北京大学代数结构与组合数学信科 15春 代数结构与组合数学 曹永知 期中考试题
2022北京市师大附中高二下学期期中数学试卷及答案
2022北京师大附中高二（下）期中数 学本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。
一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案） 1. 若函数)(x f ＝sin x +cos x ，则)4('πf = A. -2B. 2C. 1D. 02. 4)1(xx +的展开式中，常数项是 A. 1B. 4C. 6D. 123. 某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为 A. 15B. 20C. 30D. 1204. 已知定义在［0，3］上的函数)(x f 的图像如下图，则不等式)('x f ＜0的解集为A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （0，1） （2，3）5. 已知nxx )2(2+的展开式中，各二项式系数和为64，则x 7的系数为 A. 15B. 20C. 60D. 806. 用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为 A. 36B. 48C. 60D. 727. 2022年4月4日至2022年7月3日期间，北京本地燃油机动车尾号限行规定为议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车只用一天，按此限行规定，周一到周五不同的用车方案种数为 A. 12B. 16C. 24D. 368. 如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为h ＝)(t f ，定义域为D ，设t 0∈D ，k 1，k 2分别表示)(t f 在区间［t 0-△t ，t 0］，［t 0，t 0+△t ］（△t ＞0）上的平均变化率，则A. k 1＞k 2B. k 1＜k 2C. k 1＝k 2D. 无法确定9. 设函数)(x f ＝x a e x ln -（其中a ∈R ，e 为自然常数），则“a ＜0”是“)(x f 在区间（0，+∞）上单调递增”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 当n ∈N 时，将三项式（12++x x ）n 展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在（1+ax ）（12++x x ）5的展开式中，x 8的系数为75，则实数a 的值为 A. 1B. -1C. 2D. -2二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若（1-2x ）5＝a 5x 5+a 4x 4+…a 1x +a 0，则a 0+ a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5＝_________。
北京大学高等代数 I_2013 期末答案
北京大学数学科学学院期末试题答案2013 -2014学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2014 年 1 月 2 日 姓 名 学 号一．（30分）填空题 .1. 已知 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01t 1t 101. 当 t = ±2 时, tr （A T A ）= 12 ； 当 t 取 t ≠ 0 值时, AX = 0 解空间的维数等于A 的秩 .2. 设A, B, C, D 为n 阶矩阵, 且A 可逆. 若有可逆的分块矩阵P , Q , 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡E 00A Q D C B A P , 其中E 是n 阶矩阵, 则P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n 1nI CA 0I ,Q = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n 1n I 0B A I (写出一种取法), 此时E = D – CA -1B .3．将矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡312451写成U D U -1的形式, U 为可逆矩阵, D 为对角矩阵, 则U =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1112, D = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡40001. (写出一种取法); 当k 趋于正无穷时,A k⎥⎦⎤⎢⎣⎡11趋于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232.4. 当 a 取 ( -1, 1 ) 值时, 三元二次型 f = x 12 + 2 x 22 + x 32 + 2 a x 1 x 2 – 2 x 2 x 3正定 ; 此时作变量替换 X = C Y , C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11100110011222a a a a , 可将 f 化为规范型.5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {B} {ACD}, 相似分类 {AC}{B}{D} ; 合同分类 {A}{B}{C}{D}.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2t 2t 40200D 201020102C 000030013B 100121003A ,,, (t 取任意实数) 6. 在三维欧氏空间中取定一个中心在原点的正六面体 C , 则恰有 48_ 个3阶正交矩阵A , 使得线性变换 X → A X 保持C 整体不变(顶点映成顶点), 这些正交矩阵中又恰有 _16_ 个矩阵迹等于0 .二.（12分）已知 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010022102, 且A X + I = A T + X , 求矩阵X .解: 移项, 得 ( A －I ) X = A T －I , 对 [ A －I | A T －I ] 作行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011012021101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→101110132210021101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→233100132210021101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→233100334010212001 于是 X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----233334212.三.（18分）设α 1 , α 2 , α 3 , α4是矩阵A = 的列向量.(1) 求子空间 V = < α1 , α2 , α3 , α4 > 的一组基底 ;(2) 当a , b 取何值时, 列向量 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 此时β在 (1) 中基底下的坐标是什么?⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-96390011541310113202解: (1) 对矩阵A T 作行变换, 得到简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=90513604023111091312A T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→01201604023111031110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→00000310000011030201 简化阶梯形矩阵的非零行构成A T 行空间的基底, 即β1 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡30201 , β2 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00110, β3 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡31000 构成V 的`一组基.(2) 若 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 则必有β = β1 + a β2 + b β3 . 比较第3, 第5个分量, 有 2 – a = 2 , 3 + 3b = 1 + a . 由此解得a = 0 , b = -2/3 .此时β在基底β1 , β2 , β3 下的坐标是 ( 1, 0, -2/3 ).四.（16分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 若A 是一个n 阶矩阵( n > 1 ), 则一定存在一个n 阶矩阵 B , 使得 B A 是 对角矩阵, 且B A 的秩等于A 的秩 . 解: 错误.反例: 取 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011. 若有矩阵B, 使得B A 是非零的对角矩阵, 则 B A 011≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. 但这是不可能的, 因为011A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-.2) 若A 是m 阶正定矩阵, B 是n 阶正定矩阵, 则对任意m ⨯n 实矩阵C, 都有|B ||A |BCC A T≤.解: 错误.反例: 取 A = I 2 , B = I 2 , C = 2 I 2 , 则有1|B ||A |93000030021002011020*********201BC C AT =>=--==.五.（24分）设α1 , α2 , α3 是矩阵A = 的列向量. (1) 求 A T A 的特征值与特征向量 ;(2) 求正交矩阵 P 及对角矩阵D , 使得A T A = P D P T ;(3) 在欧氏空间R 4的所有2维子空间里, 求一个子空间V (写出V 的一组标准正交基), 使得 α1 , α2 , α3的顶点到V 的距离平方和为最小. 确定这个最小值并说明理由.解: (1) A T A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222的特征多项式为942010422542110222542452222A A I T ----=-----=-----=-x x x x x x x x x x x ||= ( x － 1 )( x 2 －11 x + 10 ) = ( x －1 ) 2 ( x － 10 ) .故A T A 的特征值为1 (代数2重) 与 10 .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100221010001解齐次方程组 ( A T A － I ) X = 0 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-000000221442442221I A A T , x 1 = -2 x 2 + 2 x 3 , x 2 , x 3为自由变量得 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10201222323232321x x x x x x x x x于是特征值1的特征子空间的一组基为 β1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012, β2 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡102. 对β1 , β2 作Schmidt 正交化:β1 , β2 → β1 , β2 －),(),(1112ββββ β1 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01254102 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡54251 , 再单位化, 得到特征值1特征子空间的一组标准正交基γ1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-01251 , γ2 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡542531. 