范更华教授讲座--图论与大规模集成电路设计
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欧拉定理 (图论最古老的定理, 1735年)： 无奇度数点的连通图(欧拉图)存在欧拉回路, 且可被边不交的圈覆盖。
次此定理未能回答需要多少个圈。 二百多年来，人们一直试图回答这个问题。
子图覆盖
Hajos 猜想：n个点的欧拉图可被[n/2]个边不 交的圈覆盖。
Erdos-Goodman-Posa 猜想 (1966): 存在常数c, n个点的欧拉图可被 cn 个边不交的圈覆盖。
应用: 投币电话、自动取钞机、机器人行 走路线设计
Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相 认识, 或三个互相不认识。
数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅 当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边 相连当且仅当它们对应的信道有公共部 分。波长问题等价于所构造图的点着色 问题：
给图的每个点着色，有边相连的点 须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
图的例子
交通网 互联网 计算机处理器连接方式 集成电路板 分子结构图 分子间相互作用及信息传递
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
Βιβλιοθήκη Baidu转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图.
四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
l 1985年，Alon（2002年世界数学家大会作１小 时报告）证明存在长度不超过m+7(n-1)/3的圈 覆盖。
l 1994年，Thomassen（丹麦科学院院士）证实 了计算机算法专家Papadimitriou的猜测：短圈 覆盖问题是NP-完全。
l 1998年，范更华彻底解决了Itai-Rodeh猜想， 证明存在长度不超过m+n-1的圈覆盖。
欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题: 求 图中一条迹(walk), 过每条边一次且仅一次. 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理: 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为2(若为0,则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
哥尼斯堡七桥问题
子图覆盖
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计 最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解: 在图中求一个圈过每点恰好一次, 且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比 较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题) 难度: NP--完全问题
整数流的一个例子
整数流的抽象定义
给定图G 和k 阶可换群A。若对G 的某 个定向, 存在一个函数f : 从G 的边集 到A的非零元素, 使得在图的每个一点,
进入该点的边的函数值之和等于离开该
点的边函数值之和, 则称f 为G 的一个 k-流。
整数流与平面图着色
Tutte定理(1954年): 平面图可k着色当 且仅当该图存在k-流。
图论与大规模集成电路设计
范更华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
现实世界中许多问题的数学抽象形式可 以用图来描述。如互联网、交通网、通讯 网、大规模集成电路、分子结构等都可以 用图来描述。对图的研究形成了一个专门 的数学分支：图论（Graph Theory)。
子图覆盖
图论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 数论: 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理: 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。
Seymour定理: 每个2-边连通图可被一个偶
图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论.
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式 互联网：信息传输及控制管理 大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学：
子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey问题 应用广、影响大。微软研究中
心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获1997年
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述: 图的边数大于某个数时,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。
◆ 没有长度小于5的圈 ◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈) ◆ 边传递、点传递 ◆ 不是平面图
极值图论
Mantel定理的证明: 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是
f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值:
f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
当k为奇数时，这个问题已解决； 然而当k为 偶数时，至今仍未完全解决。60年代中，Edmonds （John von Neumann奖得主）的匹配多面体理论为 人们提供了有力工具，得以证明圈k-覆盖对某个偶 数k存在，但无法确定这个偶数的值。
子图覆盖
定理(BJJ 1983)：当k是4的倍数，圈k-覆盖存在。 定理(Fan 1992)：当k是6的倍数，圈k-覆盖存在。
猜想（Fan and Raspaud, 1994）: 每个2-边连通 3-正则图存在3个无共同交的完美匹配.
此猜想比Fulkerson猜想弱,与著名的2阶射影 平面(Fano Plane )有关.
