函数的概念及性质综合应用

函数的概念及性质综合应用

1. 已知定义在R 上的函数)(f x 对任意实数y x ,恒有)(f )(f )(f y x y x +=+，且当0>x 时，

3

2)1(f ,0)(f -=

（2）证明：)(f x 在R 上是减函数；

（3）求函数)(f x 在[-3,6]上的最大值与最小值。

2. 已知函数c bx x x g b x x ++=+=2)(,2)(f ）（R c b ∈,，)

()()(x f x g x h =

.对任意的R x ∈，恒有)()(f x g x ≤成立.

（1）如果)(x h 为奇函数，求c b ,满足的条件； （2）当0=b 时，若)(x h 在[)∞+，2上为增函数，求实数c 的取值范围。

3. 已知函数)0()(f 2>-=m mx x x 在区间[0,2]上的最小值为)(g m .

（1）求函数)(g m 的解析式；

（2）定义在），（），（∞+⋃∞-00上的函数)(x h 为偶函数，且当0>x 时，)()(x g x h =.若

)4()(h t h >，求实数t 的取值范围.

4. 已知函数12)(2-+-=a x ax x f .

（1）若1=a ，求函数）（x f 的单调增区间；

（2）若21≤

a ，设）（x f 在区间[]2,1上的最小值为)(g a ，求)(g a 的表达式.

5.已知函数x

a x x f -=2)(的定义域为(]1,0（a 为实数）. （1）当a =1时，求函数)(x f y =的值域；

（2）求函数)(x f y =在区间(]1,0上的最值，并求出当函数)(x f 取得最值时x 的值.

6.已知函数x

a x x x f ++=2)(2，[)+∞∈,1x . （1）当2

1=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意[)+∞∈,1x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围.

7.已知函数)(x f 的定义域为()+∞,0，当1>x 时，0)(

)()()(y f x f y

x f -=. （1）求)1(f ；

（2）求证)(x f 在定义域上是减函数；

（3）如果)31(f =1，求满足不等式)(2)2(x f x f ≥--的x 的取值范围.

8.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +-=.

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）求关于m 的不等式0)1()1(2<-+-m f m f 的解集.

9.已知函数52)(2+-=ax x x f .

（1）若)(x f 是偶函数，求实数a 的值；

（2）当1>a 时，对任意[]a t ,1∈，记)(t f 的最小值为n ，最大值为m ，且3=+m n ，求实数a 的值.

10.设函数)(x f y =)0(≠∈x R x 且对定义域内任意21,x x ，恒有

)()()(2121x f x f x x f +=⋅

（1）求证：0)1()1(=-=f f ；

（2）求证：)(x f y =是偶函数；

（3）若)(x f 为),0(+∞上的增函数，解不等式0)21()(≤-+x f x f .

11.已知定义在R 上的函数)(x f 对任意的R b a ∈,，都有)()()(b f a f b a f +=+,当0>x 时，0)(

（1）判断)(x f 的奇偶性；

（2）若0)2()(2>-+-kx f kx f 对任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.

12.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，2)(x x f =.

（1）求)(x f 得函数解析式；

（2）若对任意的[]2,1+-∈a a x ，不等式)()(3a x f x f +≤恒成立，求实数a 的取值范围.

13.已知函数2)(2++-=ax x x f ，R a ∈.

（1）若函数)(x f 在[]1,1-上不单调，求实数a 的取值范围；

（2）记函数ax x g 2)(=，如果对任意的[]1,11-∈x ，[]1,12-∈x ，有不等式)()(21x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.

14. 已知函数1)(2++=bx ax x f 为实数）

（b a ,，R x ∈，0

),(0),({)(><-=x x f x x f x F . （1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为[)∞+，0，求）

（x F 的解析式； （2）在（1）的条件下，当[]2,2-∈x 时，kx x f x -=)()(g 是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设0+n m ，0>a ，且)(x f 为偶函数，判断)(n F m F +）

（能否大于零？并说明理由.