解齐次方程组 ( A T A － 10 I ) X = 0 , 对A T A － 10 I 作行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-000110102990452990990452114542452228I 10A A T ,容易看出, 特征值10 的特征子空间的一组基为β3 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-221 , 单位化后得到特征值10 特征子空间的标准正交基γ 3 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-22131.(2) 由于 γ 1 , γ 2, γ 3构成3维欧氏空间的标准正交基,P = [ γ 1 γ 2 γ 3 ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32535032534513153252 为正交矩阵. 令D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010001 , 则有 A T A = P D P T ;(3) 设列向量组ξ 1 , ξ 2 是所求2维子空间V 的一组标准正交基,记 B = [ ξ 1 ξ 2 ]. 则α i 到V 的正交投影可表示为( α i , ξ 1 ) ξ 1 + ( α i , ξ 2 ) ξ 2 = ξ 1 ξ 1T α i + ξ 2 ξ 2T α i = BB T α i 由勾股定理, α i 到V 距离的平方为|| α i － BB T α i || 2 = || α i || 2 － || BB T α i || 2= α i T α i － α i T ( BB T )T ( BB T ) α i = α i T α i － α i T B B T α i这里用到ξ 1 , ξ 2 是单位正交向量组, 故有B T B = I 2 .于是α1 , α2 , α3 到V 距离的平方和为 Tr( A T A ) － Tr( A T B B T A ) . 欲使以上距离平方和最小, 只需取单位正交向量组ξ 1 , ξ 2 , 使得 Tr( A T B B T A ) = Tr( B B T A A T ) 最大.由直接计算或利用(2)的结果(见注), 可得A A T = Q E Q T , 这里Q = [ η1 η2 η3 η4 ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10210325350101103900102103253451101103153252是正交矩阵, E = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000100000100001注意到 Tr( A T B B T A ) = Tr( B B T Q E Q T ) = Tr( Q T B B T Q E ) .令 C = Q T B . 设c 1 , c 2 , c 3 , c 4 是CC T 的对角元, 则c 1 + c 2 +c 3 + c 4 = Tr( CC T )= Tr( Q T B B T Q ) = Tr( B T B ) = 2 .又因为C = Q T B 的列向量组是单位正交向量组, 可扩充成欧氏空间R 4的标准正交基. 记C*是此标准正交基排成的正交矩阵, 则有0 ≤ c i = C 第i 个行向量长度的平方 ≤ C*第i 个行向量长度的平方 = 1 . 于是 Tr( A T B B T A ) = Tr( CC T E ) = c 1 + c 2 + 10 c 3 ≤ 11,等号可在 c 3 = 1, c 1 + c 2 = 1, c 4 = 0 取到, 例如取C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010010 , B = QC = [ η3 η1 ], 即V = < η3 , η 1 > 时, α1 , α2 , α3 到V 的距离 平方和为最小, 这个最小值为 Tr( A T A )－Tr( A T B B T A ) = 12－11 = 1 .注. 利用 (2) 的分解A T A = P D P T , 我们推得A A T A P = A P D 且 ( A P )T A P = P T A T A P = D .容易看出A P 的列向量A γ 1 , A γ 2 , A γ 3 是实对称矩阵A A T 的特征向量, 特征值分别为1, 1, 10 的特征向量; 且A γ 1 , A γ 2 , A γ 3两两正交, 长度的平方分别为1, 1, 10. 将A γ 1 , A γ 2 , A γ 3单位化, 令η1 = A γ 1 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-001251, η2 = A γ 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5042531, η3 =101A γ 3 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-29211031.再解 A A T X = 0 得A A T 的特征值0的单位特征向量 η4 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2121101. 则Q = [ η1 η 2 η 3 η4 ] 是正交矩阵, 且 A A T = Q E Q T .。
北京大学 离散数学 2007下学期期中考试试卷
2007下学期期中考试试卷姓名___________________学号 _____________________三总分一二(15) (16.1) (16.2) (17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)一 选择题（20%）:将所选择的答案填入下面表格中。
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)(1) 下面“p→q”的等价说法，不正确的是( )：(A) p是q的充分条件；(B) q是p的必要条件；(C) q仅当p；(D) 只有q才p。
(2) 下面不是命题的是：(A) ∀xP(x) (B) x∈{x}∪{{x}} (C) A-B=∅⇔A=B (D) ∀x(P(x)∨P(y))(3) 谓词公式∀x∃yP(x,y)的否定式为( )：(A) ∀x∃y(¬P(x,y)) (B) ∀x∀y(¬P(x,y)) (C) ∃x∀y(¬P(x,y)) (D) ∃x∃y(¬P(x,y))(4) 下面是一些运算的分配性表达式，不成立是( )(A) A∩(B⊕C) = (A∩B)⊕ (A∩C) (B) A∪ (B⊕C) = (A∪B)⊕ (A∪C)(C) (A⊕B)×C = (A×C)⊕(B×C) (D) (A－B)×C = (A×C)－(B×C)(5) 有关关系的逆关系的说法不正确的是( )：等价关系和相容关系的逆关系就是其本身；(A)(B) 偏序关系的逆关系仍然是偏序关系；全序关系的逆关系仍然是全序关系；(C)(D) 良序关系的逆关系仍然是良序关系；(6) 下面推理中，不正确的是(A) p⇒ p∨q (B) q⇒p→q (C) ¬q∧( p→q) ⇒q (D) ¬(p→q) ⇒¬q(7) 命题公式(p→q) ∨( p→q)的成真赋值有___个：(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 下列集合运算中( )是正确的。
2023-2024学年北京西城区师范大学第二附属中学高一(上)期中数学试题及答案
2023北京北师大二附中高一（上）期中数 学一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 已知集合{}1,0,2,3A =−，{21,}B xx k k ==−∈N ∣，那么A B =（ ）A. {}1,0−B. {}1,2−C. {}0,3D. {}1,3−2. 命题“x ∀∈R ，2230x x −+>”的否定为（ ） A. x ∀∈R ，2230x x −+< B. x ∀∈R ，2230x x −+≤ C. x ∃∈R ，2230x x −+<D. x ∃∈R ，2230x x −+≤3. 已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A. 11a b<B. a b <C. 0ab <D. 2ab b >4. 函数1111y x x=−+−的奇偶性是（ ） A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数，又是偶函数5. 函数()35f x x x =−−的零点所在的区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,46. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件7. 下图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A. B.C. D.8. 函数()221xf x x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.9. 设f （x ）是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x 1＜0且x 1+x 2＞0，则（ ） A. f （﹣x 1）＞f （﹣x 2） B. f （﹣x 1）＝f （﹣x 2）C. f （﹣x 1）＜f （﹣x 2）D. f （﹣x 1）与f （﹣x 2）大小不确定10. 已知函数()12f x m x x =−+有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1m > B. 01m << C. 12m <<D. 1m <−二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 函数()f x =______.12. 函数2122x x y ++=的值域是________．13. 若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________.14. 已知函数()221,111,1x x x f x x x⎧−+≤⎪=⎨−>⎪⎩，则()()1f f −=______；若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的解，则实数k 的取值范围是______.15. 若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =−−−≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________.三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =−−<，{}04B x x =<<. （1）求()UA B ⋂；（2）设非空集合{}23,D x a x a a =<<+∈R ，若UD A ⊆，求实数a 的取值范围.17. 已知函数()211f x x =+，[]2,5x ∈. （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求不等式()()121f m f m +<−的解集. 18. 已知2yx x ，且()1,1x ∈−.（1）求实数y 的取值集合M ；（2）设不等式()()20x a x a −+−<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围. 19. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+−≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知函数()f x 为二次函数，()f x 的图象过点()0,2，对称轴为12x =−，函数()f x 在R 上最小值为74. （1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈−，R m ∈时，求函数()f x 的最小值（用m 表示）； （3）若函数()()1F x f x ax =−−在()0,3上只有一个零点，求a 的取值范围.21. 设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯，其中121001?··205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉; （3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.