第5章 线性定常系统的综合(合肥工业大学 现代控制理论-王孝武)
第2章 线性控制系统的运动分析(合肥工业大学 现代控制理论-王孝武)
（3）
将（3）式代入（2）式
b1 2b2t 3b3t kbk t
2
k 1
a(b0 b1t b2t bk t )
2 k
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0 1 1 2 b2 ab1 a b0 2 2! 1 1 k bk abk 1 a b0 k k!
（13）
a0 (t ) I a1 (t ) A a2 (t ) A2 an1 (t ) An1
i 0， 1 ， , (n 1)为待定系数。 ai (t ) 的计算方法为： 其中， ai (t )，
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
（12）
An1 A An an1 An a2 A3 a1 A2 - a0 A
将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出： 都是 An1 、An2 、 、A 、I 的线性组合 A n 、 An 1 、 A n 2 、
(t ) e
At
1 2 2 1 k k 1 At A t A t 2! k!
0 1 x1 1 x x 2 3 x2 2
0 x(0) 1
求齐次状态方程的解。
自动控制理论Ⅰ教学大纲精品资料
《自动控制理论》系列课程教学大纲（适用于03版教学计划）电气与自动化工程学院《自动控制理论》课程组2004．4《自动控制理论Ⅰ》教学大纲学时：72/8 学分：5教学大纲说明一、课程的目的与任务自动控制理论是具有一般方法论特点的技术基础课程。
目的在于使学生掌握自动控制理论的基本原理和方法，并具备对自动控制系统进行分析、计算、实验和设计的初步能力，为专业课的学习和参加控制工程实践打好必要的理论基础。
二、课程的基本要求掌握建立电气系统、机械系统数学模型的方法，掌握线性定常系统分析和设计方法，对应用理论解决工程实际问题有所了解。
三、与其他课程的联系和分工本课程的前继课程为：《电路》、《模拟电子技术》、《电机与拖动》、《积分变换》等。
本课程的后续课程为《直流调速系统》，《交流调速系统》、《过程控制系统与仪表》、《自动控制理论2》、《控制系统仿真》等。
五、本课程的性质及适应对象自动化、电气工程及其自动化教学大纲内容第一章引论1、自动控制的基本原理与方式2、自动控制系统示例3、自动控制系统的组成、分类、常用术语及定义。
4、对自动控制系统的基本要求5、自动控制理论的发展状况及本课程任务。
教学提示:掌握自动控制的基本概念，自动控制系统的组成，常用的控制方式，了解自动控制理论的发展。
第二章线性系统的数学模型1、线性系统的时域数学描述。
2、非线性数学模型的线性化。
3、线性系统的复域数学描述-传递函数。
4、典型环节的数学模型。
5、方框图及其等效变换。
6、信号流图的基本概念，梅逊公式。
7、系统的开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数等概念。
教学提示:掌握线性系统数学模型的建立方法，传递函数的定义、性质及其与微分方程之间的关系，方框图、信号流图的等效变换，梅逊公式。
掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数等概念。
第三章控制系统的时域分析1、典型输入信号。
2、系统时域性能指标。
3、典型一、二阶系统的时域分析。
4、改善二阶系统性能指标的措施。
第4章 控制系统稳定性(合肥工业大学 现代控制理论-王孝武)
（4）
x(t ) xe ≤ε （对所有 t ≥t0）
成立，则称 xe 0 为Lyapunov意义下是稳定的。
（6）
4.2.2 渐近稳定
Lyapunov意 义下稳定
如果系统的平衡状态 xe 0 是稳定的。 从平衡状态的某个充分小的领域内出发 的状态轨线 x (t ) ，当 t 时，收敛于
当 x ，有V ( x ) ，故系统 xe 0是一致大范围渐进稳定的。
f ( x) 定理4-3 设系统状态方程为 x
在平衡状态xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导
数，并且满足：
V ( x ) 为正定； 1）
( x ) 为半负定； V 2）
V ( x ) 0；仅当 定义 如果标量函数 V ( x )≤0，并且当 x 0 时，
V ( x ) 0 ；则称 V ( x ) 为负定的。除了 x 0 以外，还有 x 0 时， 状态使 V ( x ) 0，称 V ( x )为半负定的。
f ( x) x 定理4-1 设系统状态方程为 （7） V ( x )具有连续一阶偏导数， 在平衡状态 xe 0 的某邻域内，标量函数 并且满足：
1 kx2 x 例4-4 系统的状态方程为 2 x1 x
