静电场5《大学物理》
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物理意义 电场是一种物质，它具有能量.
电场空间所存储的能量
We we d
V
V
1 2 E d 2
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R1 和 R2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？
1 Q 解 E e 2 r 4π r 2 R1 1 Q 2 dr we E 2 4 2 32π r r 2 Q dWe we d dr 2 R 2 8πr 2 2 R Q Q 1 1 2 dr We dWe ( ) 2 8π R1 r 8π R1 R2
, ( RA r RB ) （ 2） E 2π 0 r R RB dr Q （ 3） V ln R 2 π r 2 π 0l RA 0
B A
l
RB Q （4）电容 C 2 π 0l ln V RA
球形电容器的电容(spherical capacitor) 球形电容器是由半径分别为 R1和 R2 的两同心金 属球壳所组成．
(1)
3
(2) E
Q ），外球带负电（ Q ）． 设内球带正电（
Q百度文库
2
4π 0 r ( R1 r R2 ) (3) V E dl Q l 4 π 0
Q 1 1 ( ) 4π 0 R1 R2
(4)
er
R2
R1
dr r2
＋
R2
＋
＋
＋
R2 ,C 4π 0 R1
0 - 0
0
0 - 0
0
接地空腔导体使外部空间不受空腔内的 电场影响。接地导体电势取为零 4、 电介质与静电场的相互作用 无极分子位移极化 介质充满电场 电荷的产生：感应 电荷的数量：守恒
有极分子取向极化
电介质对电场的影响
E
E0
r
介质中电场减弱
r 通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷 的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。
V1
4 0 R1
q1
V2
4 0 R2
q2
R1Q q1 R1 R2
R2Q q2 R1 R2
Q Q Q C 4 0 R1 4 0 ( R1 R2 ) V V1 q1
解 E ( R1 r R2 ) 2π 0 r max Eb 2π 0 R1 R dr R2 V ln 2 π 0 R r 2 π 0 R1
2 1
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_ _ _ _
单位长度的电场能量 2 R2 1 We V ln 2 4 π 0 R1
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 We ln 4π 0 R1
max Eb 2π 0 R1 max 2π 0 Eb R1
2
R2 We π 0 E R ln R1 dWe R2 2 π 0 Eb R1 (2 ln 1) 0 dR1 R1 2 R2 10 3 R1 m 6.0710 m e e
当迁来总电量
Q 时,外界作功
A Vdq
0
Q
设该带电系统的能量为 We ,则
We A Vdq
0
Q
五.
电容器的电能
1 We C
q dWe Vdq dq C
Q
0
1 1 We QV CV 2 2 2
电容器贮存的电能
Q C V
Q qdq 2C
2
+++++++++
2 b 2 1
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
Vmax
R2 Eb R2 Eb R1 ln 9.10 103 V R1 2 e
思考题14-8
平行板电容器充电后，如果切断电源，使两极板间的距离增大。 问两极板间电势差、极板间场强、电容器电容如何改变？如果不 切断电源而增大两极板间距。则极板上电荷面密度、极板间场强、 电容器电容又如何改变？
计算题14-2 真空中半径分别为 R1 和 R2 的两个导体球，相距很远。今用 一细导线将两者相连接，并给系统带上电量Q 。求 （1）每个球上分配到的电量是多少？ （2）按电容定义式计算此系统的电容。 分析：相距很远，二者可视为孤立。用细导线相连后，为一 等势体。
q1 q2 Q
V1 V2 V q 1 q2 R1 R2
有电介质时的高斯定理
定义： D 0 r E E
E
E0
E0 r E
据图
S 当 D 为常矢量，可得： D 0 1 '
D ds 0 S
σ'
-
0
-
E ds q
S 0 i
i
0 1 E (σ0 ) 0
d
S
-
电容器电容
定义：电容器带电量与其电压之比
Q Q C V1 V2 V12
单位
Q
Q
1F 1C/V
1μF 10 F 12 1pF 10 F
6
70 厘米
12 厘米
高压电容器(20kV 5~21F) (提高功率因数)
聚丙烯电容器
(单相电机起动和连续运转)
2.5 厘米
2.5 厘米
+
+
+ +
- - - - - - - - - - - - - - - - -
1 ' (1 ) 0 r
0
+ + +
+ +
1
(σ 0 )S
σ ''
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
r
S
平板电容器中充介质的另一种情况 由极板内为等势体
d
S
+ + + + + +
Q E 0 0S
（3）两带电平板间的电势差
Qd V Ed 0S
（4）平板电容器电容
Q
Q
-
Q S C 0 V d
例1
平行平板电容器的极板是边长为 l 的正方
形，两板之间的距离 d 应取多大才行. 解
1mm .如两极板的电势差
4
为 100 V ，要使极板上储存 10
C
0S
d
E 0
U Ed
Q CU
Q S
电容器充电后切断电源，极板上的电量保持不变。 使两极板间的距离增大，则电容器电容减小； 两极板间的场强不改变；两极板间的电势差增大。 如果不切断电源而增大两极板间距，则两极板间的电势差 不变。 电容器电容减小；电容器极板上的电量减少； 极板上的电荷面密度减小；两极板间的场强减小。
涤纶电容 (250V0.47F)
陶瓷电容器 (20000V1000pF)
电解电容器 (160V470 F)
二
孤立导体的电容(capacitance of
isolated conductor)
Q C V
地球
Q 4 π 0 R Q 4 π 0 R
6
Q C V
4
RE 6.4 10 m, CE 7 10 F
电容量的大小仅与导体的形状、相对位置、其间 的电介质有关. 与是否带电、带电多少无关. 三 电容器电容的计算
步骤
1）设两极板分别带电 Q ； 2）求 E ； 3）求 V ；4）求C .