参考答案一、单选题（共10小题，每题4分，共40分）1. 【答案】D 【分析】根据交集的定义可求A B ⋂.【详解】因为{21,}B xx k k ==−∈N ∣，故B 中的元素为大于或等于1−的奇数， 故{}1,3AB =−，故选：D. 2. 【答案】D【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2230x x −+>”，则其否定为“x ∃∈R ，2230x x −+≤” 故选：D 3. 【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案． 【详解】解：0a b <<， 0ab ∴>，故C 错误； 两边同除ab 得：11a b>，故A 错误； a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确； 故选D ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档． 4. 【答案】A【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.【详解】由函数解析式可知{}1,R x x x ≠±∈，即定义域关于原点对称， 又()()()11111111f x f x f x x x x x=−⇒−=−=−+−−+， 所以函数1111y x x=−+−是奇函数. 故选：A 5. 【答案】B【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可. 【详解】()33505f x x x x x =−−=⇒=+函数3y x =和函数5y x =+在同一直角坐标系内图象如下图所示：一方面()()()()()05,15,21,319,455f f f f f =−=−===，()()120f f <另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个， 故选：B 6. 【答案】A【详解】试题分析：方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=−≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确． 考点：充分必要条件 7. 【答案】C【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足. 【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 所以A 、B 、D 三个选项均不符合，只有选项C 符合题意. 故选：C . 8. 【答案】D【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项A 和B ，再利用特殊值即可排除选项C ，进而求解. 【详解】由题意可知：函数22()1xf x x =+的定义域为R ， 又因为2222()()11x xf x f x x x −−==−=−++， 所以函数()f x 为R 上的奇函数，故排除选项A 和B ； 又因为当0x >时，函数22()01xf x x =>+，故排除选项C ，故选：D . 9. 【答案】A 【分析】由条件可得()f x 在(),0∞−上是增函数，根据条件可得120x x >>−，所以()()12f x f x >−，从而得出答案.【详解】()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上是减函数 故()f x 在(),0∞−上是增函数因为10x <且120x x +>，故120x x >>−； 所以有()()12f x f x >−，又因为()()11f x f x −> 所以有()()12f x f x −>− 故选：A . 10. 【答案】A【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可. 【详解】令()11220f x m x m x x x =⇒=−=++，显然有0x ≠且2x ≠−且0m ≠， 于是有()()()()()2,0122,,22,0x x x x x x x x m ∞⎧+>⎪=+=⎨−+∈−−⋃−⎪⎩， 设()()()()()()2,022,,22,0x x x g x x x x x x ∞⎧+>⎪=+=⎨−+∈−−⋃−⎪⎩，它的图象如下图所示：因此要想函数()12f x m x x =−+有三个零点，只需0111m m <<⇒>，故选：A【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11. 【答案】(),1−∞【分析】利用二次根式的意义计算即可. 【详解】由题意可知101x x −>⇒<， 即函数的定义域为(),1−∞. 故答案为：(),1−∞ 12. 【答案】(0,1]【分析】根据二次函数的性质求解2()22f x x x =++的范围可得函数2122x x y ++=的值域【详解】解：由22()22(1)1f x x x x =++=++，可得()f x 的最小值为1， 2122y x x ∴=++的值域为(0，1]．故答案为：(0，1]．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择． 13. 【答案】112【分析】运用基本不等式得出31x y +=≥，化简求得112xy ≤即可. 【详解】正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤， 当且仅当12x =，16y =时等号成立. 故答案为112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.14. 【答案】 ①. 34−②. ()0,1 【分析】利用分段函数代入解析式求函数值即可得第一空，利用函数的单调性结合图象得第二空. 【详解】易知()()()()314144f ff f −=⇒−==−，又1x ≤时，()22211y x x x =−+=−单调递减，且min 0y =，110x x >⇒>时，11y x=−单调递减，且10y −<<， 作出函数()y f x =的图象如下：所以方程()f x k =有两个不同解即函数()y f x =与y k =有两个不同交点， 显然()0,1k ∈. 故答案为：34−；()0,1 15. 【答案】()3,2−−【分析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有0k <满足，若集合A 的元素个数最少，由0k <，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k−<+<−即可求解. 【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z −−−≥∈，故 当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<； 当0k >时， 2(6)(4)0kx k x −−−≥可转化为24060x kx k −≥⎧⎨−−≥⎩ 或24060x kx k −≤⎧⎨−−≤⎩，因为64k k <+， 所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当0k <时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个. 综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当0k <时，集合A 的元素个数为有限个，故当0k <时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k=+（0k <），则26()1f k k '=−，令()0f k '= 解得k =()f k 在(,−∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==−，又因为x ∈Z ，54−<−<−，所以当654k k−<+<−，即32k −<<−时， 集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k −<<− 故答案为:()3,2−−【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题（共6小题，共85分）16. 【答案】（1）{}34x x ≤< （2）][()3,23,−−⋃+∞【分析】（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，然后利用补集和交集运算求解即可； （2）根据集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】因为{}2230A x x x =−−<，所以{}13A x x =−<<， 所以{}13UA x x x =≤−≥或，因为{}04B x x =<<，所以(){}34U A B x x ⋂=≤<.【小问2详解】 因为{}13UA x x x =≤−≥或，由题意得23231a a a <+⎧⎨+≤−⎩或233a a a <+⎧⎨≥⎩，解得32a −<≤−或3a ≥.所以实数a 的取值范围是][()3,23,−−⋃+∞.17. 【答案】（1）()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明见解析 （2）322mm ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据函数单调性的定义即可作差求解， （2）由函数的单调性即可求解. 【小问1详解】()f x 在[]2,5x ∈单调递减，证明如下：设1225x x ≤<≤，则()()()()()()21211222221212111111x x x x f x f x x x x x −+−=−=++++， 由于1225x x ≤<≤，所以()()222121120,0,110x x x x x x −>+>++>，因此()()120f x f x −>，故()()12f x f x >，所以()f x 在[]2,5x ∈单调递减，【小问2详解】由（1）知()f x 在[]2,5x ∈单调递减，所以由()()121f m f m +<−得51212m m ≥+>−≥，解得322m ≤<， 故不等式的解集为322m m ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭18. 【答案】（1）124M y y ⎧⎫=−≤<⎨⎬⎩⎭（2）14a <−或94a > 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解集合M ．（2）x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆，对a 分类讨论，解出不等式()(2)0x a x a −+−<的解集，可得a 的取值范围．【小问1详解】221124y x x x ⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭， 故函数在11,2⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故当12x =时取最小值min 14y =−，当=1x −时，2y =，当1x =时，0y =， 故124y −≤<，所以124M y y ⎧⎫=−≤<⎨⎬⎩⎭， 【小问2详解】x ∈N 是x M ∈的必要条件，即M N ⊆．当1a >时，2a a >−，此时(2,)N a a =−, 所以1242a a ⎧−<−⎪⎨⎪≥⎩，解得94a >； 当1a =时，N 为空集，不适合题意，所以1a =舍去；当1a <时，2a a <−，此时(,2)N a a =−，所以1422a a ⎧<−⎪⎨⎪−≥⎩，解得14a <− 综上可得a 的取值范围是14a <−或94a > 19. 【答案】（1）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧−+−<<⎪=⎨−++≥⎪⎩； （2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+−≥⎪⎩万元， 因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧−+−<<⎪=−−=⎨−++≥⎪⎩， 所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧−+−<<⎪=⎨−++≥⎪⎩. 【小问2详解】由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =−−+≤，当且仅当30x =时取等号， 当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =−++≤−=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.20. 