其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。
解
系统的平衡状态为 xe 0 2 选取Lyapunov函数： V ( x) x12 kx2
显然它是正定的，即满足 而
V ( x ) 0 V ( x ) 0 x0 x0
x0 x0
将状态方程代入上式，化简后得
( x) ( x 2 x2 ) V 1 2
现代控制理论课程说明
现代控制理论课程说明一、课程基本情况二、课程描述《现代控制理论》是自动化专业的一门重要的专业基础课，同时也是专业的主干课程，其任务让学生掌握分析与综合自动控制系统的另一种基础理论与方法。
本课程为自动控制理论中的现代控制理论部分，其主要内容有：系统状态空间表达式的建立；状态方程的求解；系统的能控性和能观性；李雅普诺夫判别稳定性方法的原理及用其分析线性系统的稳定性；控制系统的综合，包括极点配置及状态观测器等。
主要内容：1．状态空间描述的概念2. 线性控制系统的运动分析3. 控制系统的能控性与能观测性4. 控制系统的稳定性5. 线性定常系统的综合三、使用教材及主要参考书或资料使用教材：《现代控制理论基础》（第二版）王孝武主编，机械工业出版社，2007年2月出版，普通高等教育“十一五”国家规划教材，普通高等教育电气工程与自动化类“十一五”规划教材。
可作为自动化、电气工程及其自动化、计算机应用、电子信息工程、测控技术与仪器等专业的本科教材，也可供这些领域的工程技术人员参考。
内容包括：线性控制系统的状态空间描述，能够对线性系统的几种模型进行互相转化；掌握线性控制系统的运动规律及连续系统的离散化；熟悉线性控制系统的能控性与能观测性概念及其判定准则；了解控制系统的李亚普诺夫稳定性理论；掌握线性控制系统的状态反馈与状态观测器的设计方法。
主要参考书或资料1．《现代控制理论》刘豹主编，机械工业出版社2.《现代控制理论》王宏华主编，电子工业出版社3.《线性系统理论》郑大钟主编，清华大学出版社四、考核方式考勤、作业、实验.................... 30%期末考试........................... 70%注意事项：1. 学生听课课时必须超过本门计划课时三分之二以上同时完成该课程的作业和实验才能取得期末考试资格。
2. 最终成绩以60分为最低及格线。
第5章-线性定常系统的综合2
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
现代控制理论 王孝武
建立方程：
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uC
(t
)
u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态
变量
9
1.1.2 状态空间表达式
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
本章内容为：
1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换 6、组合系统的数学描述 7、利用MATLAB进行模型之间的变换
7
1.1 状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。 这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
（一）待定系数法 首先考察三阶系统，其微分方程为
y a2 y a1 y a0 y b3u b2u b1u b0u
选择状态变量： x1 y 0u x2 y 0u 1u x1 1u x3 y 0u 1u 2u x2 2u
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 2 b0 a00 a11 a22
) 2
( sin
)
线性化：当 和 较小时 ，有 sin cos 1 2 0
化简后，得
(M m)y ml u
my ml mg
求解得： y mg 1 u MM
(M m)g 1 u
Ml
Ml
21
选择状态变量 x1 y ，x2 x1 y ，x3 ，x4 x3
第五章 线性控制系统的综合
第五章 线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
从系统输出到状 态矢量导数的线 性反馈形式在状 态观测器获得应 用。 受控对象的状态空间表达式
Ax Bu x y Cx Du
10
第五章 线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
闭环系统的状态空间表达式
Ax Gy Bu x y Cx Du
4）比较特征多项式对应项的系数，得
k0 4, k1 4, k2 1
25
第五章 线性定常系统的综合
优点：能控标准型使得计算简单，可以直接 计算状态反馈阵K。