1 平板电容器(plate capacitor) （1）设两导体板分别带电 Q （2）两带电平板间的电场强度
导体的静电平衡
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
＇ E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
1、处于静电平衡状态的导体的电场和电势 导体内部任何一点处的电场强度为零 导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直 导体是等势体，导体表面是等势面 2、处于静电平衡状态的导体上 电荷的分布
2R
o
V
R
* 电容器的联接
(connection of capacitors)
１ 电容器的并联
C1
＋
(capacitors in parallel)
C C1 C2
２ 电容器的串联
C2
(capacitors in series)
＋
1 1 1 C C1 C2
C1
C2
平行板电容器，充有两种均匀电介质。
*P
＋
r
R1
＋
＋ ＋
孤立导体球电容
例2 两半径为 R 的平行长直导线中心间距为 且 d , 求单位长度的电容 . d R 解 设两金属线的电荷线密度为
，
E E E E 2π 0 x 2π 0 (d x) d R d R P 1 1 V Edx ( )dx x 2 π x d x 0 R R x dx d R d E ln ln E π 0 R π 0 R d 单位长度的电容 C π 0 ln d
4
C 的电荷,边长 l
Q 10 6 C F 10 F V 100
Qd V Ed 0S
S l
0
2
l
Cd
10.6m
2 圆柱形电容器(cylindrical capacitor) （1）设两导体圆柱面单位长度上 分别带电
l RB
-+ - + RA -+ R B -+
Q 1 1 1 Q We ( ) 8 π R1 R2 2 4π R2 R1 R2 R1 讨论 2 R2 R1 Q （1） We C 4π R2 R1 2 C
（球形电容器电容） （ 2）
2
2
R2
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）
V
- - - - - - - - - dq
E
+
Q 1 1 2 We QV CV 2C 2 2
2
六.
静电场的能量
能量密度(energy density )
1 2 1 S 1 2 2 ( Ed ) E Sd We CV 2 2 2 d
1 1 2 ED 电场能量密度 we E 2 2
1 S1 1 2
S1
A
B
A
1
S2 d1
2
B
2 S2
d
d2
四. 带电系统的能量
要使一个系统带上电荷,外界必需对系统作功,即要消耗 能量,因此,带电系统便有了能量。
远处(设
时,外界作功
V 0 )迁来电量
dq
dA dq(V V ) dq(V 0) Vdq
q C C1 C2 V
• 各电介质层中的场强相同 • 相当于电容器的并联
6.5
电容 电场的能量
capacitance and capacitor
• • • 电容器的电容 孤立导体的电容 电容器的联接
一 . 电容器及其电容量(capacitor)
1.构成：两金属极板，其间充以电介质。 2.指标：电容量、 耐压 + + + + + +
回顾
E 0
导体内部无电荷。
只要处于静电平衡状态， 与导体 的形状、原来是否带电都无关。
空腔内无电荷时，导体所带电荷全部分布在外表面上，内 表面无电荷。
空腔内有电荷时，内表面因静电感应出现等值异号的电荷， 外表面除导体所带电荷外，还有感应电荷。
3、 有导体存在时静电场的分析方法
依据：电荷守恒，静电平衡条件，高斯定理 空腔导体可以屏蔽外电场, 整个 空腔导体和腔内的电势相等.
