数学建模灰色预测法

则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
dt
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
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构造矩阵B与向量Y
B
1 ( X (1) (2) X (1) (1)), 2
1 ( X (1) (3) X (1) (2)), 2
1
1
... ...
1 2
(
X
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（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
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• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动 的规律，生成有较强规律性的数据序列， 然后建立相应的微分方程模型，从而预 测事物未来发展趋势的状况。
100%
i 1,2,..., n
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在建立模型后,还必须对模型进行精度检验,其 检验标准见表1。
表1 精度检验等级参照表
精度等级 一级(优) 二级(良) 三级(合格) 四级(不适用)
相对误差 Δ 0.01 0.05 0.1 0.2
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。
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（3）灰Leabharlann Baidu系统的应用范畴
• 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： • （1）灰色关联分析。 • （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
c. 计算后验差比值：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65
在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方 程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精 确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散 的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的 方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方 法。
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
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记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
生成列为：
X 1 X 11, X 12, X 13,...X 1n
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
k
X mk X m1 i i 1
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• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
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第五步：求关联度
12
1 4
4
12 k
k 1
0.551
13
1 4
4
13 k
k 1
0.717
14
1 4
4
14 k
k 1
0.621
计算结果表明，运输业和工业的关联程度
大于农业、商业和工业的关联程度。 X 2 为参考序列时，计算类似，这里略去。
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若对t 有σ(1) ( t) ∈[1 , 1+ δ] ,其中δ常取0.5 ,则
准指数规律满足,可对X(1) 建立GM(1 ,1) 模型,否 则需继续累加。
2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列X 1 X 11, X 12,..., X 1n
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第四步：计算关联系数
取ρ=0.5，有：
1i
k
i
0.11675
k 0.11675
,
i 2,3,4
从而：
12 1 1 12 2 0.503 123 0.3695 124 0.3333
131 1 132 0.8384 133 0.5244 134 0.504
14 1 1 14 2 0.634 14 3 0.4963 144 0.352
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第二步：求序列差 2 0, 0.1155, 0.1992, 0.2335
3 0, 0.0225, 0.1059, 0.1146 4 0, 0.0674, 0.1185, 0.2148
第三步：求两极差
M max max i k 0.2335
m min min i k 0
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• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
• 拓扑预测
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。
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二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得 到数据序列
其中:
①当- a < 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;
②当0.3 < - a < 0.5 时, GM(1 ,1) 模型可用于短期预 测,中长期预测慎用;
③当0.5< - a < 1 时, 应采用GM(1 ,1) 改进模型,包 括GM(1 ,1) 残差修正模型;
④当- a > 1 时,不宜采用GM(1 ,1) 模型,可考虑其他 预测方法。
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰 色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据 处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
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（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。 ➢累加
累加是将原始序列通过累加得到生成列。
(1)
(n)
X
(1)
(n
1)),
1
Y=(X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n))’
设 ˆ
为待估参数向量，ˆ
a
，则微分方程
可表示为
Y Bˆ
利用最小二乘法可得：
ˆ BT B 1 BTY
求解微分方程，即可得预测模型：
Xˆ
1 k
1
X
0 1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
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解答：
以 X1 为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1, 0.9475, 0.9235, 0.9138 X2 1, 1.063, 1.1227, 1.1483
X3 1, 0.97, 1.0294, 1.0294 X4 1, 1.0149, 0.805, 0.7
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
设原始数列为:
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
置入新信息X(0)(n+1),去掉老信息X(0)(1),可构成 新数列:
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
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式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k 为两级最大差；
ρ称为分辨率，0<ρ<1, 若越小，关联系数间
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检
验和后验差检验。
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
然后计算原始序列X 0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
0i X 0i Xˆ 0i i 1,2,..., n
i
0 i X 0i
测….等等。 • （3）灰色决策。 • （4）灰色预测控制。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时
间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
• 畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时
刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
差异越大，区分能力越强。一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。
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（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
r 1
n
k
n k 1
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下：
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
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➢累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X 1k X 0k X 0k 1
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三、关联度
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对其做累减还原，即可得到原始数列 的 灰色预测模型为:
Xˆ (0) (k) Xˆ (1) (k 1) Xˆ (1) (k)
由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态
势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数;
u 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,
在建立模型前必须对数列X (0) 进行准光滑性 检验,由ρ( t) = X(0) ( t) / X(1) ( t - 1) ,若对t >3有 ρ( t) < 0.5 , 则其满足准光滑条件;
然后检验数列X (1))是否具有准指数规律, 由 σ(1) ( t) = X(1) ( t) / X(1)( t - 1) ,
关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
（1）关联系数
设 Xˆ 0 k Xˆ 0 1, Xˆ 0 2,..., Xˆ 0 n
X 0 k X 0 1, X 0 2,..., X 0 n
则关联系数定义为：
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
好 合格 勉强合格 不合格
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3基于灰色预测的等维灰数递补模型
从灰色预测模型公式中可以看出，它是 一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一 年的预测结果应该是很精确的，但对后续几 年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模 型的广泛适用性，我们做出了如下的改进：对 原灰色模型等维灰数递补，即构造等维灰数递 补模型。
与原始序列 X 0i的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
n 1
工业 X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
农业 X2 (39.1, 41.6, 43.9, 44.9)
运输业 X3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5 商业 X4 6.7, 6.8, 5.4, 4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4, 试求关联度。
GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅 仅是数据X(n)以后的前几个数据，随着时间 的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所 以，要在原数据的基础上每次增加一个新信 息时，就去掉一个老信息。这种新数据补充、 老数据去除的数据列，由于其维数不变，因而 叫等维信息数据列，相应的模型叫等维灰数 递补模型，或叫新陈代谢模型。