缺点：能控标准型所需的状态变量信息难以 检测，给工程实现增加困难
串联实现，系统的状态方程为
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1 y 10 0 0x
16
第五章 线性定常系统的综合
采用状态反馈（单输入单输出系统）
以3阶能控标准型为例，设计状态反馈控制律
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 1 x 0 u 1 a2
状态反馈控制律为 u Kx k0 k1 得到闭环系统
设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极 点是-2和-3. 解：设控制律为 u Kx k0 k1 x 闭环系统的状态方程为
0 x 2 k 0 1 x 3 k1
20
第五章 线性定常系统的综合
闭环系统的特征方程为 f () 2 (3 k1 ) k0 2
输出反馈闭环系统的状态空间表达式
[ A B ( I HD ) 1 HC ] x B ( I HD ) 1 v x y (C D( I HD ) 1 HC ) x Dv
教学课件 现代控制理论基础--王孝武
1.1 状态变量及状态空间表达式
• 状态变量 (State variables)
– 状态：表征系统运动的信息和行为 – 状态变量：能完全表示系统运动状态的最小
个数的一组变量
x1(t), x2(t), …, xn(t)
• 状态向量(State vectors)
由状态变量构成的向量 x(t)
1.1 状态变量及状态空间表达式
– 科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论， 而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要 的条件—现代数学和数字计算机。
– 现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现 代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数 字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平 台。
– 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞 速发展，推动了核能技术、空间技术的发展， 从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统
绪论
• 控制问题 (Control Problem)
– 对于受控系统（广义系统）S，寻求控制规律 u(t)，使得闭环系统满足给定的性能指标要求。
绪论
• 控制问题 (Control Problem)
– 建模(Modelling)：用数学模型描述被控对象 – 分析(Analysing)：
• 定性(Quality)：稳定性、能观能控性 • 定量(Quantity)：时域指标、频域指标
(P.1bility criteria for nonlinear systems)
绪论
• 现代控制理论研究的对象、内容及方法
– 现代控制理论研究的内容
• 线性系统理论 (Theory of Linear Systems) • 非线性系统理论 (Theory of Nonlinear Systems)
第五章 线性定常系统的综合
线性定常系统的综合
引言
控制系统的分析与综合 ⑴ 控制系统分析： 在已建立的数学模型基础上研究系统的各种性能及其与系统的结构、 参数和外部作用之间的关系。这里所指的系统性能包括系统响应、可控性、 可观测性、稳定性等。 ⑵ 控制系统综合 寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求 都得到满足。 经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式：
rank C T
[ = rank [C
[
AT C T
T
... ( AT ) n −1 C T
]
... ( AT − C T H T ) n −1 C T
Байду номын сангаас
= rank C T
( AT − C T H T )C T ( A − HC )T C T
... (( A − HC )T ) n −1 C T
]
]
Gk ( s ) = C ( sI − A + BK ) −1 B
(4 − 283)
因此可用{A-BK,B,C}来表示引入状态反馈后的闭环系统。
加入状态反馈后的系统结构图
ν+
_
u
B
+ +
& x
1 I s A K
x
C
y
