经济博弈论第五章 离散博弈中的纳什均衡

弈
TR
TR D2 1,0,0 1,0,0
D1
1,0,0 1,0,0

纳 什 均 衡 的 定 义



如果博弈中有n个参与者，就要满足n个条件。 纳什均衡必须满足全部条件，有几个人就要满足 几个条件， 对于所有人，都不可能在其他人不改变策略的情 况下，通过改变自己的策略提高自身的支付。 否则不是纳什均衡，什么都不是！ 如： 赛车手2 转弯 不转弯 1， 3 0， 0

参 与 人 1
a b c
1,0 3,1 0,2
理性化可解。理性成为 共同知识，结果是（b,y）
赛车手2 转弯 转弯 赛车手 1 不转弯 2,2 3,1 不转弯 1,3 0,0
运用可理性化方法找不 到均衡。 是有均衡的，方法不同


纳 什 均 衡 的 定 义




纳什均衡正式定义：对于一个策略组合s∈S，当 且仅当si∈BRi(s-i)对于每个参与人i都成立时，称 s为一个纳什均衡。亦即，对于任何si’∈Si及任 一参与人i来说，都有ui(si,s-i) ≥ui(si’,s-i) 通俗定义：若每个参与者都根据对其他参与者所 采取策略的信念，采用最大化自身收益的策略， 则这样的策略组合就是纳什均衡。 纳什均衡的定义包括两个假设： 参与者是理性的。每个参与者基于对其他参与者 策略的信念，采取最大化自身收益的策略。 信念是正确的，每个参与者对其他参与者策略的 信念符合事，即采取的策略的概率大必须赋予大 于0.5的概率值。
1, 2, 1 1, 2, 1 1, 2, 1
1, 2, 1 1, 2, 1 0, 1, 2
A B C
2, 0, 0, A 0, 1, 1, 0 2 2 1
0 B 1, 2 0, C 1, 2
1, 2, 1 0, 1, 2
0, 1, 2 0, 1, 2

股 东 投

均衡求解如下：5个纳什均衡 （AAA）（ACC）（BBB）（BBC）（CCC） 一个纳什均衡不能排除一个参与者使用弱劣策略的可能性 3投A 3投B 3投C
0,1,0
1,0,0
参与者3采取策略D2
TR TR D2 D3 1,0,0 1,0,0 1,0,0 D1 1,0,0 1,0,0 1,0,0 D3 1,0,0 1,0,0 1,0,0

求解结果如下：19个纳什均衡。 说明纳什均衡定义不够严格，对我们的帮助很有限。
参与者3采取策略TR 参与者3采取策略D1
三人博弈中的纳什均衡
股 东 投 票


一个公司有3位股东。股东1掌握25%的股份，股东2掌握 35%的股份，股东3掌握40%的股份。该公司可以收购另外 的公司A和B，也可以选择不收购（用C表示）。三位股东 的偏好如下表所示。 一位股东的首选得到执行产生的支付为2，次选产生的支 付为1，三选被执行产生的支付为0.三股东同时投票。100 张票按股份进行分配。股东必须将所持有的选票投给一个 方案。每个参与者的策略集合由A、B和C构成。
第四节
追 星 博 弈
女2 带A 带Bebe
三人博弈中的纳什均衡
女3
女1穿带E的衣服
带C
女2
带Bebe

带A
带Bebe
2，2，2 0，1，0wk.baidu.com
1，0，0 1，1，0
女1穿带Bebe的衣服 女3 带C 0，0，1 1，0，1 带Bebe 0，1，1 1，1，1
结果：两个纳什 均衡 （E，A，C） （Bebe， Bebe， Bebe）

纳什 均衡
重复剔除严格劣 势策略留下来的 策略组合
所有策略组合
第二节两人博弈中的纳什均衡
囚 徒 困 境
嫌疑人1
坦白 不坦白
一个犯罪团伙的两名犯罪嫌疑犯被关在不同的房 子里单独审讯。他们被告知：如果一人坦白，另 一人不坦白，坦白者将被释放，而不坦白者将被 关3年；如果两个人都坦白，都被关2年；如果都 不坦白，每个人都被关1年 刑期越短，支付（收益）水平越高。
赛车手 转弯 1 不转弯

2， 2 3， 1
这个博弈有两个纳什均衡
纳 什 均 衡 的 理 论 基 础
如果策略组合(x,y,z)是一个纳什均衡，那么这些策 略就能在重复剔除严格劣势策略之后留下来。 纳什均衡比严格剔除劣势策略要求更高。

