,难度较大.20.(2021·上海浦东新区·七年级期末)如图,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为点E ,F ,DB =DC .(1)求证:BE =CF ;(2)如果BD//AC ,∠DAF =15°,求证:AB =2DF .【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)证明DE DF =,90E DFC Ð=Ð=°;进而证明 Rt BDE Rt DFC D @D ,即可解决问题;(2)根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可.【详解】证明:(1)AD Q 平分BAC Ð,DE AB ^, DF AC ^,DE DF \=,90BED DFC Ð=Ð=°;在Rt BDE D 和Rt DFC D 中,BD CD DE DF =ìí=î,Rt BDE Rt DFC(HL)\D @D,BE CF \=;(2)AD Q 平分BAC Ð,15DAF Ð=°,30BAC \Ð=°,BAD DAF Ð=Ð,//BD AC Q ,30DBE BAC \Ð=Ð=°,DAF BDA Ð=Ð,BAD BDA \Ð=Ð,AB BD \=,在Rt BDE D 中,30DBE Ð=°,2BD DE \=,2AB DE \=,AD Q 平分BAC Ð,DE AB ^, DF AC ^,DE DF \=,2AB DF \=.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点,熟悉相关性质是解题的关键.21.(2021·上海金山区·八年级期末)已知:如图,ABC D 中,,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线,,BD CE 相交于点O ,联结OA DE ,.求证:(1)OB OC =;(2)OA 垂直平分DE .【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)利用三角形的全等,得到一对对应角,后利用等角对等边证明即可;(2)逆用线段垂直平分线的判定证明即可.【详解】(1)∵,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线,∴BE=CD ,∠EBC=∠DCB ,∵BC=CB ,∴△EBC ≌△DCB ,∴∠ECB=∠DBC ,∴OB=OC ;(2)设AO 与DE 的交点为F ,∵△EBC ≌△DCB ,∴EC=DB ,∵OB=OC ;∴OD=OE ,∴点O 在线段DE 的垂直平分线上,∵AE=AD ,∴点A 在线段DE 的垂直平分线上,∴直线AO 是线段DE 的垂直平分线,∴OA 垂直平分DE .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的全等,中线的定义,垂直平分线的判定和性质,同一个三角形中,等角对等边,熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键.22.(2019·上海七年级单元测试)如图,直线AB 、CD 交于点O ,∠AOM =90°(1)如图1,若OC 平分∠AOM ,求∠AOD 的度数;(2)如图2,若∠BOC =4∠NOB ,且OM 平分∠NOC ,求∠MON 的度数【答案】(1)135°;(2)54°【分析】(1)根据角平分线的定义求出∠AOC =45°,然后根据邻补角的定义求解即可;(2)设∠NOB =x °,∠BOC =4x °,根据角平分线的定义表示出∠COM =∠MON =12∠CON ,再根据∠BOM 列出方程求解x ,然后求解即可.【详解】解(1)∵∠AOM =90°,OC 平分∠AOM ,∴∠AOC =12∠AOM =12×90°=45°,∵∠AOC +∠AOD =180°,∴∠AOD =180°-∠AOC =180°-45°=135°,即∠AOD 的度数为135°;(2)∵∠BOC =4∠NOB∴设∠NOB =x °,∠BOC =4x °,∴∠CON =∠COB -∠BON =4x °-x °=3x °,∵OM 平分∠CON ,∴∠COM =∠MON =12∠CON =32x °,∵∠BOM =32x +x =90°,∴x =36°,∴∠MON =32x °=32×36°=54°,即∠MON 的度数为54°.【点睛】本题考查了对顶角、邻补角,角平分线的定义,此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键,(2)难点在于根据∠BOM 列出方程.23.(2021·上海八年级期末)作图:已知ABC V 和线段r ,请在ABC V 内部作点P ,使得点P 到AC 和BC 的距离相等,并且点A 到点P 的距离等于定长r .(不写作法,保留痕迹)【答案】图见解析.【分析】根据题意点P 到AC 和BC 的距离相等,可知点P 在ACB Ð的角平分线上,点A 到点P 的距离等于定长r ,可知点P 在以点A 为圆心,以定长r 为半径的圆上,由此作图即可.【详解】如图,先作ACB Ð的角平分线,再以点A 为圆心,以定长r 为半径作圆弧,圆弧与ACB Ð角平分线的交点即为点P .【点睛】本题主要考查角平分线的画法,属于基础题,需要有一定的画图能力,熟练掌握角平分线的画法是解题的关键.24.(2020·上海市松江区民办茸一中学八年级月考)已知:如图,在△EBC 中,作∠EBA =∠C ,AB 交EC 于点A ,作BD 平分∠ABC 交AC 于点B ,F 是BD 上一点,联结EF ,点G 是EF 上一点,且有GB =GD .求证:EF ⊥BD .【答案】证明见解析.【分析】先利用三角形外角的性质和角平分线的定义得出EBD EDB Ð=Ð,从而得出BE DE =,再根据GB =GD 可得E 、G 在BD 的垂直平分线上,从而可得结论.证明:∵BD 平分∠ABC ,∴ABD DBC Ð=Ð,∵EBA C Ð=Ð,∵,EBD ABD EDB D EB C BC A Ð+=ÐÐ=Ð+ÐÐ,∴EBD EDB Ð=Ð,∴BE DE =,∵GB =GD ,∴E 、G 在BD 的垂直平分线上,即EF ⊥BD .【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定,三角形外角的性质,等角对等边.理解到线段两端距离相等的点到线段的垂直平分线上是解题关键.25.(2019·上海同济大学实验学校八年级月考)已知点P 是ABC V 的BAC Ð平分线上一点,连接PB ,PC .(1)如图1,若AB AC =,证明:PB PC=(2)如图2,若PB PA =,45ABC Ð=°,2Ð=ÐPBC PAC ,证明:BP BC =(3)如图,若AB BC AC ==,点E 是AC 的中点,当PC PE +的最小时PE CP 值为______.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)12【分析】(1)要求证PB PC =,根据全等三角形的判定证明≌BAP CAP △△即可;(2)根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质可得出3ABC ABP Ð=Ð,可得:30CBP Ð=°,要证BP BC =,继续做辅助线求证三角形全等,即可求解;(3)根据AB BC AC ==可知ABC V 是等边三角形,由题意PC PE +的最小时,即BE 为直线时,根据正三角形重心的性质求解.(1)证明:∵AP 平分BAC Ð∴BAP CAP Ð=Ð∴在BAP △和CAP V 中AB AC BAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î∴≌BAP CAP △△(SAS )∴PB PC=(2)令2Ð=PBC α,PAC a Ð=∵45ABC Ð=°∴452Ð=-ABP α°∵AP BP=∴452Ð=Ð=-ABP BAP α°∵AP 平分BAC Ð∴BAP PAC Ð=Ð即452-=αα°15a =°∴15Ð=Ð==ÐBAP PAC ABP °,30CBP Ð=°在75=Rt KPB △°作PK AC ^于G连BG∵有等腰ABP△∴PK ^平分AB∴AG BG =,Ð=ÐBAC APG∵30Ð==Ð+ÐBAC ABP GBP °∴15Ð=GBP °∴在Rt AKG △中,60Ð=AGK °Rt KGB △中,60Ð=KGB °∴60BGC Ð=°∴BG 平分ÐKGC作BQ AC ^延长线于Q ,∴=BK BQ∴在Rt CBQ V 中,30Ð==Ð+ÐGBC GBC CBQ°∵15Ð=GBC °∴15Ð=CBQ °在Rt QBC V 中75Ð=BCQ °∴在BKP △和QBC V 中KPB BCQ KBP CBQBK BQ Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴≌BKP QBC△△∴BP BC=成立得证.(3)∵AB BC AC ==,∴ABC V 是等边三角形,∵AP 是BAC Ð的平分线,∴延长AP 交BC 于点D ,则AD 是BC 垂直平分线,∴PB CP =,∴PC PE +最小即为PB PE +最小,∴BE 为一条线段时PB PE +最小,∵BE 、AD 是BAC V 的中线交于点P ,∴P 为BAC V 的重心,。
圆形角平分线与垂直平分线练习题(经典)

圆形角平分线与垂直平分线练习题(经典)题目一在一个半径为 $r$ 的圆内,作一条角平分线,连接圆心和角平分线的交点,记为 $A$。
请证明:线段 $AO$ 垂直于角所对的弧。
题目二在一个半径为 $r$ 的圆内,作一条垂直平分线,连接圆心和垂直平分线的交点,记为 $B$。
设角 $BOC$ 为 $\alpha$ 度,请求弧$BC$ 所对的角大小。
题目三在一个半径为 $r$ 的圆内,作一条垂直平分线,连接圆心和垂直平分线的交点,记为 $D$。