⑵ 输出反馈 系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了 限制。在此情况下，常采用输出反馈法。输出反馈法的目的首先是 使系统系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系 统性能。 输出反馈有两种形式： ① 将输出反馈至状态微分，图（a）； ② 将输出反馈至参考输入，图（b）。
同理可得
rankQc ≤ rankQck
第5章线性定常系统的综合-现代控制理论
5线性定常系统综合
量系统的许多控制问题，但也暴露了许多经典控制理论的局限性。
二.带状态反馈结构的控制系统(条件：原系统完全能控) ★ 前后能控性保持不变，可能影响能观性
输出反馈工程上构成方便，但输出量的个数往往小于状态变量的个数， 故状态反馈有更多的控制余地，随着状态观测器和卡尔曼滤波理论的发展， 状态反馈的物理实现问题也基本解决。 研究表明： 输出反馈可行，状态反馈可行； 状态反馈可行，输出反馈不一定可行。
但改变分母（极点）；
• 当系统原传递函数（阵）有零点时，可能在改变了分母后，引起零极 点对消，影响系统的能观性。
• 尽量选择状态变量在物理上容易采集的实现作为原系统的实现。
2、极点配置算法（非奇异变换法 ）
（1）判断能控性 （2）对于系统Σ=(A,b,c)，确定使系统转换能控标准型的非奇异变换 阵T ，化为能控标准形，并求原系统特征多项式为
第5章 线性定常系统的综合
5.1 线性反馈控制系统的基本结构 5.2 带输出反馈的综合 5.3 带状态反馈的综合
5.4 状态重构与状态观测器的设计
5.5 带观测器状态反馈系统的综合 5.6 解耦控制系统的综合
所谓控制系统的综合与设计，即给定一个受控设备和预期 性能指标（稳、快、准），要求综合设计出控制器的结构和参 数。综合设计的基础是依据系统的定性分析，因为定性分析充 分解释了系统性质、潜在能力与限制。例如，经典控制理论中， 利用BODE图进行综合设计时，稳定性分析发挥了重要作用。
WH (s) C[sI ( A HC)]1 B
2. 极点配置
闭环系统的性能，主要取决于闭环系统极点在根平面上的位置，即闭 环系统的特征值。 极点配置，就是首先根据生产工艺对控制系统提出的性能指标要求， 给出一组与性能相对应的期望极点值；然后选择反馈矩阵H的元素值， 使闭环系统的极点与期望极点相等，从而使系统获得所希望的性能要 求。 用极点配置方法综合系统时提出两个最主要的问题。一是系统能否进 行任意期望极点的配置，即是否满足任意极点配置的条件。二是若任 意极点配置的条件满足，配置的算法如何。
现代控制理论教学大纲
GDOU-B-11-213《现代控制理论》教学大纲课程编号1630035 总学时54 理论54 实验/上机0学分 3 开课单位信息学院开课系自动化系修订时间2005年12 月14日课程简介教学内容本课程主要内容有：系统状态空间表达式的建立；状态方程的求解；系统的能控性和能观性，包括系统能控性和能观性的判别，能控标准型与能观标准型，线性系统的结构分解，传递函数矩阵的实现；李亚普诺夫方法原理及用李亚普诺夫方法分析线性定常、线性时变及非线性系统；控制系统的综合，包括反馈的各种类型，用状态反馈进行极点配置，用状态观测器实现状态反馈等。
修读专业：自动化专业先修课程：线性代数、矩阵论、经典控制理论教材：王孝武，《现代控制理论基础》，机械工业出版社，1998。
一、课程的性质与任务本课程是在经典控制论基础上学习现代控制理论的基本概念、基本理论和分析方法。
现代控制理论基础以状态空间分析法为核心，涵盖了非线性控制系统分析、动态系统最优控制方法。
通过本课程的学习，使学生能够初步掌握现代控制理论的基本知识及其分析方法，并将其应用于实际控制系统的分析与综合，提高学生的系统分析和综合能力。
二、课程的基本要求通过本课程的学习,学生应该掌握有关运用状态空间分析法定量和定性分析及综合控制系统的基本理论、基本方法,为学习后续课程打下基础。
三、修读专业电气工程及其自动化、自动化四、本课程与其它课程的联系本课程为自动化专业的专业课，是继经典控制理论---《自动控制原理》之后的又一门重要的控制理论课程。
其任务是在经典控制理论的基础上进一步加深、扩展和提高学生在控制理论方面的基础知识，使学生较为全面地了解和掌握控制理论的基本内容，为后继学习《最优控制》、《随机控制》、《系统辨识》等其它自控理论课程打好基础。
要求学生具备微分方程、线性代数、积分变换(特别是拉氏变换，z变换)等数学方面的有关知识。
