第5章 线性定常系统的综合(合肥工业大学 现代控制理论-王孝武)

（19）
而状态反馈矩阵
K KP k0
k1 kn1
5-2线性定常系统状态方程为
0 0 1 0 x 0 u x 0 0 1 0 2 3 1

引入状态反馈配置系统的极点为S1,2=-1±j,S3=-2试确定反馈矩阵。 解:设反馈矩阵K=[k0,k1,k2]
~ 4） 所求镇定系统的反馈阵 K K1 0 P2 P 1
例5-5 系统的状态方程为 试用状态反馈来镇定系统。
1 0 x 0 0 2 0 0 1 1u 0 x 5 0


解 矩阵A 为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为 -5，因此，系统可以镇定。
能控子系统方程为
1 0 1 xC AC xC bC u xC u 0 2 1
引入状态反馈
~ u V KxC
~ ~ ~ 其中 K k1 k2


2
为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为 s1,
2 Δ* ( s ) s 4s 8 K
例5-3 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下
uTG KTG 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG， 通过霍尔电流传感器测得电枢电流 i D ，即 ui Ki iD。已知折算到电 动机轴上的粘性摩擦系数 f 1 N m/(rad/s)、转动惯量 J D 1kg m2 ；电 动机电枢回路电阻RD 1Ω ；电枢回路电感 LD 0.1H ；电动势系数 、 iD 为 Ke 0.1V/(rad/s) 、电动机转矩系数为 Km 1 N m/A 。选择 o 、 作为状态变量。将系统极点配置到 1 j 3 和 10 ，求K 阵。


（24）
重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同
ˆ Ax ˆ Bu x ˆ Cx ˆ y
（25）
（24）式减去（25）式
x ˆ A( x x ˆ ) x ˆ C(x x ˆ ) y y
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
（9）
（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态 反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。
1 2 rankQ 1 2 n 0 1 2
则状态反馈系统不能观测，即引入状态反馈改变了能观测性。
5.4
极点配置
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条 件是：系统状态完全能控。 线性定常系统 状态反馈 状态反馈系统方程
Ax Bu x y Cx
1 s 2 k1
1 s 3 k2 0
s3 (3 k 2 )s2 (2 k1 )s k 0
希望的状态反馈系统特征多项式为
3
K* (s) (s si ) s3 4s 2 6s 4
i 1
得到k0=4, k1=4, k2=1。即K=[4 4 1]
uA K Auo
2. 计算状态反馈矩阵
QC b

Ab
0 10 0 A2b 0 10 110 10 100 990

rankQC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K0 K1 K2 4 1.2 0.1 状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 TF ）。 经过结构变换成（d）图所示的状态图
n * n 1 * * Δ* a1 s a0 K ( s ) ( s si ) s an 1s i 1 n
（18）
比较（17）式和（18）式，选择 k i 使同次幂系数相同。有
* K a0 a0

* * a1 a1 an 1 an1

解
1. 建立系统状态空间模型
uθ K (i o )
d iD uD K e LD RDiD uD K P uA dt d o d t JD f K miD TF dt d o 1 x x2 TF 为恒定的负载转矩 dt d f Km TF 2 x1 o x iD dt JD JD JD x x 2 Ke d iD RD 1 3 x iD uD x3 iD dt LD LD LD 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为 x1 1 0 1 0 x1 0 x 0 x y 1 0 0 x 2 0 1 1 x2 0 u D 1TF 2 3 x3 x 0 1 10 x3 10 0
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈 线性定常系统方程为：
Ax Bu x y Cx Du
u V Kx
（1）
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。 （2） 其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。
则有
Ax B(V Kx ) ( A BK ) x BV x y (C DK ) x DV
（10） （11） （12）
u V Kx
( A bK)x bV x y Cx
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配置系统的极点。
1 经过线性变换 x P x ，可以使系统具有能控标准形。
0 0 x 0 a0
βn-1s n 1 βn- 2 s n 2 β1s β0 ( s ) n n 1 s an-1s a1s a0 (s)
（14）
引入状态反馈 令
u V Kx V KP 1 x V Kx
K KP 1 k0
2 j 2
~ ~ ~ Δ K ( s ) det[sI ( A1 bC K )] 1 0 1 ~ ~ s 0 det k k 1 2 0 s 0 2 1 ~ ~ ~ ~ 2 s (k1 k 2 3) s 2 2k1 k 2

状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
（17）
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
（5）
两者比较：状态反馈效果较好；
输出反馈实现较方便。
5.3 状态反馈的能控性和能观测性
Ax Bu 线性定常系统方程为 x y Cx
引入状态反馈 则有
u V Kx
（6） （7） （8）
( A BK)x BV x y Cx
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有


同次幂系数相等，得
~ k1 13
~ k2 20
5.6 状态重构和状态观测器
问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。 如何解决这个问题？ 答案是：重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。 系统方程为
Ax Bu x y Cx x (t0 ) x (0)

k1 kn1


（15）
（16）
其中 k0 , k1 , , kn1 为待定常数
1 0 0 0 k k k A bK 0 1 n 1 0 1 0 a a a 1 n 1 1 0 0 1 0 0 1 ( a k ) ( a k ) ( a k ) 0 0 1 1 n 1 n 1
Ax bu x y Cx
（23）
如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状 态分量是渐近稳定的。 （证明请参见教材163页）
当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为 1） 将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵 P1 ~ 2）确定 P2 ，化 AC 为约当形式 AC ~ ~ 3） 利用状态反馈配置 A1 的特征值，计算 K1
5-1系统方程为
1 2 0 x x u 3 1 1 y 1 2x

可以验证系统能控、能观测。
现在引入状态反馈 ຫໍສະໝຸດ Baidu态反馈方程为

u V 3 1x
1 2 0 x x u 0 0 1 y 1 2x
rankQc=2,系统能控。
1 0 0 a1
0 0 1 0 x u 0 0 1 1 an 1 0
y β0
β1 βn1 x
（13）
系统传递函数：g ( s ) C [ sI A]1 b C [ sI A ]1 b

（3）
5.2.2 采用
输出反馈
u V Hy
（4）
H 为 r m常数矩阵
Ax B(V Hy) [ A BH ( I DH )1 C ] x [ B BH ( I DH )1 D]V x y ( I DH )1Cx ( I DH )1 DV
第5 章
本章内容为: 1. 引言
线性定常系统的综合
2. 状态反馈和输出反馈 3. 状态反馈系统的能控性和能观测性 4. 极点配置 5. 镇定问题 6. 状态重构和状态观测器 7. 降阶观测器 8. 带状态观测器的状态反馈系统 9. 渐近跟踪和干扰抑制问题 10. 解耦问题
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
1 ，其他参数的选择应该满足： 因为位置主反馈 K0 0.1 4 1 . 2 K K KA KP 4 K1 2 KP K0 KP
验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极 点位置。
5.5
镇定问题
镇定问题—— 非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定 显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。 那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理5-2。 定理5-2 SISO线性定常系统方程为
0 0 0 1 0k k A bK 0 0 1 1 0 0 2 3 1 1 0 0 0 0 1 k 0 2 k1 3 k 2
k2
s K (s) det[sI (A bK )] 0 k 0