射影平面 (Projective Plane)
定义: n阶射影平面是一个含n2+n+1个点的集 合,其中一些子集称为直线, 使得:
◆ 四色问题等价于平面图的4-流存在性
整数流理论
整数流与数学其他领域的一些著名问题有关联:
▪ 组合学: Lonely Runner ▪ 数论: Diophantine Approximation ▪ 几何学: View Obstruction ▪ 有限域线性空间: Additive Basis
孤独的跑步者
Pyber 在1991发表的一篇综述性文章中称 “Hajos 猜想的解决目前是完全不可及的”
子图覆盖
定理 (范更华；2003年)：n个点的欧拉图可被 [n/2]个圈覆盖，且每条边恰好被覆盖奇数次。
此定理的一个推论解决了1976出版的一 本教科书中列出的一个难题。
子图覆盖
圈k-覆盖: 给定一个图，对哪些正整数k，存在一 组圈，使得图中的每条边恰好在k个圈上? 这样一 组圈称为该图的一个圈k-覆盖。
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连 同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相 连，则N含三个两两不连的点。 情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相 连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
Ramsey数问题
一般化: 定义R(s,t)为最小整数使得任意 R(s,t)个人中, 要么有 s 个人两两认识, 要么有 t 个人两两不认识。
n 个人绕跑道以各自固有的速度跑步。
图论分支
图论
结
随
代
拓
构
机
数
扑
图
图
图
图
论
论
论
论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。
以计算机的出现为标志的信息革命将促 进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。
教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.
推论：当k是大于2的偶数时，圈k-覆盖存在。
唯独 k=2 未能解决。圈2-覆盖也被称为圈双
覆盖，至今仍是图论界的一个著名难题。它是曲面 拓扑中的强嵌入猜想的一个弱形式。
子图覆盖
圈双覆盖猜想（Cycle Double Cover Conjecture） 每个2-边连通图存在圈 2-覆盖。
强嵌入猜想（Strong Embedding Conjecture） 每个2-连通图可嵌入到某个曲面上，使得每个面 的周界是一个圈（2-cell-embedding: each face is homeomorphic to an open disk）。
Fano-着色是否存在?
得 益 于 整 数 流 理 论 , 根 据 8- 流 定 理 (1979 年 ), Fano-着色一定存在.
整数流理论由Tutte (英国皇家学会会员)创立 于50年代初。Seymour（1994年世界数学家大会 作１小时报告）长期从事整数流理论的研究。
整数流问题
给图的每条边一个定向及一个整数 值, 使得在图的每个点, 进入该点的所 有边的整数值之和等于离开该点的所有 边的整数值之和。
子图覆盖
若我们不要求每条边恰好在k个圈上，而只 要求每条边至少在一个圈上，这样一组圈称为该 图的一个圈覆盖。所有这些圈的边数之和称为该 圈覆盖的长度。
短圈覆盖问题：寻找长度最短的圈覆盖。
Itai-Rodeh猜想（1978）：若图的边数为m，点 数为n，则一定有长度不超过m+n-1的圈覆盖。
子图覆盖
子图覆盖
未解决问题 (Itai-Rodeh，1978)：是否存在长度 不超过7m/5 的圈覆盖？
若答案是肯定的，则推出圈2-覆盖猜想成立。
已知最好结果(BJJ，1983；Alon-Tarsi，1985)：
存在长度不超过5m/3 的圈覆盖。
子图覆盖
Fulkerson猜想: 每个2-边连通图存在由6个偶子 图构成的圈 4-覆盖.
子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。
子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来 覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通 平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点 与偶数条边关联; 圈是连通极小偶图）
哥德巴赫猜想: 每个大于2的偶数是两个素 数之和。
Plane的点对G的边进行正常着色,使得G中与每个 点关联的三条边所得颜色在Fano Plane中共线. 问题: 用尽可能少的线完成Fano-着色. 猜想(Macajova and Skoviera, 2005): 只需4条线.
已证明该猜想与Fan-Raspaud猜想等价.