五、教学内容安排、要求、学时分配及作业第一章控制系统的数学模型（10学时）1.状态空间表达式（A）2.由微分方程求状态空间表达式（B）3.传递函数矩阵（A）4.线性变换（B）5.组合系统的数学描述（C）6.作业一次第二章线性控制系统的运动分析(10学时)1.线性定常系统齐次状态方程的解（A）2.状态转移矩阵（A）3.线性定常系统非齐次状态方程的解（B）4.线性系统的脉冲响应矩阵（B）5.作业一次第三章控制系统的能控性和能观测性(14学时)1.能控性及其判据（A）2.能观测性及其判据（A）3.对偶原理（B）4.能控标准形和能观测标准形（A）5.能控性、能观测性与传递函数关系（B）6.系统的结构分解（A）7.实现问题（B）8.作业一次第四章控制系统的稳定性(8学时)1.稳定性的定义(B)李雅普诺夫稳定性定义、稳定、渐进稳定和不稳定的概念；（B）BIBO稳定性的概念（C）2．李雅普诺夫稳定性的基本定理（B）李雅普诺夫稳定性的基本定理（B）李雅普诺夫第二方法在线性定常系统中的应用（C）作业一次第五章线性定常系统的综合(12学时)1.状态反馈和输出反馈（B）2.反馈系统的能控性和能观测性（B）3.极点配置问题（A）4.镇定问题（A）5.状态重构和状态观测器（A）6.带有观测器的状态反馈系统（B）7.解耦问题（B）8.作业一次六、实验内容与要求序号实验内容学时1七、教材与参考书本课程选用教材：王孝武，《现代控制理论基础》，机械工业出版社，1998本课程推荐参考书：1.胡寿松，《自动控制原理》，科学出版社。
现代控制理论线性反馈控制系统综合的基本概念
现代控制理论线性反馈控制系统综合的基本概念《现代控制理论》MOOC课程第五章线性定常系统的综合第五章线性定常系统的综合线性反馈控制系统综合的基本概念极点配置问题系统镇定问题系统解耦问题状态观测器利⽤状态观测器实现状态反馈的系统⼀. 系统的综合给定系统的状态空间表达式:寻找⼀个控制u,使得在其作⽤下系统的性能指标满⾜所期望的要求。
x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx⼆. 状态反馈控制和输出反馈控制1. 状态反馈若系统的控制可表⽰为系统状态的⼀个线性向量函数, 即u =?Kx +v 则称为状态反馈控制。
其中v 为参考输⼊。
状态反馈系统的结构为：yxAC++Bux ?+vK-状态反馈系统的状态⽅程x =A x +B u原系统的状态⽅程为：引⼊状态反馈u =?Kx +v 后，系统的状态⽅程为：x =A ?BK x +Bv系统的性能主要由系统矩阵决定的，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统矩阵以使系统的性能满⾜期望的要求。
状态反馈系统的传递函数：原开环系统的传递函数为：W0s=C(sI?A)?1B引⼊状态反馈u=?Kx+v后，系统的闭环传递函数为：W K s=C(sI?A+BK)?1B系统的性能主要由系统闭环传递函数的极点确定，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统传递函数的极点，以使系统的性能满⾜期望的要求。
2. 输出反馈控制。
其中v 为参考输⼊。
输出反馈系统的结构为：yxAC++Bux ?+vH-若系统的控制可表⽰为系统输出的⼀个线性向量函数, 即u =?Hy +v 则称为输出反输出反馈系统的状态⽅程x =A x +B u原系统的状态⽅程为：引⼊输出反馈u =?Hy +v 后，系统的状态⽅程为：x =A ?BHC x +Bv通过合理的选择输出反馈矩阵，就可改变系统矩阵，以使系统的性能满⾜期望的要求。
输出反馈系统的传递函数：W 0s =C(sI ?A)?1B原开环系统的传递函数为：引⼊输出反馈u =?Hy +v 后，系统的闭环传递函数为：W K s =C(sI ?A+BHC)?1B5.1 线性反馈控制系统综合的基本概念3. 状态反馈与输出反馈的⽐较系统的输出通常只是系统状态的部分信息，所以输出反馈仅相当于部分状态反馈。
第5章 线性定常系统的综合(合肥工业大学 现代控制理论-王孝武)
解
1. 建立系统状态空间模型
uθ K (i o )
d iD uD K e LD RDiD uD K P uA dt d o d t JD f K miD TF dt d o 1 x x2 TF 为恒定的负载转矩 dt d f Km TF 2 x1 o x iD dt JD JD JD x x 2 Ke d iD RD 1 3 x iD uD x3 iD dt LD LD LD 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为 x1 1 0 1 0 x1 0 x 0 x y 1 0 0 x 2 0 1 1 x2 0 u D 1TF 2 3 x3 x 0 1 10 x3 10 0
0 0 0 1 0k k A bK 0 0 1 1 0 0 2 3 1 1 0 0 0 0 1 k 0 2 k1 3 k 2
k2
s K (s) det[sI (A bK )] 0 k 0
第5 章
本章内容为: 1. 引言
线性定常系统的综合
2. 状态反馈和输出反馈 3. 状态反馈系统的能控性和能观测性 4. 极点配置 5. 镇定问题 6. 状态重构和状态观测器 7. 降阶观测器 8. 带状态观测器的状态反馈系统 9. 渐近跟踪和干扰抑制问题 10. 解耦问题