设垂直平分线与弧 $AB$ 的交点分别为 $E$ 和 $F$。
请证明:角 $DEF$ 为直角。
题目四在一个半径为 $r$ 的圆内,作一条垂直平分线,连接圆心和垂直平分线的交点,记为 $G$。
设角 $DGH$ 为 $\beta$ 度,角$GHJ$ 为 $\gamma$ 度,求证:$\beta$ 度和 $\gamma$ 度的和等于$90$ 度。
解答题目一首先,考虑将圆分成 $4$ 个相等的扇形,由于扇形的圆心角相等,每个扇形的圆心角为 $90$ 度。
现在我们将扇形 $AOB$ 的边$OA$ 延长,交于圆上的点 $C$,如下图所示:A/// C/B根据圆心角的性质,可以知道圆心角 $ACB$ 等于扇形角$AOB$,即 $ACB=90$ 度。
又因为 $\angle OAC$ 是角 $OAB$ 的角平分线,所以 $\angle OAC = \angle CAB = \angle CBA = \frac{1}{2} ACB = 45$ 度。
现在我们要证明 $AO$ 垂直于弧 $AB$。
设 $AD$ 是半径 $r$,由于角 $OAD$ 是 $45$ 度,根据直角三角形的性质,我们可以得到:\[\sin 45^\circ = \frac{AD}{AO}\]而正弦 $45$ 度是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$,所以我们得到 $AD =\frac{AO}{\sqrt{2}}$。
垂直平分线与角平分线典型题
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垂直平分线与角平分线典型题----d542b8a4-6ead-11ec-9974-7cb59b590d7d线段的垂直平分线与角平分线1.如图1所示△ ABC,BC=8cm,AB的垂直平分线在点D处与AB相交,相交边AC在点E处。
如果△ BCE等于18cm,AC的长度等于()a.6cmb。
8厘米2.如图3,在△abc中,∠c=90,ad平分∠bac,de⊥ab于e,则下列结论:①ad平分∠cde;②∠bac=∠bde;③de平分∠adb;④be+ac=ab。
其中正确的有3.已知1)如图所示,ab=AC=14cm,ab的垂直平分线在点D处与ab相交,在点E处与AC相交。
如果△ EBC是24厘米,然后是BC=2)如图,ab=ac=14cm,ab的垂直平分线交ab于点d,交ac于点e,如果bc=8cm,那么△ebc的周长是3)如图所示,ab=AC,ab的垂直平分线在点D处与ab相交,在点E处与AC相交。
如果∠ 那么a=28度∠ EBC是b4.在△ ABC,ab=AC,由ab的垂直平分线与边缘AC所在的直线相交形成的锐角为50°,以及底角的大小∠ B的△ ABC是。
5.已知线段ab外两点p、q,且pa=pb,qa=qb,则直线pq与线段ab的关系是_________.6.∠aob的平分线上一点m,m到oa的距离为1.5cm,则m到ob的距离为_________.7.如图所示,在△ 美国广播公司,∠ C=90°,ad是角平分线,de⊥ AB在E中,de=3厘米,BD=5厘米,然后BC=1厘米。
8.如图所示△ 美国广播公司,∠ ACB=90°,被平分∠ 美国广播公司⊥ D中的AB,如果AC=3cm,那么AE+de等于()ceec?c.10cmd.12cm阿德卡问题4ba问题5db一10.在△abc中,ab=ac,ab的垂直平分线与ac所在直线相交所得的锐角为40°,则底角b的大小为________________。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案

3.线段的垂直平分线4.角平分线例1:(1)在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线交AB 于N ,交BC 的延长线于M ,∠A =040,求∠NMB 的大小(2)如果将(1)中∠A 的度数改为070,其余条件不变,再求∠NMB 的大小(3)你发现有什么样的规律性?试证明之.(4)将(1)中的∠A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2:在△ABC 中,AB 的中垂线DE 交AC 于F ,垂足为D ,若AC=6,BC=4,求△BCF 的周长。
ECFA D B例3:如图所示,AC=AD ,BC=BD ,AB 与CD 相交于点E 。
求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
AC DEBA B C NM AB C N M AB CN M例4:如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=1200,D 、F 分别为AB 、AC 的中点,DE AB FG AC ⊥⊥,,E 、G 在BC 上,BC=15cm ,求EG 的长度。
AD FB E G C例5::如图所示,Rt △ABC 中,,D 是AB 上一点,BD=BC ,过D 作AB 的垂线交AC 于点E ,CD 交BE 于点F 。
求证:BE 垂直平分CD 。
CEA DB F例6::在⊿ABC 中,点O 是AC 边上一动点,过点O 作直线M N ∥BC ,与 ∠ACB 的角平分线交于点E ,与∠ACB 的外角平分线交于点F ,求证:OE=OF例7、如图所示,AB>AC ,∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ,自D 作DE AB ⊥于E ,DF AC F ⊥于,求证:BE=CF 。
AEB M CFD21 AO F E CB M N答案如下:例1:解:(1)∵∠B= 1/2(180°-∠A)=70°,∴∠M=20°;(2)同理得,∠M=35°;(3)规律是:∠M的大小为∠A大小的一半,即:AB的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A的一半.证明:设∠A=α,则有∠B= 1/2(180°-α),∠M=90°- 1/2(180°-α)= 1/2α.(4)改为钝角后规律成立.上述规律为:等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半.例2:解:连接BF,由线段的垂直平分线的性质可得,FB=FA又因为AC=AF+CF =6,所以BF+CF=6△BCF的周长=BC+CF+BF=4+6=10例3:证明:因为AC=AD所以A在线段CD的垂直平分线上又因为BC=BD所以B在线段CD的垂直平分线上所以直线AB是线段CD的垂直平分线例4:解:作AH⊥BC于H,HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理,BE=5∴EG=5例5:证明:∵DE⊥AB,∠ACB=90∴∠BDE=∠ACB=90∵BD=BC,BE=BE∴△BCE≌△BDE (HL)∴∠CBE=∠DBE∵BF=BF∴△BCF≌△BDF (SAS)∴∠BFC=∠BFD,CF=DF∵∠BFC+∠BFD=180∴∠BFC=∠BFD=90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6:解:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,又已知CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF═∠GCF,∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.例7:证明:连接DC,DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注,我们将会做得更好】。
垂直平分线和角平分线典型题
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知识要点详解1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示:如图1,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ,且AD =BD ,若点C 在直线m 上,则AC =BC.定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示:如图2,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ,且AD =BD ,若AC =BC ,则点C 在直线m 上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示:如图3,若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线,则直线,,i j k 相交于一点O ,且OA =OB =OC.定理的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,则该三角形是锐角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上,则该三角形是直角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题:例1 如图1,在△ABC 中,BC =8cm ,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 的周长等于18cm ,则AC 的长等于( )A .6cmB .8cmC .10cmD .12cm课堂笔记:针对性练习::1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点 E ,如果△EBC 的周长是24cm ,那么BC= 2) 如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,如果BC=8cm ,那么△EBC 的周长是3) 如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,如果∠A=28 度,那么∠EBC 是例2. 已知: AB=AC ,DB=DC ,E 是AD 上一点,求证:BE=CE 。