1 S1 1 2
V1 V2
V2 E2 d
V1 E1 d
A
B
D1 0 r1E1
D2 0 r 2 E2
D1 1
考虑到
D2 2
2 S2
d
q 1S1 2 S2
V
1S1
d
V
2 S2
d
V
qd 1S1 2 S2
电场空间所存储的能量
We we d
V
V
1 2 E d 2
例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R1 和 R2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？
1 Q 解 E e 2 r 4π r 2 R1 1 Q 2 dr we E 2 4 2 32π r r 2 Q dWe we d dr 2 R 2 8πr 2 2 R Q Q 1 1 2 dr We dWe ( ) 2 8π R1 r 8π R1 R2
, ( RA r RB ) （ 2） E 2π 0 r R RB dr Q （ 3） V ln R 2 π r 2 π 0l RA 0
B A
l
RB Q （4）电容 C 2 π 0l ln V RA
球形电容器的电容(spherical capacitor) 球形电容器是由半径分别为 R1和 R2 的两同心金 属球壳所组成．
(1)
3
(2) E
Q ），外球带负电（ Q ）． 设内球带正电（
Q百度文库
2
4π 0 r ( R1 r R2 ) (3) V E dl Q l 4 π 0
Q 1 1 ( ) 4π 0 R1 R2
(4)
er
R2
R1
dr r2
＋
R2
＋
＋
＋
R2 ,C 4π 0 R1
0 - 0
0
0 - 0
0
接地空腔导体使外部空间不受空腔内的 电场影响。接地导体电势取为零 4、 电介质与静电场的相互作用 无极分子位移极化 介质充满电场 电荷的产生：感应 电荷的数量：守恒
有极分子取向极化
电介质对电场的影响
E
E0
r
介质中电场减弱
r 通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷 的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。
V1
4 0 R1
q1
V2
4 0 R2
q2
R1Q q1 R1 R2
R2Q q2 R1 R2
Q Q Q C 4 0 R1 4 0 ( R1 R2 ) V V1 q1
解 E ( R1 r R2 ) 2π 0 r max Eb 2π 0 R1 R dr R2 V ln 2 π 0 R r 2 π 0 R1
2 1
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_ _ _ _
单位长度的电场能量 2 R2 1 We V ln 2 4 π 0 R1
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 We ln 4π 0 R1
max Eb 2π 0 R1 max 2π 0 Eb R1
2
R2 We π 0 E R ln R1 dWe R2 2 π 0 Eb R1 (2 ln 1) 0 dR1 R1 2 R2 10 3 R1 m 6.0710 m e e
当迁来总电量
Q 时,外界作功
A Vdq
0
Q
设该带电系统的能量为 We ,则
We A Vdq
0
Q
五.
电容器的电能
1 We C
q dWe Vdq dq C
Q
0
1 1 We QV CV 2 2 2
电容器贮存的电能
Q C V
Q qdq 2C
2
+++++++++
2 b 2 1
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
Vmax
R2 Eb R2 Eb R1 ln 9.10 103 V R1 2 e
思考题14-8
平行板电容器充电后，如果切断电源，使两极板间的距离增大。 问两极板间电势差、极板间场强、电容器电容如何改变？如果不 切断电源而增大两极板间距。则极板上电荷面密度、极板间场强、 电容器电容又如何改变？
计算题14-2 真空中半径分别为 R1 和 R2 的两个导体球，相距很远。今用 一细导线将两者相连接，并给系统带上电量Q 。求 （1）每个球上分配到的电量是多少？ （2）按电容定义式计算此系统的电容。 分析：相距很远，二者可视为孤立。用细导线相连后，为一 等势体。
q1 q2 Q
V1 V2 V q 1 q2 R1 R2
有电介质时的高斯定理
定义： D 0 r E E
E
E0
E0 r E
据图
S 当 D 为常矢量，可得： D 0 1 '
D ds 0 S
σ'
-
0
-
E ds q
S 0 i
i
0 1 E (σ0 ) 0
d
S
-
电容器电容
定义：电容器带电量与其电压之比
Q Q C V1 V2 V12
单位
Q
Q
1F 1C/V
1μF 10 F 12 1pF 10 F
6
70 厘米
12 厘米
高压电容器(20kV 5~21F) (提高功率因数)
聚丙烯电容器
(单相电机起动和连续运转)
2.5 厘米
2.5 厘米
+
+
+ +
- - - - - - - - - - - - - - - - -
1 ' (1 ) 0 r
0
+ + +
+ +
1
(σ 0 )S
σ ''
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
r
S
平板电容器中充介质的另一种情况 由极板内为等势体
d
S
+ + + + + +
Q E 0 0S
（3）两带电平板间的电势差
Qd V Ed 0S
（4）平板电容器电容
Q
Q
-
Q S C 0 V d
例1
平行平板电容器的极板是边长为 l 的正方
形，两板之间的距离 d 应取多大才行. 解
1mm .如两极板的电势差
4
为 100 V ，要使极板上储存 10
C
0S
d
E 0
U Ed
Q CU
Q S
电容器充电后切断电源，极板上的电量保持不变。 使两极板间的距离增大，则电容器电容减小； 两极板间的场强不改变；两极板间的电势差增大。 如果不切断电源而增大两极板间距，则两极板间的电势差 不变。 电容器电容减小；电容器极板上的电量减少； 极板上的电荷面密度减小；两极板间的场强减小。
涤纶电容 (250V0.47F)
陶瓷电容器 (20000V1000pF)
电解电容器 (160V470 F)
二
孤立导体的电容(capacitance of
isolated conductor)
Q C V
地球
Q 4 π 0 R Q 4 π 0 R
6
Q C V
4
RE 6.4 10 m, CE 7 10 F
电容量的大小仅与导体的形状、相对位置、其间 的电介质有关. 与是否带电、带电多少无关. 三 电容器电容的计算
步骤
1）设两极板分别带电 Q ； 2）求 E ； 3）求 V ；4）求C .