所有纳什均衡都满 足重复剔除严格劣 势策略的条件，因 而与理性是共同知 识相一致。 但重复剔除严格劣 势策略之后留下来 的策略组合，不一 定是一个纳什均衡。
求出下列博弈中的纳什均衡
练
a 参与人 1 b c d
参与人2
w 0，1 1，2 2，1 3，0 x 0，1 2，2 0，1 1，0 y 1，0 4，0 1，2 1，1 z 3，2 0，2 1，0 3，1
习
这个博弈中有三个纯策略的纳什均衡（b，x） （a，z）（d，z）
第三节 最优反应法

其实，我们一直在使用最优反应法。这里只 不过明确指出而已。
1，1 -1，-1
规 范

结果：两个纳什均衡 纳什均衡表明司机将采用同样的标准，但 并不能告诉我们司机到底采用哪种标准。 历史表明，社会的确会制定一个统一的行 驶规范，这个被达成的均衡，称为谢林点
大卫
打电话
等待
2，3 1，1
打 电 话
杰克
打电话 等待
0，0 3，2
有两个纳什均衡：即一个人打电话，另 一个等待。 到底谁打电话，谁等待，纳什均衡是无 法确定的
嫌疑人2 坦白 嫌疑人 1 不坦白 不坦白
坦白
-2，-2
-3，0
0，-3
-1，-1
对 称 博 弈
对一个对称博弈中的一个策略组合而言，如果一 个参与者的策略是最优反应，则所有参与人的策 略都是最优反应。 若一个参与者有一个占优策略，则一个纳什均衡 要求该参与者使用占优策略。若所有参与者都有 一个占优策略，则只有一个纳什均衡，其中的每 个参与者都使用占优策略。
票

支付矩阵如下： 3投A 2 A B C 2, A 0, 0 2, 1 B 0, 0 2, C 0, 0 2, 0, 0 1, 2, 1 2, 0, 0 2, 0, 0 2， 0, 0 0, 1, 2 3投B 2 A B C 3投C 2
股 东 投 票
2, A 0, 0 1, 1 B 2, 1 1, C 2, 1
公司股东
1 2 3
首选1
A B C
次选2
B C B
三选3
C A A

为了求出支付矩阵，首先需要判断投票如何产生各种结果。 3投B 2 A B C A A B B
股 东 投
1 3投A 2 A B C A A A A B A B A C A A C 1
B B B B C B B C
3投C 2 A B C 1 A A C C B C B C C C C C
结果：2个纯策略纳什均 衡：（a，y）（b，x） 杰克：bc对x、a对y、c对 z的最优反应 大卫：xy对a、x对b、y对 c的最优反应。
小明
最
石头
石头
布
剪刀
优 反 应 法
0， 0
-1，1
1，-1
小伟
布
剪刀
1，-1 -1，1
0， 0 1，-1
-1，1 0， 0
小伟：布对石头、剪刀对布、石头对剪刀的最 优反应 小明：布对石头、剪刀对布、石头对剪刀的最 优反应 不存在纯策略纳什均衡。 但存在混合策略纳什均衡。
晋 级 博
参与者3采取策略D2
TR
TR 3,0,0 2,-3,0
D1
D3
2,-1,0 3,-1,-1 1,-4,0 2,-4,-1
弈
D2
D3
2,0,-1 1,-1,-1 2,-1,-4

晋 级
参与者的支付水平取决于他晋级的可能性。如果一个参与 者最终成绩高于其他两人，其成功晋级，支付为1。如果 两个参与者的成绩相同且高于第三人，则他们的支付都为 1/2。如果三人成绩相同，则支付均为1/3。如果参与者的 成绩低于其他人，则其支付为0。支付矩阵如下：
晋 级 博
TR D2
TR
1,0,0 1,0,0
D1
1,0,0 1/2,0,1/2
D3
1,0,0 1,0,0 TR
TR 1,0,0
D1 0,1/2,1/2
D3 1,0,0
D2
D3

1,0,0
1/2,1/2,0
0,0,1
0,1,0
1,0,0
1,0,0
D3
1,0,0
1,0,0
1,0,0
参与者3采取策略D2
自己是否努力 0 0 遭到几个人诋毁 0 1 成绩 Vi Vi-1
0
1 1 1
2
0 1 2
Vi-4
Vi+1 Vi Vi-3