【答案】（1）217()()24f x x =++（2）min 2(),422373(),242f x m m m =−≤≤⎨⎪⎪−+>⎪⎩（3）13[,3{})3+∞⋃． 【分析】（1）设出函数的解析式，结合函数的对称轴以及函数最值，求出函数的解析式即可； （2）通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（3）根据一元二次方程根的分布，结合零点存在性定理得到关于a 的不等式，解出即可．【小问1详解】设函数2()()f x a x h k =−+， 由对称轴为12x =−，函数()f x 在R 上最小值为74可得 得217()()24f x a x =++，将(0,2)代入()f x 得：1a =， 故217()()24f x x =++； 【小问2详解】()f x 的对称轴为12x =−， 12m ≤−时，()f x 在[2m −,]m 递减， 2min 17()()()24f x f m m ==++， 1322m −<<时，()f x 在[2m −,1)2−递减，在1(2−,]m 递增， 故min 17()()24f x f =−=， 32m ≥时，()f x 在[2m −,]m 递增， 故2min 37()(2)()24f x f m m =−=−+；综上，min 2(),422373(),242f x m m m =−≤≤⎨⎪⎪−+>⎪⎩； 【小问3详解】2217()()1()1(1)124F x f x ax x ax x a x =−−=++−−=+−+在(0,3)上只有一个零点， 当Δ0=时，即()2140a ∆=−−=，解得3a =或1a =−当1a =−时，2210x x ++=，=1x −不满足题意，舍去，当3a =时，2210x x −+=，1x =满足题意，当0∆>时，当()(0)30F F ⋅<，解得133a >，此时()F x 在(0,3)上只有一个零点， 由于(0)1F =，当()31330F a =−=时，此时133a =，此时210()103F x x x =+=−， 解得13x =或3x =（舍去），满足条件， 综上可得133a ≥， 综上：a 的取值范围是13[,3{})3+∞⋃． 21. 【答案】（1）{1,2,3,,100}A =（2）证明见解析 （3）16个 【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A =； （2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A 中至多5个元素.设100100m a b −=≤，先通过判断集合A 中前100m −个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =−≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A =； （2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b −=， 由题意，得12100200m a a a −<<<≤，10011002100200m m a a a −+−+<<<<， 由（2）知，100100m a b −=≤．假设100b m >−，则1000b m −+>．因为10010010055100b m m −+−+=<−≤，由题设条件，得100100m b m a a A −−++∈，因为100100100100200m b m a a −−+++=≤，所以由（2）可得100100100m b m a a −−++≤，这与100m a −为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m −−≤，又因为121001m a a a −<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =−≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m −元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =−，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
2015北京大学计算数学专业考研(数学科学学院)专业目录招生人数参考书目历年真题复试分数线答题方法
E 是单位变换)
7、(12 分)、V 是内积空间， , 是 V 中两个长度相等的向量，证明必存在某个正交变换， 将 变到 。 8、(12 分)、A 是复矩阵，B 是幂零矩阵，且 AB=BA，证明|A+2010B|=|A|。 9、(11 分)、求过 z 轴且与平面 x 2 y 3z 1 夹角为 60 的平面的方程。
三、2015年北京大学计算数学专业考研参考书
科目 601数学基础考试1 (数 学分析) 书名 《数学分析》 《数学分析解题指南》 蓝以中 作者 方企勤 出版社 上海科学技术出 版社 北京大学出版社 北京大学出版社
801数学基础考试2 (高 《高等代数简明教程》
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(2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系 X’O’Y’，求在此坐标系中 f 的变换公式。 12、(12 分)、用不过圆锥顶点的平面切割圆锥，证明所截的曲线只可能为椭圆、双曲线和抛 物线。并说明曲线类型随切割角度的变换规律。
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0
xf ( x)dx 与
0
f ( x) dx 均收敛 x
0
x t f ( x)dx 在 (1,1) 上有定义，并且有连续导函数。
其中 为 x xdy ydz zdx ，
2
8、 (15 分)、 计算曲线积分 I
y 2 z 2 1与 x y z 0
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简答题采用“定义+框架+总结”答题法。 首先把题干中涉及到的最重要的名词(也叫大概念)进行阐述， 就像解答名词解释一样。这一环节不能省略，否则无意中丢失很多的 分数，这是很多考生容易忽视的一点。 读懂题意，列要点进行回答。回答要点一般 3-5 点，每条 150-200 字。 进行简单的总结，总结多为简单评析或引申。 【答题示范】 ： 例如“简答公共财政的职能。 ” 第一，公共财政的定义。(不能缺少) 第二，公共财政的 3 大职能。(主体部分) 第三，总结评析。 【简答题答题注意事项】 ： 第一，在回答简答题的时候，要采取“总-分-总”答题结构。即 在回答要点 之前进行核心名词含义的阐释，最后写几句起总结的话，这样不会给 人一种太突兀的感觉。 第二，在回答的时候字数一般在 600-800 为佳，时间为 15-20 分钟。通常字数应该是本题分值的至少 30 倍，即， 1 分至少 30 个字。 第三，如果课本没有明确答案，那你也不能拍脑门乱写，好的策 略是向课本靠拢， 将相关的你能够想到的内容往 4×150 里套就行了。
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
2022-2023学年北京市昌平区高一下学期期中诊断数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市昌平区高一下学期期中诊断数学试题一、单选题1．i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a 的值为（ ）(12i)(i)a -+A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答.【详解】，而，且复数是纯虚数，(12i)(i)(2)(12)i a a a -+=++-R a ∈(12i)(i)a -+所以，解得.20120a a +=⎧⎨-≠⎩2a =-故选：B2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=a =2c =2cos 3A =ABC ．2D ．3【答案】D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【解析】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为，则,a b1（ ）⋅=a bA ．B ．C ．D ．44--【答案】C【分析】由图形可求得，由向量数量积定义可求得结果.,,,a b a b <>，，，=2b =3,244a b πππ<>=+= .cos ,4a b a b a b ⎛∴⋅=⋅<>==- ⎝故选：C.4．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的a →b →0a b →→∙>a →b →A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为0a b ⋅> a b a b锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.0a b ⋅> 0a b ⋅> ab 5．如图，P 是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP 异面1111ABCD A B C D -11A C 的是（ ）A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线AC1DD 1B C1AD 【答案】D【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.【详解】对于A ，连接，设，11,BD B D 1111A C B D Q⋂=由，当点位于点时，与共面；11BB DD ∥P Q BP 1DD 对于B ，当点与重合时，直线与直线相交；P 1C BP 1B C 对于C ，因为且，所以四边形为平行四边形，11AB C D ∥11AB C D =11ABC D所以，11AD BC ∥当点与重合时，与共面；P 1C BP 1AD 对于D ，连接，AC 因为平面，平面，平面，，P ∉ABCD B ∈ABCD AC ⊂ABCD B AC ∉所以直线BP 与直线AC 是异面直线.故选：D.6．已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）a b 120︒a b -b A ．B ．C ．D ．12b - 12b 32b -32b 【答案】C【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.【详解】因为两个单位向量和的夹角为120°，a b所以，11cos1201122a b a b ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=-⎪⎝⎭ 所以，()213122a b b a b b -⋅=⋅-=--=-故向量在向量上的投影向量为．a b - b ()32a b b b b b b-⋅⋅=-故选：C.7．如图，在中，点，满足，.若，则ABC D E 2BC BD = 3CA CE =DE x AB y AC =+(,)x y R ∈（ ）x y +=A ．B ．12-13-C ．D ．1213【答案】B【解析】利用平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理可得DE 1126AB AC=-+，从而可得答案.11,26x y =-=【详解】因为DE AE AD =- 23AC AB BD =--2132AC AB BC=-- 21()32AC AB AC AB =---，1126AB AC=-+又，DE x AB y AC =+ 所以，11,26x y =-=所以.111263x y +=-+=-故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题.8．已知在中，a 的取值范围是ABC 60,∠==B b （）A ．B ．{0aa <<∣{0aa <<∣2}a =C ．D ．{0aa <≤∣{0aa <≤∣2}a =【答案】D【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.【详解】由正弦定理可得，sin 2sin sin ===ba A A A B若满足条件的三角形有且只有一个，则或，060<≤A 90A = 所以，0sin A<≤sin 1A =可得或.0a <≤2a =故选：D.9．已知、是异面直线，是、外一点，经过点且与、都相交的直线有（ ）a b P a b P a b A ．至少1条B ．最多1条C ．有且只有1条D ．可能为0条也有可能多于1条【答案】B【分析】利用构造法说明可以存在条或条，利用反证法说明不存在条以上的直线符合题意，即102可判断.