Fano-着色与整数流理论
(1) 任意两点在一条直线上 (2) 任意两条直线相交一个点 (3) 每个点有n+1条直线通过 (4) 每条直线通过n+1个点
2阶射影平面也称为 Fano Plane:
射影平面 (Projective Plane)
Fano Plane
Fano-着色
定 义 : 一 个 3- 正 则 图 G 的 Fano- 着 色 是 用 Fano
次此定理未能回答需要多少个圈。 二百多年来，人们一直试图回答这个问题。
子图覆盖
Hajos 猜想：n个点的欧拉图可被[n/2]个边不 交的圈覆盖。
Erdos-Goodman-Posa 猜想 (1966): 存在常数c, n个点的欧拉图可被 cn 个边不交的圈覆盖。
应用: 投币电话、自动取钞机、机器人行 走路线设计
Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相 认识, 或三个互相不认识。
数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅 当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边 相连当且仅当它们对应的信道有公共部 分。波长问题等价于所构造图的点着色 问题：
给图的每个点着色，有边相连的点 须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
图的例子
交通网 互联网 计算机处理器连接方式 集成电路板 分子结构图 分子间相互作用及信息传递
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
Βιβλιοθήκη Baidu转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图.
四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
l 1985年，Alon（2002年世界数学家大会作１小 时报告）证明存在长度不超过m+7(n-1)/3的圈 覆盖。
l 1994年，Thomassen（丹麦科学院院士）证实 了计算机算法专家Papadimitriou的猜测：短圈 覆盖问题是NP-完全。
l 1998年，范更华彻底解决了Itai-Rodeh猜想， 证明存在长度不超过m+n-1的圈覆盖。
欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题: 求 图中一条迹(walk), 过每条边一次且仅一次. 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理: 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为2(若为0,则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
哥尼斯堡七桥问题
子图覆盖
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计 最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解: 在图中求一个圈过每点恰好一次, 且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比 较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题) 难度: NP--完全问题
整数流的一个例子
整数流的抽象定义
给定图G 和k 阶可换群A。若对G 的某 个定向, 存在一个函数f : 从G 的边集 到A的非零元素, 使得在图的每个一点,
进入该点的边的函数值之和等于离开该
点的边函数值之和, 则称f 为G 的一个 k-流。
整数流与平面图着色
Tutte定理(1954年): 平面图可k着色当 且仅当该图存在k-流。
图论与大规模集成电路设计
范更华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
现实世界中许多问题的数学抽象形式可 以用图来描述。如互联网、交通网、通讯 网、大规模集成电路、分子结构等都可以 用图来描述。对图的研究形成了一个专门 的数学分支：图论（Graph Theory)。
子图覆盖
图论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 数论: 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理: 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。
Seymour定理: 每个2-边连通图可被一个偶
图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论.
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式 互联网：信息传输及控制管理 大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学：
子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey问题 应用广、影响大。微软研究中
心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获1997年
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述: 图的边数大于某个数时,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。
◆ 没有长度小于5的圈 ◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈) ◆ 边传递、点传递 ◆ 不是平面图
极值图论
Mantel定理的证明: 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是
f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值:
f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
当k为奇数时，这个问题已解决； 然而当k为 偶数时，至今仍未完全解决。60年代中，Edmonds （John von Neumann奖得主）的匹配多面体理论为 人们提供了有力工具，得以证明圈k-覆盖对某个偶 数k存在，但无法确定这个偶数的值。
子图覆盖
定理(BJJ 1983)：当k是4的倍数，圈k-覆盖存在。 定理(Fan 1992)：当k是6的倍数，圈k-覆盖存在。
猜想（Fan and Raspaud, 1994）: 每个2-边连通 3-正则图存在3个无共同交的完美匹配.
此猜想比Fulkerson猜想弱,与著名的2阶射影 平面(Fano Plane )有关.