垂直平分线与角平分线典型题
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线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示:如图1,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ,且AD =BD ,若点C 在直线m 上,则AC =BC.定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示:如图2,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ,且AD =BD ,若AC =BC ,则点C 在直线m 上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示:如图3,若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线,则直线,,i j k 相交于一点O ,且OA =OB =OC.定理的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,则该三角形是锐角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上,则该三角形是直角三角形;三角形三边垂直平分线的图1图2交点在三角形外部,则该三角形是钝角三角形.经典例题:例1如图1,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于()A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm针对性练习::1)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果△EBC的周长是24cm,那么BC=2) 如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,那么△EBC的周长是3)如图,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果∠A=28度,那么∠EBC是例2. 已知:AB=AC,DB=DC,E是AD上一点,求证:BE=CE。
角平分线与垂直平分线期末专项训练题
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角平分线与垂直平分线期末专项训练题一、选择题(共23小题)1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB.若BC=8,AB=10,则点D到AB 的距离是()A.3B.4C.5D.62.为促进旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,如图所示,若要使度假村到三条公路的距离相等,则这个度假村应修建在()A.△ABC三条高线的交点处B.△ABC三条中线的交点处C.△ABC三条角平分线的交点处D.△ABC三边垂直平分线的交点处3.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线.则下列结论错误的是()A.BF=CF B.∠BAF=∠CAFC.∠B+∠BAD=90°D.S△ABC=2S△ABF4.如图,用一把长方形直尺的一边压住射线OB,再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA,两把直尺的另一边交于点P,则射线OP就是∠AOB角平分线的依据是()A.等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等D.在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上5.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O,AB=6cm,BC=9cm,△ABO的面积为18cm2,则△BOC的面积为()cm2.D.108 A.27B.54C.2726.如图,AP平分∠CAB,PD⊥AC于点D,若PD=6,点E是边AB上一动点,关于线段PE叙述正确的是()A.PE=6B.PE>6C.PE≤6D.PE≥67.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点P且与AB垂直.若AD =8,BC=10,则△BCP的面积为()A.16B.20C.40D.808.三条公路围成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在()A.三角形的三条角平分线的交点处B.三角形的三条中线的交点处C.三角形的三条高的交点处D.以上位置都不对9.如图,点P是∠BAC平分线AD上的一点,AC=9,AB=5,PB=3,则PC的长不可能是()A.4B.5C.6D.710.如图,在直角三角形ABC中,AD为斜边上的高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是()A.BF=CF B.∠C=∠BADC.∠BAE=∠CAE D.S△ABE=S△ACF11.如图,△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB:S△OBC:S△OAC的值为()A.4:3:2B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:512.如图:已知∠ABC=∠ACB=50°,BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC,其中点D、C、E在同一条直线上,以下结论:错误的是()A.∠DCP=65°B.∠BDC=40°C.∠DBE=85°D.∠E=50°13.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是30cm2,AB=13cm,AC=7cm,则DE的长()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm14.如图,在△ABC中,AB=3BC,BD平分∠ABC交AC于点D,若△ABD的面积为S1,△BCD的面积为S2,则关于S1与S2之间的数量关系,下列说法正确的是()A.S1=4S2B.S1=3S2C.S1=2S2D.S1=S215.某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场,如图,要使这个砂石场到三条公路的距离相等,则可供选择的地址()A.仅有一处B.有四处C.有七处D.有无数处16.如图,已知△ABC的周长是36cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,OD⊥BC于点D,若OD=3cm,则△ABC的面积是()A.48cm2B.54cm2C.60cm2D.66cm217.如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D,过点D作DE∥BC交AB于E,交AC于G,若EG=2,且GC=6,则BE长为()A .8B .7C .10D .918.如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,△ABC 的面积是20cm 2,AB =15cm ,AC =5cm ,则DF 的长为( )A .10cmB .5cmC .4cmD .2cm19.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点O 作OD ⊥AC 于D .下列四个结论:①∠BOC =90°+12∠A ,②∠EBO =12∠AEF ,③∠DOC +∠OCB =90°,④设OD =m ,AE +AF =n ,则S △AEF =mn 2.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个20.如图,BD 平分∠ABC ,DE 垂直BC 于点E ,AB =6,DE =3,则△ABD 的面积为( )A .7B .8C .9D .1021.如图,BD 为∠ABC 的角平分线,DE ⊥BC 于点E ,DE =6,∠A =30°,则AD 的长为( )A .6B .8C .12D .1622.如图,OP 平分∠AOB ,点E 为OA 上一点,OE =4,点P 到OB 的距离是2,则△POE 的面积为( )A .4B .5C .6D .723.如图,AB ∥CD ,BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ,AD 过点P ,且与AB 垂直,若BP =5,CP =12,则AD 的长为( )A.12B.13C.6013D.12013二、填空题(共11小题)24.下列语句表示的图形是(只填序号)①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点:.②以直线AB上一点O为顶点,在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD:.③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点:.25.定义:利用的直尺和作图,简称为尺规作图.26.