【详解】解：设与所确定的平面为，若与交于点，当不平行于时，与异面直P a ααb Q PQ a PQ 线、都相交，a b 当或时，过点与异面直线、都相交的直线不存在；//PQ a //b αP a b 假设有过点的两条直线、都与异面直线、相交，相交直线、共面，P m n a b m n β则直线、上分别有两点在面上，所以直线、在面内，与、异面矛盾.a b βa b βa b 故选：B10．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，α该八边形的面积为A ．；B ．2sin 2cos 2αα-+sin 3αα+C ．D ．3sin 1αα+2sin cos 1αα-+【答案】A【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知()221112cos 22cos S αα=+-=-识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积21411sin 2sin 2S αα=⨯⨯⨯⨯=.故本题正确答案为A.122sin 2cos 2S S S αα=+=-+【解析】余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用1111sin sin 22S αα=⨯⨯⨯=42sin S α=余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积()22112cos α+-，最后得到答案.()221112cos 22cos S αα=+-=-二、填空题11．设，则等于__________．13i 1i z +=+||z【分析】利用复数除法运算求出复数，再利用共轭复数与模的意义计算作答.z 【详解】依题意，，，(13i)(1i)42i2i(1i)(1i)2z +-+===++-2i z =-所以||z ==12．已知O 为坐标原点，，，若，则实数m 的值为______．()1,2A (),6B m OA AB ⊥【答案】7-【分析】由题设得，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可.(1,2),(1,4)OA AB m ==-【详解】由题设，又，(1,2),(1,4)OA AB m ==- OA AB ⊥ 所以，可得.180OA AB m ⋅=-+=7m =-故答案为：7-三、双空题13．在中，，则__________；若D 为BC 中点，则ABC 12035A b c =︒==，，=a __________．AD =【答案】7【分析】由余弦定理可求出；再由，两边同时平方代入可求出.a ()12AD AB AC=+ AD【详解】因为，由余弦定理可得：12035A b c =︒==，，，则.22212cos 925235492a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭7a =D 为BC 中点，则，两边同时平方可得，()12AD AB AC=+，()222111192cos 2592534424AD AB AC AB AC BAC ⎛⎫=++⋅∠=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭故答案为：714．已知函数．则函数的一个零点为__________；若[]π()2sin ,0,3π3f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()f x ，使得，则的最小值与最大值之和为[]123123,,0,3π,x x x x x x ∃∈≠≠()()()123f x f x f x ==123x x x ++__________．【答案】（和均可）2π35π38π323π3【分析】令，即可得出函数的零点，作出函数[]π()2sin 0,0,3π3f x x x ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭的图象，结合图象分别求出的最小值和最大值，即可得解.[]π()2sin ,0,3π3f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭123x x x ++【详解】由，得，[]0,3πx ∈ππ10π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，[]π()2sin 0,0,3π3f x x x ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭则或或，所以或或，ππ3x +=2π3π2π3x =5π38π3即函数的一个零点为（和均可），()f x 2π35π38π3如图，作出函数的图象，[]π()2sin ,0,3π3f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭当的图象与直线个交点依次为，()f x y =3123,,x x x 此时最小，123x x x ++令，π()2sin 3f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭123π0,,2π3x x x ===所以的最小值为，123x x x ++π7π02π=33++当的图象与直线，此时最大，()f x y =123,,x x x 123x x x++令，解得，π()2sin 3f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1234ππ,,3π3x x x ===所以的最大值为，123x x x ++4π16ππ3π=33++所以的最小值与最大值之和为.123x x x ++7π16π23π333+=故答案为：（和均可）；.2π35π38π323π3四、填空题15．关于函数，有下列结论：π()4sin(2)(R)3f x x x =+∈①的图象关于点对称；()y f x =π(,0)6-②的图象关于直线对称；()y f x =π6x =-③的表达式可写成；()y f x =π4cos(2)6y x =-④若，则必是的整数倍．12()()0f x f x ==12x x -π其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③【分析】根据给定条件，代入验证判断①②；利用诱导公式变形判断③；求出的解判断④()0f x =作答.【详解】函数，π()4sin(2)(R)3f x x x =+∈因为，的图象关于点对称，①正确，②错误；πππ()4sin[2(0663f -=-+=()y f x =π(,0)6-，③正确；πππ()4sin[(2)]4cos(2)626f x x x =-+=-由，得，则，即，()0f x =πsin(2)03x +=π2π,Z 3x k k +=∈ππ,Z 26k x k =-∈而，则，即，12()()0f x f x ==121212ππππ,,,Z 2626k k x x k k =-=-∈1212π2k k x x --=而，有，不一定是整数，因此④错误，12,Z k k ∈12Zk k -∈122k k -所以所有正确结论的序号是①③.故答案为：①③16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱ABC 洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为,A B P AB ()PA PB PC ⋅+______．【答案】10-【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形2322PE -的几何意义求解即可.【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，D BCE AD 则()()22()PA PB PC PA PD PE EA PE ED⋅+=⋅+=⋅+，()()()2222PE EA PE EA PE EA=⋅-=-+在正三角形中，ABCAD ===所以AE DE ==所以，()222()3222PA PB PC PE EA PE -==⋅+-因为，CE ===所以，min22PECE =-= 所以的最小值为：()PA PBPC ⋅+.22332221022PE ⎛-=-=- ⎝ 故答案为：10-五、解答题17．如图，四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，E 是PD 上的点．P ABCD -(1)若E 、F 分别是PD 和BC 中点，求证：平面PAB ；//EF (2)若平面AEC ，求证：E 是PD 中点．//PB 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利PA G BG EG BFEG //EF BG 用线面平行的判定定理可证平面；//EF PAB （2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得BD AC H EH //PB ACE ，且为中点，可证E 是PD 中点．//PB EH H BD【详解】（1）证明：取中点，连接，，PA G BG EG 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且，PAD E G //EG AD 1=2EG AD 又因为底面ABCD 为平行四边形，为的中点，F BC 所以，且，//BF AD 1=2BF AD 所以，且，//EG BF =EG BF 所以四边形为平行四边形，BFEG 所以，因为平面，平面，//EF BG EF ⊄PAB BG ⊂PAB 所以平面；//EF PAB （2）连接，交于，连接，BD AC H EH 因为平面，平面，平面平面，//PB ACE PB ⊂PBD PBD ACE EH =所以，在中，为中点，//PB EH PBD △H BD 所以为中点.E PD18．已知函数．2()sin cos cos f x x x x =+(1)求的值；π4f ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)求的最小正周期；()f x (3)求在区间上的最大值和最小值．()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)0；(2)；π(3)0.【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再代入求值作答.()f x （2）由（1）中函数，结合正弦函数周期性求出最小正周期作答.()f x（3）求出的相位的范围，瑞利用正弦函数的性质求出最值作答.()f x【详解】（1）依题意，，111π1()sin 2cos 2)22242f x x x x =++=++所以.π111())])(04222πππ444f =++=+=---+=（2）由（1）知，函数的最小正周期π1())42f x x =++2ππ2T ==（3）由（1）知，函数，当时，，π1())42f x x =++π[0,2x ∈ππ5π2[,444x +∈因此当，即时，，即时，， ππ242x +=π8x =max ()f x =π5π244x +=π2x =min ()0f x =所以在区间0.()f x π[0,]219．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，1111P A B C D -下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．1111ABCD A B C D -1O O 1PO(1)若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？6m AB =12mPO =(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m ，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积1PO 是多少？【答案】(1)3312m(2)当时，正四棱柱侧面积最大，最大为1mPO =2m【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算；（2）设，正四棱柱侧面积用x 表示，利用基本不等式求最大值.1mPO x =【详解】（1）∵，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，∴．12m PO =1O O1PO 18m O O =所以仓库的容积22316268312m 3V =⨯⨯+⨯=（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，设，1mPO x =则，，．14mO O x=11mA O =11mA B =∴正四棱柱侧面积，)4406S x x =⋅=<<∴，S =≤当且仅当．x =x=2max m S =所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为．1mPO =2m 20．