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
1 0 0 a1
0 0 1 0 x u 0 0 1 1 an 1 0
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（10） （11） （12）
u V Kx
( A bK)x bV x y Cx
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配置系统的极点。
1 经过线性变换 x P x ，可以使系统具有能控标准形。
0 0 x 0 a0
Ax bu x y Cx
（23）
如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状 态分量是渐近稳定的。 （证明请参见教材163页）
当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为 1） 将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵 P1 ~ 2）确定 P2 ，化 AC 为约当形式 AC ~ ~ 3） 利用状态反馈配置 A1 的特征值，计算 K1
（5）
两者比较：状态反馈效果较好；
输出反馈实现较方便。
5.3 状态反馈的能控性和能观测性
Ax Bu 线性定常系统方程为 x y Cx
引入状态反馈 则有
u V Kx
（6） （7） （8）
( A BK)x BV x y Cx
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有
例5-3 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下
uTG KTG 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG， 通过霍尔电流传感器测得电枢电流 i D ，即 ui Ki iD。已知折算到电 动机轴上的粘性摩擦系数 f 1 N m/(rad/s)、转动惯量 J D 1kg m2 ；电 动机电枢回路电阻RD 1Ω ；电枢回路电感 LD 0.1H ；电动势系数 、 iD 为 Ke 0.1V/(rad/s) 、电动机转矩系数为 Km 1 N m/A 。选择 o 、 作为状态变量。将系统极点配置到 1 j 3 和 10 ，求K 阵。
n * n 1 * * Δ* a1 s a0 K ( s ) ( s si ) s an 1s i 1 n
（18）
比较（17）式和（18）式，选择 k i 使同次幂系数相同。有
* K a0 a0
* * a1 a1 an 1 an1
1 s 2 k1
1 s 3 k2 0
s3 (3 k 2 )s2 (2 k1 )s k 0
希望的状态反馈系统特征多项式为
3
K* (s) (s si ) s3 4s 2 6s 4
i 1
得到k0=4, k1=4, k2=1。即K=[4 4 1]
第5 章
本章内容为: 1. 引言
线性定常系统的综合
2. 状态反馈和输出反馈 3. 状态反馈系统的能控性和能观测性 4. 极点配置 5. 镇定问题 6. 状态重构和状态观测器 7. 降阶观测器 8. 带状态观测器的状态反馈系统 9. 渐近跟踪和干扰抑制问题 10. 解耦问题
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈 线性定常系统方程为：
Ax Bu x y Cx Du
u V Kx
（1）
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。 （2） 其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。
则有
Ax B(V Kx ) ( A BK ) x BV x y (C DK ) x DV
uA K Auo
2. 计算状态反馈矩阵
QC b
Ab
0 10 0 A2b 0 10 110 10 100 990
rankQC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K0 K1 K2 4 1.2 0.1 状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 TF ）。 经过结构变换成（d）图所示的状态图
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
（9）
（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态 反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。