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,若△ABC的面积为28,AB=8,BC=6,则DE的长为.27.如图,已知△ABC的周长是13,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且△ABC的面积为13,则OD长为.28.如图,在△ABC中,BD是边AC上的高,CE平分∠ACB,交BD于点E,且EF⊥BC,垂足为点F,DE=4,则EF的值为.29.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,BE是AC边的中线,CF是∠ACB的角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,①△ABE的面积=△BCE的面积;②∠F AG=∠FCB;③AF=AG;④BH=CH.以上说法正确的是.30.如图,已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中点,只需添加,就可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线.31.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,AC=4,则△ADC的面积为.32.如图,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,过点D作DE⊥BC 于点E.已知DE=1,△ABC的周长为14,则△ABC的面积为.33.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=15cm,AB=17cm,∠CAB与∠CBA 的角平分线相交于点O,过点O作OD⊥AB,垂足为点D,则线段OD的长为cm.34.如图,在△ABC中,S△ABC=21,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,点E为AD的中点.连接BE,点F为BE上一点,且BF=2EF.若S△DEF=2,则AB:AC=.三、解答题(共13小题)35.如图,在直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,已知点D的坐标是(0,﹣4),AB的长是12,求△ABD的面积.36.如图,△ABC中,三个内角的角平分线交于点O,OH⊥BC垂足为H.(1)求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数;(2)求证:∠BOD=∠COH.37.如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E是边AC上一点,且满足∠ADE=∠B,AE =3,AD=5,求AB的长.38.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AB=12,BC=8.(1)求△CBD与△ABD的面积之比;(2)若△ABC的面积为50,求DE的长.39.如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“倍分线”.(1)如图1,若∠AOB=60°,射线OC绕点O从OB位置开始,以每秒15°的速度逆时针旋转t秒,且0≤t≤12.①当t=2秒时,OC∠AOB的“倍分线”;(填“是”或“不是”)②若射线OA是∠BOC的“倍分线”,求t的值;(2)如图2,射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α,同时射线BG绕点B从BA 的位置开始顺时针旋转β,且0<β<α<180°,两条射线相交于点C.CD、CE分别是△ABC的高和角平线,是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况?若存在,请求出α与β应满足的数量关系;若不存在,请说明理由.40.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,AE=AF,那么AD是∠BAC的平分线吗?请补充完成下列说明过程并在括号内填注依据.解:∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),∴∠4=90°,∠5=90°().∴∠4=∠5(等量代换).∴AD∥EG().∴∠1=∠E(),∠2=(两直线平行,内错角相等).又∵(已知),∴∠3=∠E().∴∠1=∠2().∴AD平分∠BAC().41.如图,在△ABC中,O为∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F.(1)OD与OE是否相等.请说明理由;(2)若△ABC的周长是30,且OF=3,求△ABC的面积.42.已知:如图,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,若CD=4,求△ABD 的面积.43.在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,M为直线AC上一动点,ME⊥BC,E为垂足,∠AME的平分线交直线AB于点F.(1)如图1,点M为边AC上一点,则BD、MF的位置关系是,并证明;(2)如图2,点M为边CA延长线上一点,则BD、MF的位置关系是,并证明;(3)如图3,点M为边AC延长线上一点,补全图形,并直接写出BD、MF的位置关系是.44.把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置,得到如图2的Rt △ABC和Rt△ABD,设M是AD与BC的交点,则这时MC的长度就等于点M到AB的距离,你知道这是为什么吗?请说明理由.45.阅读材料:学习了平行线后,小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,他是通过折一张半透明的纸得到的(如图中的①﹣④,虚线部分表示折痕).从图中可知,小明画平行线的依据有哪些?填一填.想法一:如图④,由图②中的折叠可知,PE⊥AB,由图③中的折叠可知,PE⊥CD,则AB∥CD,依据是.想法二:如图④,由图②中的折叠可知,∠1=90°,由图③中的折叠可知∠2=90°,则∠1=∠2,所以AB∥CD,依据是.解决问题:如图⑤,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠1.求证:AD平分∠BAC.46.如图,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,AB⊥BC于B,∠1+∠2=90°.求证:DC⊥BC.47.如图(1),三角形ABC中,BD是∠ABC的角平分线.(1)若∠A=80°,∠ABC=58°,则∠ADB=°.(2)若AB=6,设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2,已知S1S2=23,则BC的长为.(3)如图(2),∠ACE是△ABC的一个外角,CF平分∠ACE,BD的延长线与CF相交于点F,CG平分∠ACB,交BD于点H,连接AF,设∠BAC=α,求∠BHC与∠HFC的度数(用含α的式子表示).。
线段垂直平分线与角平分线练习题
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线段垂直平分线与角平分线练习题线段的垂直平分线和角的平分线是三角形中常见的概念。
下面是一些与此相关的选择题。
1.在三角形ABC中,AD平分∠CAE,∠B=30°,∠CAD=65°,则∠ACD等于()A。
50° B。
65° C。
80° D。
95°2.在三角形ABD中,AD=4,AB=3,AC平分∠BAD,则S△A。
3:4 B。
4:3 C。
16:19 D。
不能确定3.在三角形ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥XXX于E,则下列结论正确的有()A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
1个4.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AP平分∠DAB,PB平分∠ABC,点P恰好在CD上,则PD与PC的大小关系是()A。
PD>PC B。
PD<PC C。
PD=PC D。
无法判断除了选择题,还有以下问题:5.在三角形内部,有一点P到三角形三个顶点的距离相等,则点P一定是什么?6.已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上,则△ABC的形状是什么?7.在三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD于E,F在BC上,并且BF=AB,则下列四个结论正确的有()A。
①②③④ B。
①③ C。
②④ D。
②③④8.在直角三角形ABC中,AC=4㎝,AB=7㎝,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,则EB的长度是多少?A。
3㎝ B。
4㎝ C。
5㎝ D。
不能确定9.XXX的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有几个?A。
1 B。
2 C。
3 D。
410.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的什么?A。
三条中线的交点 B。
三条高的交点线段的垂直平分线和角的平分线是三角形中常见的概念。
以下是与此相关的选择题和问题。
1.在三角形ABC中,AD平分∠CAE,∠B=30°,∠CAD=65°,求∠ACD的度数。
垂直平分线与角平分线(习题及答案).