若存在△ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(1)求A的大小；(2)求和a 的值.cos B 条件①：；sin C =条件②：；1b a -=条件③：；5cos 2b A =-条件④：.73a c=【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】若选择①②④：(1)由正弦定理可得的值，结合，可求，即可得解的值；sin A 1b a -=02A π<<A (2)由题意可得，可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形a c >02C π<<cos C 内角和定理，两角和的余弦公式可求，进而可求，利用正弦定理即可求解的值．cos B sin B a 若选择①③④：(1)利用正弦定理可得的值，由于，可得范围，即可求解的值；sin A 5cos 2b A =-2A ππ<<A (2)由题意利用大边对大角可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角02C π<<cos C和的余弦公式可求，进而可求，由于，可求的值，根据正弦定理可得．cos B sin B 5cos 2b A =-b a 【详解】（1）共有①②③、①②④、①③④、②③④四种选法，根据条件②可知b ＞a ，B ＞A ，则A 为锐角；根据条件③可知cos A ＜0，A 为钝角；故②和③不能同时选择，故仅可选①②④或①③④.若选择①②④：∵，，由正弦定理可得73a c =sin C =sin sin a C A c ⋅==∵，∴，可得，可得．1b a -=a b <02A π<<3A π=若选择①③④：∵，，由正弦定理可得73a c =sin C =sin sin a C A c ⋅==在中，∵，∴，∴．ABC 5cos 2b A =-2A ππ<<23A π=（2）若选择①②④：在中，，∴，∴，ABC73a c =a c >02C π<<∵，sin C=13cos 14C ==∴，1131cos cos[()]cos()sin sin cos cos 2147B A C A CA C A C π=-+=-+=-⨯=-∴，sinB ==，可得，=78b a =∵，∴．1b a -=7a =若选择①③④：在中，∵，∴，∴，ABC73a c =a c >02C π<<∵，sin C=13cos 14C ==∴，11311cos cos[()]cos()sin sin cos cos 21414B A C AC A C A C π=-+=-+=-⨯=∴sin B ==∵，∴，由正弦定理可得．5cos 2b A =-52512b -==-sin 7sin b Aa B⋅===21．集合A 中的元素个数记为，若且，则称M 为集合A 的二元子集．已知集合||A M A ⊆||2M =．若对集合A 的任意m 个不同的二元子集，均存在集合B 同时满{1,2,,}(3)A n n =≥ 12,,m A A A 足：①；②；③，则称集合A 具有性质．B A ⊆||B m =1(1)i B A i m ≤≤≤ ()P m (1)当时，若集合A 具有性质，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值；3n =()P m (2)当时，判断集合A 是否具有性质？并说明理由；6n =(4)P (3)若集合A 具有性质，求n 的最小值．(2023)P 【答案】(1)答案见解析(2)不具有，理由见解析(3)4045【分析】（1）根据集合A 具有性质的定义即可得出答案；()P m （2）当时，利用反证法即可得出结论；6n =（3）首先利用反证法证明，然后证明，当时，2202314045n ≥⨯-=min 4045n =4045n =，再结合抽屉原理分析即可得出结论.1220234046A A A n+++=> 【详解】（1）当时，，3n ={1,2,3}A =则集合A 的所有二元子集为，{}{}{}1,2,1,3,2,3满足题意得集合可以是：，此时，B {}{}{}1,2,31m =或者也可以是，此时；{}{}{}1,2,1,3,2,32m =（2）集合A 不具有性质，理由如下：(4)P 假设存在集合，即对任意的，，，B 1234,,,A A A A 4B =1(14)i B A i ≤≤≤ 则取，{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====此时由于，由抽屉原理可知，必有，4B =2(23)i B A i =≤≤ 与题设矛盾，假设不成立，所以集合A 不具有性质；(4)P （3）首先证明，2202314045n ≥⨯-=反证法：假设，由集合具有性质，220232*********n ≤⨯-=⨯=A ()2023P则存在集合，对于任意，，，B 122023,,A A A 2023B =1(12023)i B A i ≤≤≤ 则任取，{}{}{}{}12320221,2,3,4,5,6,,220221,22022A A A A ====⨯-⨯ ，{}20231,22022A =⨯此时由于，由抽屉原理可知，必有，2023B =002(12022)i B A i =≤≤ 与题设矛盾，假设不成立，因此，4045n ≥然后证明：，min 4045n =当时，，4045n =1220234046A A A n+++=> 由抽屉原理可知，存在，()12023i j A A i j ⋂≠∅≤≤≤不妨设为，取，20222023A A ⋂≠∅()020222023,12021i i a A A a A i ∈⋂∈≤≤设，此时，{}012021/,,,B A a a a = 404520222023B ≥-=且，()112023i B A i ⋂≤≤≤故符合题意，4045n =综上所述，.min 4045n =【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：15 组合与构造 Word版含答案
G = (V , E ) 是一个简单图，且 G 是连通的，则 G 含有 ⎢ ⎥ 个两两无公考虑 G 中的最长路 P : v 1v 2 v ，其中 v v 情形 1 ： deg (v ) ≥ 2 , 由于 P 是最长路， v 1 的邻点均在 v 2 ．, v 故 u 的邻点均在 v 21981 年~2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编组合与构造部分2019A 四、（本题满分 50 分）设 V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连 有线段，记 E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数 n ，满足条件：若 E 至 少有 n 个元素，则 E 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线 段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．★解析：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角” ⎡ E ⎤先证明一个引理：设 ⎣ 2 ⎦共边的角（这里 [a ]表示实数 a 的整数部分）．引理的证明：对的元素个数 E 归纳证明．当 E = 0,1,2,3 时，结论显然成立．下面假设，并 且结论在较小时均成立．只需证明，在 G 中可以选取两条边 a, b 构成一个角，在 G 中删去 a, b 这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含 E - 2 条边．对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立．v 是互不相同的顶点．因为 G 连通，故 k ≥ 3 .k 1 2 kv 中，设 v v ∈ E ，其中1 k 1 i3 ≤ i ≤ k ．则 {v v , v v }是一个角，在 E 中删去这两条边．若 v 处还有第三条边，则剩下的1 2 1 i 1图是连通的；若 v 处仅有被删去的两条边，则 v 成为孤立点，其余顶点仍互相连通．总之在11剩下的图中有一个连通分支含有 E - 2 条边．情形 2：deg (v ) = 1 ， deg (v 12) = 2 ．则 {vv vv12 23} 是一个角，在 G 中删去这两条边后，1, v 2都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有 E - 2 条边．情形 3：deg (v ) = 1 ，deg (v 12) ≥ 3 ，且 v2与 v 4v 中某个点相邻．则 {v v , v v }是一个角，k 1 2 2 3在 G 中删去这两条边后，v 1 成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有 E - 2 条边．情形 4： deg (v ) = 1 ， deg (v ) ≥ 3 ，且 v 与某个 u ∉{v , v , v }相邻．由于 P 是最长路，1 2 2 1 3 kv 之中．因 {v v , v u }是一个角，在 G 中删去这两条边，则 v 是孤立 k1 221点．若 u 处仅有边 uv 2 ，则删去所述边后 u 也是孤立点，而其余点互相连通．若u 处还有其他 边 uv i ， 3 ≤ i ≤ k ，则删去所述边后，除v 1 外其余点互相连通．总之，剩下的图中有一个连通 分支含有 E - 2 .引理获证．………………20 分回到原题，题中的V 和 E 可看作一个图 G (V , E )． 首先证明 n ≥ 2795 ．设 V = {v , v , v }．在 v , v ,, v 中，首先两两连边，再删去其中15 条边（例 如1 2 2019 1 261{v v , v vv v }），共连了 C 2 - 15 = 1815 条边，则这 61 个点构成的图是连通图．再将剩1 2 1 3 1 16 61余的 2019 - 61= 1958个点配成 979 对，每对两点之间连一条边，则图 G 中一共连了 1815 + 979 = 2794 条线段．由上述构造可见， G 中的任何一个角必须使用 v , v , , v 相连1261⎥⎦ = 907 个两两无公共边的角．故满足要求的 n 不小于 2795 ．…… 的边，因此至多有 ⎢反证法，假设 e 1 , e 2 , 981都是奇数，显然i∑ e≤ C 2 + ∑ C 2 ，利用组合数的凸性，即对 x ≥ y ≥ 3 ，有 C 2 + C 2 ≤ 2C +2 C i, m , m 由 980 个 2 以及一个 59 构成时， C 2 + ∑ C 2 取得最大值．于是 980mm2795 ≤ C 2 + ∑ C 2 ≤ C 2 + 980C 2 = 2691 < 2795 ，这与①矛盾．从而e , e , m i N = ∑ ⎢ i ⎥ ≥ ∑ e - 979 ⎪ = (2795 - 979) = 908 。
数学奥赛培训北大教授代数 数论 几何 组合的解题技巧
f
md
m
m Hale Waihona Puke 1
1
m
,
m
1,
2,
3,
f m,２ m m 1 m , m 1, 2,3,
记x＝1，y＝1 1 ，则x，y为无理数且 1 1 ＝1。则
xy
xm | m＝1，2，3， ，ym | m＝1，2，3， 合起来恰好组成正整数列，
由于 pn pn 1 1 ＝ pn
pq pq pq pq
pn 1
p
q
pn pq
pn pq
m 1
pn 1
p
q
1
pn pq
pn 1
p
q
an
b1＝1。
p
任取正整数s，则bs＝
j＝1
ａ sj
p
，bs+1＝
j＝1
ａ
s+1
j
。设a
s＝m
k，a
s+1＝n
。
l
由1的定义可知mk和nl之间不存在M中的数，即不存在正整数q和
j{1，2， ，p}使得
mk q j nl
即
，p}使得a
n＝m
。显然
k
n=#sl | sl mk , s 1, 2, , l {1，2， ，p},
其中＃ 表示集合 中元素的个数。由于
自治区北京大学附属中学分校2022高一数学下学期期中试题(含解析)
【点睛】解答类似问题的关键是找到数列的项或和的正负值的分界点，其中利用等差数列中项的下标和的性质和前 项和的结合是解题的突破口，考查灵活运用知识解决问题和分析能力，属于中档题．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知在 中， ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【详解】（1）根据 为等差数列， ．
前 项和为 ，且 ，即 ，…①
∵ 成等比数列．可得： ．∴ …②
由①②解得： ，∴数列 的通项公式为
（2）由 ，
即 = ．
那么：数列 的前 项和
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.在公比为2的等比数列中，前4项的和为45，则首项为（ ）
A. 3 B.5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列的首项为 ，利用等比数列求和公式列方程求出 的值，即为该等比数列的首项.
【详解】设等比数列的首项为 ，由等比数列求和公式得 ，解得 ，
因此，该等比数列的首项为 ，故选：A.