假设V1=2，V2=V3=0。参与者采取各种策略时的得分情 况如下所示：
参与者3采取策略TR TR TR 3,1,1 2,0,1 2,1,0 D2 D3 D1 2,0,1 1,-1,1 1,0,0 D3 3,0,0 2,-1,0 2,0,-3 TR D2 D3 参与者3采取策略D1 TR 2,1,0 1,0,0 1,1,-1 D1 -1,0,0 -2,-1,0 -2,0,-1 D3 2,0,-1 1,-1,-1 1,0,-4

嫌疑人2 坦白 嫌疑人 1 不坦白 坦白 -2，-2 -3，0 不坦白 0，-3 -1，-1 转弯 赛车手2
转弯 赛车手 1 不转弯
2， 2 3， 1
不转弯
1， 3 0， 0
都有占优策略， 有1个纳什均衡
都没有占优策略， 有2个纳什均衡
司机2
左边行驶
右边行驶
-1，-1 1，1
行 驶

司机1
左边行驶 右边行驶
大卫 x y z x 大卫 y z
a
杰克 b
1， 1
2， 3
2， 1
0， 2
2， 0
2， 1 杰克
a
b
1， 1
2， 3
2， 1
0， 2
2， 0
2， 1
c
2， 1
1， 2
3， 0
c
2， 1
1， 2
3， 0
大卫
x a 杰克 b c 1， 1 2， 3 2， 1 y 2， 1 0， 2 1， 2 z 2， 0 2， 1 3， 0
票
2, 2, 0, C 0, 0, 1, 0 0 2
1, 1, 0, C 2, 2, 1, 1 1 2
0, 0, 0, C 1, 1, 1, 2 2 2

晋 级 博 弈


为了探究卑劣手段是在何时以何种方式将领先者拉下台的， 我们假定在某一情形中，有三个参与者争夺晋级权利，成 绩最高者晋级。 每个参与者的策略有三种：努力提高自己的成绩（用TR表 示），诋毁其他两名竞争者之一（用Di表示，i为被诋毁者 编号）。 比赛开始前，参与者i的成绩为Vi。如果一个参与者努力， 其成绩增加1.如果一个参与者诋毁参与者i，则参与者i的成 绩被减去1.如果两个参与者都诋毁参与者i，则参与者i的成 绩减去4。

嫌疑人2
坦白 -2，-2 -3，0 不坦白 0，-3 -1，-1
囚 徒 困 境
博弈结果：都坦白，都被关2年 如果两个人都不坦白，都被关1年 这个博弈反映了一个问题：个人理性与集体理性 之间的矛盾。 在现实中存在的，公共资源的占用等问题。



关于囚徒困境的说明： （1）囚徒困境是典型的对 称博弈。如果参与者有相 同的策略集合，转换策略 就会转换收益，那么两人 博弈就是对称博弈。 （2）如果一个策略组合对 一个参与人是最优的，那 么这个策略组合对于另一 个参与者也是最优的。
2 A B C
2, 2, 2, A 0, 0, 0, 0 0 0 1 2, 1, 2， B 0, 2, 0, 0 1 0 1
2 A B C
2, 1, 1, A 0, 2, 2, 0 1 1 1, 1, 1, B 2, 2, 2, 1 1 1 1
2 A B C
2, 0, 0, A 0, 1, 1, 0 2 2 0 1, 0, B 1, 2, 1, 2 1 2

小明 石头 布 -1，1 剪刀 1，-1
石 头 、 剪 子 、 布
石头
0，0
小伟
布
剪刀
1，-1
-1，1
0，0
1，-1
-1，1
0，0
*这个博弈没有纯策略的纳什均衡。 *因为石头、布、剪刀之间是相互制衡的，循环 的。没有哪个比另外两个绝对的好或绝对的差。
*每种策略组合中的收益之和总等于同一个数字， 这类博弈称为常和博弈。 *本博弈中该数字为0，该博弈又称零和博弈。
参与者3采取策略TR 参与者3采取策略D1
TR
TR 1,0,0 1,0,0 D2
D1
1,0,0 1/2,0,1/2
D3
1,0,0 1,0,0 TR D2
TR
1,0,0 1,0,0
D1
0,1/2,1/2 0,0,1
D3
1,0,0 1,0,0
博 弈
D3
1,0,0
1,0,0
1,0,0
D3
1/2,1/2,0
第五章 离散博弈中的纳什均衡
纳什均衡的定义 两人博弈中的纳什均衡 最优反应法 三人博弈中的纳什均衡 N人博弈中的纳什均衡 多重纳什均衡的解
第一节

纳什均衡的定义
冯.诺依曼：思想压倒一切的时代已经来临。在 我们这个时代思想是最重要的。
参与人2 x y 1,1 2,2 1,2 z 0,0 1,0 3,0