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垂直平分线与角平分线(习题)➢复习巩固1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点2.如图,在△ABC 中,AF 平分∠BAC,AC 的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C 的度数为.第2 题图第3 题图3.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点E,若S△ABC=6,AB=4,AC=3,则线段DE 的长为.4.如图,P 是∠AOB 平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD.求证:OP 是CD 的垂直平分线.5.如图,点P 为锐角∠ABC 内一点,点M 在边BA 上,点N 在边BC 上,且PM=PN,∠BMP+∠BNP=180°.求证:BP 平分∠ABC.16.如图,点D 在边AC 上,∠ABD+∠ABC =180°,CE 平分∠ACB 交AB 于点E,连接DE.求证:DE 平分∠ADB.7.如图,在△ABC 中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D;②作边AB 的垂直平分线EF,EF 与AM 相交于点P;③连接PB,PC.若∠ABC=70°,则∠BPC 的度数为.8.如图,已知△ABC(AC<BC),求作:(不写作法,保留作图痕迹)(1)BC 边上的高;(2)在BC 上确定一点P,使PA+PC=BC.9.如图,已知线段a,利用尺规求作以a 为底、以2a 为高的等腰三角形.(不写作法,保留作图痕迹)10.如图,有三幢公寓楼分别建在点A,点B,点C 处,AB,AC,BC 是连接三幢公寓楼的三条道路,要修建一超市P,按照设计要求,超市要在△ABC 的内部,且到A,C 的距离必须相等,到两条道路AC,AB 的距离也必须相等,请利用尺规作图确定超市P 的位置.(不写作法,保留作图痕迹)【参考答案】➢复习巩固1. D2. 24°3. 12 74.证明略;提示:先证Rt△POC≌Rt△POD(HL),得到OC=OD,由“到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”求证5.证明略;提示:过点P 分别作PD⊥AB 于D,PE⊥BC 于E,先证△PMD≌△PNE(AAS),得到PD=PE,再由“在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证6.证明略;提示:过点E 分别作EF⊥AC 于F,EH⊥BD 于H,EG⊥BC 于G,证EF=EG=EH,求证7. 80°8.作图略提示:(1)过直线外一点作已知直线的垂线;(2)作线段AB 的垂直平分线9.作图略10.作图略提示:作线段AC 的垂直平分线和∠CAB 的角平分线;。
角平分线与垂直平分线经典例题
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沪教版八年级第一学期角平分线角平分线性质定理:角平分线上点到这个角两边距离相等。
角平分线判定: 到一个叫两边距离相等点在这个角平分线上。
例1.如图,在ABC △中,90C ∠=,AD 平分CAB ∠,8cm 5cm BC BD ==,,那么D 点到直线AB 距离是 cm .例2.如图,已知在Rt △ABC 中,∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 及BD 之间有何数量关系,说明你理由; (2) 若AP 平分∠BAC ,交BD 于P , 求∠BPA 度数.3、考点深入练习例3:如图:在△ABC 中,BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上高,在BE 上截取BD=AC ,在CF 延长线上截取CG=AB ,连结AD 、AG 。
求证:(1)AD=AG ,(2)AD 及AG 位置关系如何。
BPABCD GHFE DCBA例4:两个大小不同等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(8分)(1)请找出图2中全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识字母);(2)证明:DC⊥BE图1 图2例5:△DAC,△EBC均是等边三角形,AE,BD分别及CD,CE交于点M,N.求证:(1)AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN为等边三角形(4)MN∥BCC B垂直平分线性质及判定强化练习1如图1,在△ABC 中,BC =8cm ,AB 垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 周长等于18cm ,则AC 长等于 ( ) A .6cm B .8cm C .10cm D .12cm2题2如图,在Rt ABC △中,90ACB D E ∠=,,分别为AC AB ,中点,连DE CE ,. 下列结论中不一定正确是 ( ) A .ED BC ∥ B .ED AC ⊥ C .ACE BCE ∠=∠D .AE CE =3、△ABC 中,∠C=90°,AB 中垂线交直线BC 于D ,若∠BAD -∠DAC=22.5°,则∠B 等于 ( )A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定 4、线段垂直平分线上点_____________________________________. 5、到一条线段两个端点距离相等点,______________________.6、如图,在△ABC 中,AC 垂直平分线交AC 于E ,交BC 于D ,△ABD 周长是12 cm ,AC=5cm ,则AB+BD+AD= cm ;AB+BD+DC= cm ;△ABC 周长是 cm 。
垂直平分线与角平分线典型题练习题
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线段的垂直平分线与角平分线〔1〕经典例题:例1 如图1,在△ABC 中,BC =8cm ,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 的周长等于18cm ,那么AC 的长等于〔 〕 A .6cm B .8cmC .10cmD .12cm针对性练习::1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点 E ,若是△EBC 的周长是24cm ,那么BC= 2) 如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,若是BC=8cm ,那么△EBC 的周长是3) 如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,若是∠A=28 度,那么∠EBC 是例2. : AB=AC ,DB=DC ,E 是AD 上一点,求证:BE=CE 。
针对性练习::在△ABC 中,ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证:点O 在BC 的垂直平分线.例3. 在△ABC 中,AB=AC ,AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°,△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。
针对性练习:1. 在△ABC 中,AB=AC ,AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°,那么底角B 的大小为________________。
例4、如图8,AD 是△ABC 的BC 边上的高,且∠C =2∠B ,求证:BD =AC +CD.O B A C NB课堂练习:1.如图,AC =AD ,BC =BD ,那么〔 〕 垂直平分AD 垂直平分CD 平分∠ACB2.若是三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部, 那么,那个三角形是〔 〕3.以下命题中正确的命题有〔 〕①线段垂直平分线上任一点到线段两头距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两头距离相等;③通过线段中点的直线只有一条;④点P 在线段AB 外且PA =PB ,过P 作直线MN ,那么MN 是线段AB 的垂直平分线;⑤过线段上任一点能够作这条线段的中垂线. 个 个 个 个4.△ABC 中,AB 的垂直平分线交AC 于D ,若是AC =5 cm ,BC =4cm ,那么△DBC 的周长是〔 〕 A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm5.如图,在△ABC 中,AB =AC ,O 是△ABC 内一点,且OB =OC ,求证:AO ⊥B C.6.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =120°,AB 的垂直平分线MN 别离交BC 、AB 于点M 、N . 求证:CM =2BM .课后作业:1. 如图7,在△ABC 中,AC =23,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交BC 于点E ,△ACE 的周长为50,求BC 边的长.2. :如以下图,∠ACB ,∠ADB 都是直角,且AC=AD ,P 是AB 上任意一点,求证:CP=DP 。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案#精选、