状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
（17）
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
同次幂系数相等，得
~ k1 13
~ k2 20
5.6 状态重构和状态观测器
问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。 如何解决这个问题？ 答案是：重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。 系统方程为
Ax Bu x y Cx x (t0 ) x (0)
βn-1s n 1 βn- 2 s n 2 β1s β0 ( s ) n n 1 s an-1s a1s a0 (s)
（14）
引入状态反馈 令
u V Kx V KP 1 x V Kx
K KP 1 k0
解
1. 建立系统状态空间模型
uθ K (i o )
d iD uD K e LD RDiD uD K P uA dt d o d t JD f K miD TF dt d o 1 x x2 TF 为恒定的负载转矩 dt d f Km TF 2 x1 o x iD dt JD JD JD x x 2 Ke d iD RD 1 3 x iD uD x3 iD dt LD LD LD 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为 x1 1 0 1 0 x1 0 x 0 x y 1 0 0 x 2 0 1 1 x2 0 u D 1TF 2 3 x3 x 0 1 10 x3 10 0
1 ，其他参数的选择应该满足： 因为位置主反馈 K0 0.1 4 1 . 2 K K KA KP 4 K1 2 KP K0 KP
验证：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极 点位置。
5.5
镇定问题
镇定问题—— 非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定 显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。 那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理5-2。 定理5-2 SISO线性定常系统方程为
（24）
重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同
ˆ Ax ˆ Bu x ˆ Cx ˆ y
（25）
（24）式减去（25）式
x ˆ A( x x ˆ ) x ˆ C(x x ˆ ) y y
（3）
5.2.2 采用
输出反馈
u V Hy
（4）
H 为 r m常数矩阵
Ax B(V Hy) [ A BH ( I DH )1 C ] x [ B BH ( I DH )1 D]V x y ( I DH )1Cx ( I DH )1 DV
1 2 rankQ 1 2 n 0 1 2
则状态反馈系统不能观测，即引入状态反馈改变了能观测性。
5.4
极点配置
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条 件是：系统状态完全能控。 线性定常系统 状态反馈 状态反馈系
0 0 0 1 0k k A bK 0 0 1 1 0 0 2 3 1 1 0 0 0 0 1 k 0 2 k1 3 k 2
k2
s K (s) det[sI (A bK )] 0 k 0
5-1系统方程为
1 2 0 x x u 3 1 1 y 1 2x
可以验证系统能控、能观测。
现在引入状态反馈 状态反馈方程为
u V 3 1x
1 2 0 x x u 0 0 1 y 1 2x
rankQc=2,系统能控。
2 j 2
~ ~ ~ Δ K ( s ) det[sI ( A1 bC K )] 1 0 1 ~ ~ s 0 det k k 1 2 0 s 0 2 1 ~ ~ ~ ~ 2 s (k1 k 2 3) s 2 2k1 k 2
k1 kn1
（15）
（16）
其中 k0 , k1 , , kn1 为待定常数
1 0 0 0 k k k A bK 0 1 n 1 0 1 0 a a a 1 n 1 1 0 0 1 0 0 1 ( a k ) ( a k ) ( a k ) 0 0 1 1 n 1 n 1
能控子系统方程为
1 0 1 xC AC xC bC u xC u 0 2 1
引入状态反馈
~ u V KxC
~ ~ ~ 其中 K k1 k2
2
为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为 s1,
2 Δ* ( s ) s 4s 8 K
~ 4） 所求镇定系统的反馈阵 K K1 0 P2 P 1