8.一元二次不等式 的解集为（）
11.已知 均为钝角，且 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出 、 的值，然后计算出 的取值范围以及 的值，即可得出 的值.
【详解】由题意可知 ， ， ，
， ，
所以， ，
因此， ，故选：A.
【点睛】本题考查已知值求角，解题的关键就是利用两角和差公式计算出所求角的某个三角函数值，结合角的取值范围得出角的值，考查计算能力，属于中等题.
北京大学附属中学(行知、未名学院)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷考生须知：1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分.2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知等差数列通项公式为，则公差为（）A 5B. 4C. 2D. 32. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D.3. 已知函数，下面说法正确的是（ ）A. 在上的平均变化率为1B. C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为24. 在数列中，，且，则其前项的和为（）A. 841B. 421C. 840D. 4205. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）的.{}n a 32n a n =+()0,∞+ln y x x=+3y x x =+1y x x=+2sin y x x=+()sin2f x x =()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos2f x x'=π3x =()f x ()f x 0x ={}n a 11a =()*12N n n a a n n ++=∈41()y f x =R ()y f x ='A. 2是的极大值点B. 在处的切线斜率大于0C.D. 在上一定存在最小值6. 设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（ ）A. 3B. 6C. 7D. 88. 若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 9. 给出以下值：①，②，③，④，其中使得函数有且仅有一个零点的是（ ）A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②④10. 李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论：①；②；③设，则；④设，则有最大值，但没有最小值.其中所有正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知等比数列中，，，则该数列的前项和为______.12. 设，使存在极值的一个的值可以是______.13. 设，若的单调减区间为，则______，______..()f x ()f x ()()0,0f ()()34f f <()f x ()3,5-{}n a n n S 321a a a >>{}n S {}n a n S n 83S S >130S <n S n =()2ln 2x f x x =-(),m +∞m [)1,+∞()1,+∞()0,1(]0,1k e k =-1e k =-0k =1k =()e xk f x x=-{}n a 11a =22a =33a =312n n n n a a a a +++=+-20232023a =20242020a =-123n n S a a a a =++++ 20235056S =123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ n T {}n a 28a =-34a =4()3231f x x ax x =+++()f x a ()2ln f x ax bx x =++()f x ()1,2=a b =14. 函数的定义如下表：1234551234已知，且数列满足对任意的，均有.若，则正整数的值为______.15. 牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用. 如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的1次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 这就是所谓的“牛顿迭代法”.（1）当，时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：______；（2）若取作为2次近似值为______（用分数表示）.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数.（1）求曲线在处切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最小值.17. 已知数列为等差数列，，，数列满足，.的的()f x x ()f x 04a ={}n a *n ∈N ()1n n a f a -=123180105m m m a a a a +++++++= m r ()0f x =0x r ()()00,x f x ()y f x =()()00,x f x 1l ()00f x '≠1l x 1x r ()()11,x f x ()y f x =()()11,x f x 2l ()10f x '≠2l x 2x r r {}n x ()0n f x '≠*n ∈N r 1n +1n x +n n x 1n x +=02x =r ()3211233f x x x x =+-+()y f x =0x =()f x ()f x []1,4-{}n a 11a =2410a a +={}n b 11b =121n n b b +=+（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设，求数列的前项和.18. 设函数.（1）求的单调区间；（2）若，设，求证：不存在极大值.19. 已知数列是无穷数列，.（1）若，，写出，的值；（2）已知数列中，求证：数列中有无穷项为；（3）已知数列中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.{}n a {}1n b +n n n c a b =+{}n c n n S ()2e axf x x =()f x 1a =()()g x f x x =-()g x {}n a 11111,0,0n n n n n n n n na a a a a a a a a --+----≥⎧=⎨--<⎩11a =22a =4a 5a {}n a 0k a ={}n a 0{}n a 0120a a >>{}()*212max ,n n n b a a n -=∈N{}max ,m n m n {}n b北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.【11题答案】【答案】10【12题答案】【答案】（答案不唯一）.【13题答案】【答案】①.## ②. 【14题答案】【答案】145【15题答案】【答案】 ①. ②. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）（2）增区间，减区间 （3）【17题答案】【答案】（1） （2）证明略 （3）【18题答案】【答案】（1）答案略 （2）证明略【19题答案】【答案】（1）， （2）证明略（3）证明略4140.2532-()()n n n f x x f x '-975631y x =+()(),1,3,-∞+∞()1,3133-21n a n =-1222n n n ++--41a =50a =。
近世代数北大版
近世代数北大版详解
近世代数，也被称为抽象代数，是一门研究数学结构和空间性质的学科。
它作为数学的一门分支，在数学的其他领域，如几何学、代数学、逻辑学等中有着广泛的应用。
而在中国，近世代数课程在大部分综合性大学和师范类院校的数学专业中都被列为必修课。
当我们提及近世代数北大版，这指的是由北京大学数学系编写的《近世代数》教材。
这本教材自1985年首次出版以来，经过多次修订和再版，已经成为中国数学教育领域的一部经典著作。
该教材从最基本的集合论概念开始，逐渐引入群、环、域等抽象代数的基本结构。
通过丰富的例子和详细的证明，北大版《近世代数》深入浅出地讲解了代数的核心概念，如同态、同构、群作用等。
同时，书中还有大量的习题，这些习题对于帮助学生深入理解抽象代数有极大的帮助。
值得一提的是，北大版《近世代数》不仅在中国国内有着广泛的影响，而且还被翻译成多种语言，成为国际上许多大学和研究机构采用的教材。
这不仅体现了中国数学研究的国际影响力，也表明了该教材在代数教育领域的卓越品质。
总体来说，北大版的《近世代数》是一部系统全面、深入浅出的教材。
无论是对于数学专业的学生还是对数学有兴趣的读者来说，这本书都是一个极好的学习资源。
通过学习这本书，读者可以深入了解代数的核心概念和方法，提高自己的数学素养和逻辑思维能力。
同时，它也是对中国数学教育成果的一次全面展示，彰显了中国在数学研究和教育领域的实力和影响力。
2022-2023学年北京市西城区高二下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市西城区高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足*1112,,N 3n n n a a a n a +-==∈+，则4a =（）A ．15B ．14-C ．511-D ．47-【答案】C【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.【详解】312234123111115,,3534311a a a a a a a a a ---====-==-+++.故选:C2．若数列{}n a 的前4项分别是11112345--，，，，则该数列的一个通项公式为（）A ．1(1)n n a n--=B ．(1)1nn a n -=+C ．(1)nn a n -=D ．1(1)1n n a n +-=+【答案】D【分析】利用观察归纳法求出通项公式.【详解】因为数列{}n a 的前4项分别是11112345--，，，，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，1(1)1n n a n +-=+正确.故选：D3．已知数列的前n 项和2n S n n =-，则567a a a ++等于（）A ．22B ．30C ．36D ．42【答案】B【分析】转化为求74S S -得解.【详解】∵数列的前n 项和2n S n n =-，∴75746a a a S S ++=-，∴749742S =-=，416412S =-=，∴567421230a a a ++=-=，故选：B ．4．在4(2)x +展开式中，2x 的系数为（）A ．24-B ．24C ．16-D ．16【答案】B【分析】用二项式定理的通项公式展开，使得x 的系数为2，可以确定k 的值，即可求得.【详解】因为4(2)x +的通项为4142kkk k T C x -+=，当2k =时，222234224T C x x ==.所以2x 的系数为24.故选：B5．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则9a =（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】根据通项公式代入计算可得.【详解】因为2n a n =，所以9296a ==.故选：B6．已知函数()sin 2cos f x x x =-，则π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（）A ．322-B ．22-C ．22D ．322【答案】D【分析】根据导数公式求出()f x '，进而可以求出结果.【详解】()cos 2sin f x x x =+' .232cos 2sin 244422f πππ⎛⎫∴=+=+= ⎝⎭'⎪.故选:D.7．A 、B 、C 、D 四人并排站成一排，如果A 与B 相邻，那么不同的排法种数是（）A ．24种B ．12种C ．48种D ．23种【答案】B【分析】利用捆绑法求解相邻问题．【详解】由题意，因为A 与B 相邻，将A 与B 放在一起，共有22A 种排法，将A 与B 看成一个整体，与C 、D 进行全排列，共有33A 种排法，综上共有2323A A 12=种排法，8．某单位安排甲、乙、丙、丁四人去A 、B 、C 三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到A 基地的排法总数为（）A ．6B ．12C ．18D ．36【答案】B【分析】对A 基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若A 基地只安排乙一人，将其余3人分为2组，人数分别为2、1，此时不同的排法种数为2232C 6A =种；若A 基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至A 基地，此时不同的排法种数为1232C A 6=.综上所述，乙被安排到A 基地的排法总数为6612+=种.故选：B.9．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（）A ．在区间(2,1)-上，()f x 是增函数B ．当2x =时，()f x 取到极小值C ．在区间(1,3)上，()f x 是减函数D ．