射影平面 (Projective Plane)
定义: n阶射影平面是一个含n2+n+1个点的集 合,其中一些子集称为直线, 使得:
◆ 四色问题等价于平面图的4-流存在性
整数流理论
整数流与数学其他领域的一些著名问题有关联:
▪ 组合学: Lonely Runner ▪ 数论: Diophantine Approximation ▪ 几何学: View Obstruction ▪ 有限域线性空间: Additive Basis
孤独的跑步者
Pyber 在1991发表的一篇综述性文章中称 “Hajos 猜想的解决目前是完全不可及的”
子图覆盖
定理 (范更华；2003年)：n个点的欧拉图可被 [n/2]个圈覆盖，且每条边恰好被覆盖奇数次。
此定理的一个推论解决了1976出版的一 本教科书中列出的一个难题。
子图覆盖
圈k-覆盖: 给定一个图，对哪些正整数k，存在一 组圈，使得图中的每条边恰好在k个圈上? 这样一 组圈称为该图的一个圈k-覆盖。
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连 同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相 连，则N含三个两两不连的点。 情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相 连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
Ramsey数问题
一般化: 定义R(s,t)为最小整数使得任意 R(s,t)个人中, 要么有 s 个人两两认识, 要么有 t 个人两两不认识。
n 个人绕跑道以各自固有的速度跑步。
图论分支
图论
结
随
代
拓
构
机
数
扑
图
图
图
图
论
论
论
论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。
以计算机的出现为标志的信息革命将促 进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。
教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.
推论：当k是大于2的偶数时，圈k-覆盖存在。
唯独 k=2 未能解决。圈2-覆盖也被称为圈双
覆盖，至今仍是图论界的一个著名难题。它是曲面 拓扑中的强嵌入猜想的一个弱形式。
子图覆盖
圈双覆盖猜想（Cycle Double Cover Conjecture） 每个2-边连通图存在圈 2-覆盖。
强嵌入猜想（Strong Embedding Conjecture） 每个2-连通图可嵌入到某个曲面上，使得每个面 的周界是一个圈（2-cell-embedding: each face is homeomorphic to an open disk）。
Fano-着色是否存在?
得 益 于 整 数 流 理 论 , 根 据 8- 流 定 理 (1979 年 ), Fano-着色一定存在.
整数流理论由Tutte (英国皇家学会会员)创立 于50年代初。Seymour（1994年世界数学家大会 作１小时报告）长期从事整数流理论的研究。
整数流问题
给图的每条边一个定向及一个整数 值, 使得在图的每个点, 进入该点的所 有边的整数值之和等于离开该点的所有 边的整数值之和。
子图覆盖
若我们不要求每条边恰好在k个圈上，而只 要求每条边至少在一个圈上，这样一组圈称为该 图的一个圈覆盖。所有这些圈的边数之和称为该 圈覆盖的长度。
短圈覆盖问题：寻找长度最短的圈覆盖。
Itai-Rodeh猜想（1978）：若图的边数为m，点 数为n，则一定有长度不超过m+n-1的圈覆盖。
子图覆盖
子图覆盖
未解决问题 (Itai-Rodeh，1978)：是否存在长度 不超过7m/5 的圈覆盖？
若答案是肯定的，则推出圈2-覆盖猜想成立。
已知最好结果(BJJ，1983；Alon-Tarsi，1985)：
存在长度不超过5m/3 的圈覆盖。
子图覆盖
Fulkerson猜想: 每个2-边连通图存在由6个偶子 图构成的圈 4-覆盖.
子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。
子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来 覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通 平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点 与偶数条边关联; 圈是连通极小偶图）
哥德巴赫猜想: 每个大于2的偶数是两个素 数之和。
Plane的点对G的边进行正常着色,使得G中与每个 点关联的三条边所得颜色在Fano Plane中共线. 问题: 用尽可能少的线完成Fano-着色. 猜想(Macajova and Skoviera, 2005): 只需4条线.
已证明该猜想与Fan-Raspaud猜想等价.
Fano-着色与整数流理论
(1) 任意两点在一条直线上 (2) 任意两条直线相交一个点 (3) 每个点有n+1条直线通过 (4) 每条直线通过n+1个点
2阶射影平面也称为 Fano Plane:
射影平面 (Projective Plane)
Fano Plane
Fano-着色
定 义 : 一 个 3- 正 则 图 G 的 Fano- 着 色 是 用 Fano