1 平板电容器(plate capacitor) （1）设两导体板分别带电 Q （2）两带电平板间的电场强度
导体的静电平衡
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
＇ E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
1、处于静电平衡状态的导体的电场和电势 导体内部任何一点处的电场强度为零 导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直 导体是等势体，导体表面是等势面 2、处于静电平衡状态的导体上 电荷的分布
2R
o
V
R
* 电容器的联接
(connection of capacitors)
１ 电容器的并联
C1
＋
(capacitors in parallel)
C C1 C2
２ 电容器的串联
C2
(capacitors in series)
＋
1 1 1 C C1 C2
C1
C2
平行板电容器，充有两种均匀电介质。
*P
＋
r
R1
＋
＋ ＋
孤立导体球电容
例2 两半径为 R 的平行长直导线中心间距为 且 d , 求单位长度的电容 . d R 解 设两金属线的电荷线密度为
，
E E E E 2π 0 x 2π 0 (d x) d R d R P 1 1 V Edx ( )dx x 2 π x d x 0 R R x dx d R d E ln ln E π 0 R π 0 R d 单位长度的电容 C π 0 ln d
4
C 的电荷,边长 l
Q 10 6 C F 10 F V 100
Qd V Ed 0S
S l
0
2
l
Cd
10.6m
2 圆柱形电容器(cylindrical capacitor) （1）设两导体圆柱面单位长度上 分别带电
l RB
-+ - + RA -+ R B -+
Q 1 1 1 Q We ( ) 8 π R1 R2 2 4π R2 R1 R2 R1 讨论 2 R2 R1 Q （1） We C 4π R2 R1 2 C
（球形电容器电容） （ 2）
2
2
R2
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）
V
- - - - - - - - - dq
E
+
Q 1 1 2 We QV CV 2C 2 2
2
六.
静电场的能量
能量密度(energy density )
1 2 1 S 1 2 2 ( Ed ) E Sd We CV 2 2 2 d
1 1 2 ED 电场能量密度 we E 2 2
1 S1 1 2
S1
A
B
A
1
S2 d1
2
B
2 S2
d
d2
四. 带电系统的能量
要使一个系统带上电荷,外界必需对系统作功,即要消耗 能量,因此,带电系统便有了能量。
远处(设
时,外界作功
V 0 )迁来电量
dq
dA dq(V V ) dq(V 0) Vdq
q C C1 C2 V
• 各电介质层中的场强相同 • 相当于电容器的并联
6.5
电容 电场的能量
capacitance and capacitor
• • • 电容器的电容 孤立导体的电容 电容器的联接
一 . 电容器及其电容量(capacitor)
1.构成：两金属极板，其间充以电介质。 2.指标：电容量、 耐压 + + + + + +
回顾
E 0
导体内部无电荷。
只要处于静电平衡状态， 与导体 的形状、原来是否带电都无关。
空腔内无电荷时，导体所带电荷全部分布在外表面上，内 表面无电荷。
空腔内有电荷时，内表面因静电感应出现等值异号的电荷， 外表面除导体所带电荷外，还有感应电荷。
3、 有导体存在时静电场的分析方法
依据：电荷守恒，静电平衡条件，高斯定理 空腔导体可以屏蔽外电场, 整个 空腔导体和腔内的电势相等.
1 S1 1 2
V1 V2
V2 E2 d
V1 E1 d
A
B
D1 0 r1E1
D2 0 r 2 E2
D1 1
考虑到
D2 2
2 S2
d
q 1S1 2 S2
V
1S1
d
V
2 S2
d
V
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