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3.线段的垂直平分线4.角平分线例1:(1)在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线交AB 于N ,交BC 的延长线于M ,∠A =040,求∠NMB 的大小(2)如果将(1)中∠A 的度数改为070,其余条件不变,再求∠NMB 的大小(3)你发现有什么样的规律性?试证明之.(4)将(1)中的∠A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2:在△ABC 中,AB 的中垂线DE 交AC 于F ,垂足为D ,若AC=6,BC=4,求△BCF 的周长。
例3:如图所示,AC=AD ,BC=BD ,AB 与CD 相交于点E 。
求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
AC DEBA B C NM AB C N M AB CN M例4:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,D、F分别为AB、AC的中点,,,E、G在BC上,BC=15cm,求EG的长度。
⊥⊥DE AB FG ACAB E G C例5::如图所示,Rt△ABC中,,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F。
求证:BE垂直平分CD。
CEFA D B例6::在⊿ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线M N∥BC,与F,求证:OE=OF例7、如图所示,AB>AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE AB⊥于,求证:BE=CF。
E,DF AC FAEB M CFD答案如下:例1:解:(1)∵∠B= 1/2(180°-∠A)=70°,∴∠M=20°;(2)同理得,∠M=35°;(3)规律是:∠M的大小为∠A大小的一半,即:AB的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A的一半.证明:设∠A=α,则有∠B= 1/2(180°-α),∠M=90°- 1/2(180°-α)= 1/2α.(4)改为钝角后规律成立.上述规律为:等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半.例2:解:连接BF,由线段的垂直平分线的性质可得,FB=FA又因为AC=AF+CF =6,所以BF+CF=6△BCF的周长=BC+CF+BF=4+6=10例3:证明:因为AC=AD所以A在线段CD的垂直平分线上又因为BC=BD所以B在线段CD的垂直平分线上所以直线AB是线段CD的垂直平分线例4:解:作AH⊥BC于H,HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理,BE=5∴EG=5例5:证明:∵DE⊥AB,∠ACB=90∴∠BDE=∠ACB=90∵BD=BC,BE=BE∴△BCE≌△BDE (HL)∴∠CBE=∠DBE∵BF=BF∴△BCF≌△BDF (SAS)∴∠BFC=∠BFD,CF=DF∵∠BFC+∠BFD=180∴∠BFC=∠BFD=90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6:解:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,又已知CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF═∠GCF,∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.例7:证明:连接DC,DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE最新文件仅供参考已改成word文本。
角平分线、垂直平分线(精典例题+跟踪训练+参考答案
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角平分线、垂直平分线精典例题+跟踪训练+参考答案知识考点:了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理,并能解决一些实际问题。
精典例题:【例题】如图,已知在△ABC 中,AB =AC ,∠B =300,AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ,交BC 于点F ,求证:CF =2BF 。
分析一:要证明CF =2BF ,由于BF 与CF 没有直接联系,联想题设中EF 是中垂线,根据其性质可连结AF ,则BF =AF 。
问题转化为证CF =2AF ,又∠B =∠C =300,这就等价于要证∠CAF =900,则根据含300角的直角三角形的性质可得CF =2AF =2BF 。
分析二:要证明CF =2BF ,联想∠B =300,EF 是AB 的中垂线,可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后,得到含300角的Rt △ABG ,且EF 是Rt △ABG 的中位线,因此BG =2BF =2AG ,再设法证明AG =GC ,即有BF =FG =GC 。
》例题图1F EC B A例题图2 G F ECB A分析三:由等腰三角形联想到“三线合一”的性质,作AD ⊥BC 于D ,则BD =CD ,考虑到∠B =300,不妨设EF =1,再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新:【问题】请阅读下面材料,并回答所提出的问题:三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图,△ABC 中,AD 是角平分线。
求证:AC ABDC BD =。
分析:要证ACABDC BD =,一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似,现在B 、D 、C 在同一条直线上,△ABD 与△ADC 不相似,需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中,AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项,所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ,从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ,这样,证明ACABDC BD =就可以转化为证AE =AC 。
垂直平分线与角平分线练习题
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垂直平分线与角平分线练习题一、垂直平分线1.三角形中,一条边的垂直平分线恰好经过三角形的另一个顶点,那么这个三角形一定是( ).A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形 2.如图,△ABC 中,∠BAC=100°,DE ,FG 分别为AB ,AC 的垂直平分线,•如果BC=16cm ,那么△AEG 的周长为_______,∠EAG=_______.3.如图,已知AE=CE ,BD ⊥AC 求证:BA+DA=BC+DC4. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC ,DE 垂直平分AB 。
(1)求∠B 的度数。
(2)若CD=3cm ,求AB 的长。
DEC BA5、如图,Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且要求其中一个三角形的等腰三角形。
(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)二、角平分线1、如图AD 、AE 分别是△ABC 中∠A 内角的平分线和外角平分线,则∠DAE= .(第2题)E CA D2.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 交AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .若S △ABC =7,DE =2,AB =4,则AC =( )A .4B .3C .6D .5 3.如图所示,在四边形ABCD 中,∠C=∠D=90°, 若∠DAB 的平分线AE 交CD•于E ,连接BE ,且BE 恰好平分∠ABC ,则下列结论中错误的是( )A .AE ⊥BEB .CE=DEC .AD+DE=BED .AB=AD+BC4.如图,(1)要在S 区建一集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,这个集贸市场应建于何处?(2)如图:若要在S 区建一个集贸市场,使它到两条公路和一条铁路的距离都相等,请问集贸市场应建于何处?S公路铁路铁路 S公路公路A BCFE。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
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线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案由于A、B都在CD的垂直平分线上,所以直线AB是CD的垂直平分线。
证毕。
例4:解:连接EF,由于AB=AC,所以∠BAC=60°,∴∠DEG=30°,∠GFC=60°,又因为DE⊥AB,FG⊥AC,所以DEGF是一个菱形,且DG=GF=7.5cm,所以EG=2DGsin30°=7.5cm。
例5:证明:因为BD=BC,所以∠XXX∠CBD,又因为BE⊥CD,CF⊥BD,所以∠BEC=∠BCF,所以BE平分∠XXX,CF平分∠CBD,又因为∠XXX∠CBD,所以BE和CF都平分∠BCD,即BE垂直平分CD。
证毕。
例6:证明:连接OF,OE,MN,∵MN∥BC,∴∠EOF=∠ACB,又∠XXX∠EOM+∠MOF,∠XXX∠EOM+∠EOF,∴∠MOF=∠ACB-∠EOF,又因为EF是AC的角平分线,∴∠XXX∠EAF,又因为EF是AC的外角平分线,∴∠XXX∠XXX,∴∠MOF=∠ACB-∠XXX,又因为OE⊥AC,OF⊥AC,所以OE=OF,证毕。
例7:证明:连接AD,因为AD是∠A的平分线,所以∠EAD=∠FAD,又因为BD=BC,所以∠XXX∠DCB,又因为AD⊥DE,所以∠EDB=90°-∠XXX,又因为DF⊥CF,所以∠XXX°-∠DCB,所以∠EDB=∠XXX,又因为∠EAD=∠FAD,所以三角形ADE与三角形ADF全等,所以DE=DF,又因为BE⊥DE,CF⊥DF,所以BE=DEsin∠EDB=DFsin∠FDC=CF,证毕。
例4:根据题意,作AH垂直BC于点H,可以得到HC 的长度为15/2.由于△ABC是等腰三角形,所以∠ACB=∠ABC=30°。
根据正弦定理,可以求得AC的长度为5√3.由于F是AC的中点,所以FC的长度为5/2√3.根据勾股定理,可以得到CG和BE的长度都为5.因此,EG的长度也为5.例5:由于DE垂直于AB,而∠ACB=90°,所以∠BDE=∠ACB=90°。
垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))
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垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线(1)(2)1.如图,中,,垂直平分,交于点,交于点,且.若,求的度数.若周长,,求长.【答案】(1)(2)..【解析】(1)(2)∵垂直平分,垂直平分,∴,∴,∵,∴,∴.∵周长,,∴,即,∴.【标注】【知识点】作三角形的高,中线和角平分线(1)(2)2.的两边和的垂直平分线分别交于点、.若,求的周长.若,求.【答案】(1)(2)..【解析】(1)(2)∵边、的垂直平分线分别交于、,∴,,∴的周长.∵的两边,的垂直平分线分别交于,,∴,,∴,.∵,①∴.∵,∴,即.②由①②组成的方程组.解得,故答案为:.【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中,,,的垂直平分线交于,的垂直平分线交于.求证:.【答案】证明见解析.【解析】连接、,∵,,∴,∵的垂直平分线交于,的垂直平分线交于,∴,,∴,,,∵,∴,∴是等边三角形,∴,∴.【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中,是的平分线,的垂直平分线交的延长线于.求证:.【答案】证明见解析.【解析】∵是的平分线,∴,∵是的垂直平分线,∴,,∵,,∴.【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中,是线段的垂直平分线,垂足为点,是上一点,.求证:点在线段的垂直平分线上.【答案】(1)证明见解析.【解析】(1)连接,是线段的垂直平分线,,,,在的垂直平分线上.【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图,四边形中,的垂直平分线与的垂直平分线交于点,且.求证:点一定在的垂直平分线上.【答案】证明见解析.【解析】连接、,∵点是、的垂直平分线的交点,∴,,又∵,∴,∴点一定在的垂直平分线上.【标注】【知识点】作线段的垂直平分线(1)(2)7.如图,已知等腰三角形中,,点、分别在边、上,且,连接、,交于点.判断与的数量关系,并说明理由.求证:过点、的直线垂直平分线段.【答案】(1)(2)相等,证明见解析.证明见解析.【解析】(1)(2).在和中,,∴≌,∴.∵,∴,由()可知,∴,∴,∵,∴点、均在线段的垂直平分线上,即直线垂直平分线段.【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图,平分,于,于,,.若,则.【答案】【解析】∵平分,,,∴,∵,,∴,即,解得.故答案为:.【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图,在中,,平分,,,则点到的距离为.【答案】【解析】∵,,∴.∵平分,,∴点到的距离等于,即点到的距离等于.【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图,的三边、、的长分别,,,是三条角平分线的交点,则( ).【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点,∴点到各边的距离相等,即、、的高相等,∵、、的长分别,,,∴,故答案为.【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图,三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在( ).在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到,距离相等,内角平分线上的点到,距离相等,∴要到三条公路距离相等,应在,内角平分线交点处满足到,,距离相等.故选.【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图,点是的两外角平分线的交点,下列结论:①;②点到、的距离相等;③点到的三边的距离相等;④点在的平分线上.以上结论正确的个数是().【答案】C【解析】如图,过点作于,作于,作于,∵点是的两外角平分线的交点,,,∴点在的平分线上,故②③④正确,只有点是的中点时,,故①错误,综上所述,正确的是②③④.【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型(1)(2)(3)(4)13.完成下列各题:如图 ,、分别是中和的平分线,则与的关系是 (直接写出结论).如图 ,、分别是两个外角和的平分线,则与的关系是 ,请证明你的结论.如图 ,、分别是一个内角和一个外角的平分线,则与的关系是 ,请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题:如图,已知:,点 、 分别是射线、上的动点,的外角的平分线与角的平分线相交于点,猜想的大小是否变化?请证明你的猜想.图图图图【答案】(1)(2)(3)(4). ..的大小没有变化,证明见解析.【解析】(1)理由如下:如图 ,∵ ,,分别是,的角平分线,∴ ,∴.(2)(3)(4)图如图 ,∵ 平分 ,∴ ,同理可证: ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 , 平分 ,∴ ,∵ 是 的外角,∴ ,∵ 是 的外角,∴ ,∴.根据⑶可得: ,∵ ,∴ ,∴ 的大小不会变化始终为 .【标注】【知识点】三角形-内角角分线;三角形-外角角分线;三角形-内外角角分线(1)(2)(3)14.回答下列问题.探索发现:如图,在中,点是内角和外角的角平分线的交点,试猜想与之间的数量关系,并证明你的猜想.图迁移拓展:如图,在中,点是内角和外角的等分线的交点,即,,试猜想与之间的数量关系,并证明你的猜想.图应用创新:已知,如图,、相交于点,、、的角平分线交于点,,,则 .图【答案】(1),证明见解析.(2)(3),证明见解析.【解析】(1)(2)(3)∵点是内角和外角的角平分线的交点,∴,,∵是的外角,∴,∴∴∵是的外角,∴,∴.∵是的外角,∴,∴,∵,,∴,∵是的外角,∴,∴.∵、、的角平分线交于点,∴由()的结论知,,,∴,故答案为:.【标注】【知识点】三角形-内外角角分线(1)15.阅读下面的材料,并解决问题:已知在中,.如图(1),、的角平分线交于点,则可求得.如图(2),、的三等分线交于点、,则 .如图(3),、的等分线交于点、、……,则.;(用含的代数式)(2)(3)图图图如图,,、的三等分线交于点、,若,,求的度数;(要求写出解答过程)如图,,的三等分线分别与的平分线交于点,,若,,求的度数为 (不要求写出解答过程).【答案】(1)(2)(3); ;.【解析】(1)(2)(3)是的外角,,、是的三等分线,,在中,,又是的平分线,,.只需抓住加.则等分,下面两个小角之和为,.【标注】【知识点】三角形-内角角分线。
正方形角平分线与垂直平分线练习题(经典)
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正方形角平分线与垂直平分线练习题(经
典)
1. 已知正方形ABCD的边长为a,求正方形角平分线和垂直平分线的交点O的坐标。
解析:正方形的对角线相互垂直且平分对方,因此交点O位于对角线的交点上。
对角线的长度为a√2,所以交点O的坐标为(Ox, Oy) = (a/2, a/2)。
2. 若正方形ABCD的边长为b,垂直平分线DE与角平分线CF 的交点为O,求角BOD的度数。
解析:角平分线刚好将角分为两个相等的部分,所以角BOD 的度数为90°/2 = 45°。
3. 设正方形ABCD的边长为c,垂直平分线和角平分线的交点为O,求角碱液ACO的度数。
解析:由于正方形的对角线相互平分对方,所以角ACO的度数为45°。
4. 若正方形ABCD的边长为d,垂直平分线DE与角平分线CF 的交点为O,求垂直平分线DE与边BC的交点E的坐标。
解析:垂直平分线DE将边BC分为两个相等的部分,所以交点E的坐标为(Ex, Ey) = (0, d/2)。
5. 设正方形ABCD的边长为e,垂直平分线DE与角平分线CF 的交点为O,求正方形的对角线BD的长度。
解析:根据勾股定理,对角线BD的长度等于边长e乘以根号2,即BD = e√2。
以上是关于正方形角平分线与垂直平分线的一些练题,希望对你有所帮助!。
角平分线与垂直平分线练习(较难题型)
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角平分线与垂直平分线练习(较难题型)1.如图1,点H在QR边上,PH所在的直线是△PQR的对称轴,且PQ≠QR。
设HM∥PR,交PQ于点M。
下列结论中正确的是:①HM=PM;②HM=QM;③M是PQ的中点;④HM平分∠PHQ;⑤HM⊥PQ。
答案:①、④、⑤。
2.如图2,在△ABC中,直线l为BC边的垂直平分线,直线l与∠XXX的角平分线相交于点P。
已知∠ACP=15°,∠BAC=100°。
求∠ABP的度数。
答案:∠ABP=35°。
3.如图3,在△ABC中,∠C=90°,AD为角平分线,BC=32cm,4.如图4,将△ABC绕顶点A旋转到△ADE的位置,BC 与DE相交于点F。
下列结论中正确的有:①BC=DE;③FA 平分∠CFD;④∠CAE=∠BAD;⑤∠CAE=∠BFD;⑥AC=CF。
答案:①、③、④。
5.(1) 如图,在△ABC中,ED垂直平分AB,交AC于点D,交AB于E,AC=5,BC=4.求△BCD的周长。
答案:△BCD的周长为12.2) 如图,在△ABC中,DE⊥BC,交AC于点E,垂足为D。
已知BC=10cm,△ABE的周长为15cm,△XXX的周长为25cm。
判断D是否是BC的中点。
答案:D不是BC的中点。
6.(1) 如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,∠BAC=120°。
AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点G,垂足分别为D,F。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案:∠EAG=30°,△AEG的周长为24.2) 如图,在△ABC中,BC=12,∠BAC=100°。
AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点G。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案:∠EAG=40°,△AEG的周长为24.3) 如图,在△ABC中,BC=12,∠BAC=70°。
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0角平分线
角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的判定: 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
例1.如图,在ABC △中,90C ∠=,AD 平分CAB ∠,8cm 5cm BC BD ==,,那么D 点
到直线AB 的距离是 cm .
例2.如图,已知在Rt △ABC 中,∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .
(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系,说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ,交BD 于P , 求∠BPA 的度数.
3、考点深入练习
例3:如图:在△ABC 中,BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高,在BE 上截取BD=AC ,在CF 的延长线上截取CG=AB ,连结AD 、AG 。
求证:(1)AD=AG ,(2)AD 与AG 的位置关系如何。
例4:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B ,C ,E 在同一条直线上,连结DC .(8分)
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母); (2)证明:DC ⊥BE
B
P
A
B
C
D G
H
F
E D
C
B
A
例5:△DAC, △EBC 均是等边三角形,AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N. 求证:(1)AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形(4)MN ∥BC
垂直平分线的性质与判定强化练习
1如图1,在△ABC 中,BC =8cm ,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 的周长等于18cm ,则AC 的长等于 ( ) A .6cm B .8cm C .10cm D .12cm
2题
2如图,在Rt ABC △中,90ACB D E ∠=,,分别为AC AB ,的中点,连DE CE ,. 下列结论中不一定正确的是 ( ) A .ED BC ∥ B .ED AC ⊥ C .ACE BCE ∠=∠
D .A
E CE =
3、△ABC 中,∠C=90°,AB 的中垂线交直线BC 于D ,若∠BAD -∠DAC=22.5°,则∠B 等于 ( ) A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定
4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________.
5、到一条线段的两个端点的距离相等的点,______________________.
6、如图,在△ABC 中,AC 的垂直平分线交AC 于E ,交BC 于D ,△ABD 的周长是12 cm ,AC=5cm ,则AB+BD+AD= cm ;AB+BD+DC= cm ;△ABC 的周长是 cm 。
3题 4题
7、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,DE 是AB 的中垂线,垂足为D ,交BC 于E ,BE=5,则AE=__________,∠AEC=__________,AC=__________ 。
D A C
B
N M
E
8在△ABC 中,∠C =90°,用直尺和圆规在AC 上作点P ,使P 到A 、B 的距离相等(保留作图痕迹,不写作法和证明).
9如图4,AB=AD ,BC=CD ,AC 、BD 相交于点E .由这些条件可以得出若干结论,请你写出其中三个正确结论(不要添加字母和辅助线,不要求证明).
10、如右图,在△ABC 中,AB=AC , BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E , AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。
(1) 求△AEN 的周长。
(2) 求∠EAN 的度数。
(3) 判断△AEN 的形状。
11、如图,已知线段CD 垂直平分线AB ,AB 平分CAD ∠问AD 与BC 平行吗?请说明理由。
12、如图,已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等,且到点M 和N 的距离相等。
A
B
C
D
E M
N
如图,在△ABC的AB、AC边的外侧作等边△ACE和等边△ABF,连接BE、CF相交于
点O,
(1)求证:CF=BE;
(2)连AO,则:①AO平分∠BAC;②OA平分∠EOF,你认为正确的是
②
(填①或②).并证明你的结论.
(1)证明:∵△ABF和△ACE是等边三角形,
∴AB=AF,AC=AE,∠FAB=∠EAC=60°,
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
即∠FAC=∠BAE,
在△ABE与△AFC中,
AB=AF ∠BAE=FAC AE=AC
∴△ABE≌△AFC(SAS)∴BE=FC;
(2)解:连AO,过A分别作AP⊥CF与P,AM⊥BE于Q,如图,
∵△ABE≌△AFC,
∴S△A B E=S△A F C,
∴
1
2
AP•CF=
1
2
AQ•BE,
而CF=BE,
∴AP=AQ,
∴OA不一定平分∠MAN,所以①错误;
∵在RT△AOP和RT△AOM中,
AP=AM
AO=AO
,
∴RT△AOP≌RT△AOM(HL)
∴∠AOF=∠AOE,所以②正确.
故答案为②.。