在区间(4,5)上，()f x 是增函数【答案】D【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B ，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在322-<<-x 时，()0f x '<，()f x 递减，A 错；2x =时，()f x 取得极大值（函数是先增后减），B 错；12x <<时，()0f x '>，()f x 递增，C 错；45x <<时，()0f x '>，()f x 递增，D 正确．10．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖．若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）A ．432种B ．420种C ．176种D ．72种【答案】A【分析】将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为32333233A A A A 6266432=⨯⨯⨯=种.故选：A.二、填空题11．在等比数列{an }中，0n a >，且3764a a =，则5a ＝．【答案】8【分析】利用2537a a a =求解.【详解】253764a a a ==，又an ＞0，则58.a =故答案为：8.12．已知{an }是单调递增的等比数列，a 4+a 5=24，a 3a 6=128，则公比q 的值是.【答案】2【分析】利用等比数列性质得到3645a a a a =，再解方程组即可.【详解】由等比数列性质知3645a a a a =，联立454524128a a a a +=⎧⎨=⎩,解得45816a a =⎧⎨=⎩或45168a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是单调递增的等比数列,所以45816a a =⎧⎨=⎩，即542a q a ==.故答案为：2.13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为.【答案】154【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项.【详解】612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()6613612216611C C 122rrrr r r r r T x x x----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3602r -=，解得4r =，故()24456115C 124T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式中常数项为154.故答案为：15414．已知某质点的位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）的运动方程为πcos 2sin 4s t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则该质点在1t =秒时的瞬时速度为米/秒．【答案】0【分析】根据导数的物理意义，该质点的瞬时速度即为某点关于位移的导数，求导然后代入1t =即可.【详解】根据导数的物理意义，对运动方程πcos 2sin 4s t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求导得;πcos sin 2cos 4s t t t t ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭，令1t =解得()10t s ='=；即该质点在1t =秒时的瞬时速度为0，故答案为：015．某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金4000万元，到年底资金增长了40%，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金800万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为n a 万元，若16000k a ≥，则正整数k 的最小值为.（取lg 70.845≈，lg 50.699≈）【答案】6【分析】根据n a 与1n a -的关系可推导证得数列{}2000n a -为等比数列，利用等比数列通项公式可得n a ，进而解不等式可求得k 的范围.【详解】由题意知：()14000140%8004800a =⨯+-=；当2n ≥时，()117140%8008005n n n a a a --=+-=-，()17200020005n n a a -∴-=-，又120002800a -=，∴数列{}2000n a -是以2800为首项，75为公比的等比数列，17200028005n n a -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭，则17280020005n n a -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，令1728002000160005k k a -⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭，则1755k -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，75lg 50.6991log 5 4.8lg 7lg 50.8450.699k ∴-≥=≈≈--，解得： 5.8k ≥，∴正整数k 的最小值为6.故答案为：6.三、解答题16．已知等比数列{}n a 满足11a =，48a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若63n S =，求n 的值【答案】(1)12n n a -=(2)6n =【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比q ，进而得到n a ；（2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则33418a a q q ===，解得：2q =，12n n a -\=.（2）126312n n S -==- ，264n \=，解得：6n =.17．在15件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：(1)“恰有2件不合格品”的取法有多少种？(2)“没有不合格品”的取法有多少种？(3)“至少有1件不合格品”的取法有多少种？【答案】(1)660(2)792(3)2211【分析】（1）因为取3件产品，恰有2件不合格品，即2件不合格品、一件合格品，利用组合数定义即可求到结果；（2）没有不合格品，即全是正品，利用组合数定义即可求到结果；（3）至多、至少问题，一般采用间接法求解.【详解】（1）231312C C 660N =⋅=（种）（2）052312C C 792N =⋅=（种）（3）5531512C C 2211N =-=（种）18．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且2a ，5a ，14a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，在①21n n S =-，*n ∈N ；②21n n S b =-，*n ∈N ；③121n n S S +=+，*n ∈N ；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若11b =，且______，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）【答案】(1)21n a n =-(2)221nn T n =+-【分析】（1）设等差数列的公差为d ，根据2a ，5a ，14a 成等比数列，由()()()2111413a d a d a d +=++求解；（2）选①，由21n n S =-，*n ∈N ，得到2n ≥时，112n n n n b S S --=-=求解；选②，由21n n S b =-，*n ∈N ，得到2n ≥时，1121n n S b --=-，两式相减求解；选③，由121n n S S +=+，*n ∈N ，得到2n ≥时，121n n S S -=+，两式相减求解.进而得到1(21)2n n n a b n -=-++，再利用分组求和求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为d ，因为2a ，5a ，14a 成等比数列，所以()()()2111413a d a d a d +=++，解得2d =或0d =（舍去）.所以，12(1)21n a n n =+-=-.（2）选①，由21n n S =-，*n ∈N ，当2n ≥时，112n n n n b S S --=-=，当1n =时等式也成立，所以12n n b -=，选②，由21n n S b =-，*n ∈N ，①当2n ≥时，1121n n S b --=-，②②-①得12n n b b -=，即12nn b b -=，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，当1n =时等式也成立，所以12n n b -=，选③，由121n n S S +=+，*n ∈N ，①当1n =时22a =当2n ≥时，121n n S S -=+，②②-①得12n nb b +=，即12n nb b +=，又212bb =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b -=，则1(21)2n n n a b n -=-++，1212()()n n n T a a a b b b =+++++++ ，22 1.n n =+-19．已知的数()32f x ax bx =++在2x =处取得极值-14．(1)求a ，b 的值；(2)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(3)求函数()f x 在[]3,3-上的最值．【答案】(1)1,12a b ==-(2)90x y +=(3)函数()f x 在[3,3]-上的最小值为()214f =-，最大值为()218f -=.【分析】（1）求导，利用在2x =处的导数值为0，并且(2)14f =-，解之检验即可求解；（2）结合（1）的结果，求出函数在1x =处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；（3）结合（1）的结果，列出在[3,3]x ∈-时，随x 的变化，(),()f x f x '的变化情况，进而即可求解.【详解】（1）因为函数()32f x ax bx =++，所以2()3f x ax b '=+，又函数()f x 在2x =处取得极值14-.则有()()2120282214f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=++=-'⎪⎩，即12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得：112a b =⎧⎨=-⎩，经检验，1,12a b ==-时，符合题意，故1,12a b ==-.（2）由（1）知：则()3122f x x x =-+，()2312f x x '=-，故()()19,19f f =-=-'.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()991y x --=--，即90.x y +=（3）由（1）知：函数()3122f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得：122,2x x =-=，在[3,3]x ∈-时，随x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表所示：x 3-(3,2)--2-(2,2)-2(2,3)3()f x '+-+()f x 11单调递增18单调递减14-单调递增7-由表可知：当2x =-时，函数()f x 有极大值(2)18f -=；当2x =时，函数()f x 有极小值(2)14f =-；因为(2)18(3)11f f -=>-=，(2)14(3)7f f =-<=-，故函数()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)14f =-，最大值为(2)18f -=.20．设函数()()ln 11axf x x x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【答案】(1)答案见解析(2)1a =【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合构造函数法进行求解即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()1,-+∞．()()()2211111a x af x x x x +-'=-=+++．若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()1,-+∞上单调递增．若0a >，则当()1,a 1x ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x a ∈-+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；（2）由（1）知，若0a ≤，则当10x -<<时，()()00f x f <=，矛盾．因此0a >．由（1）知此时()()min 1ln 1f x f a a a =-=-+．()0f x ≥恒成立等价于()minln 10f x a a =-+≥恒成立．设()()ln 10g a a a a =-+>，即()0g a ≥恒成立，则()1ag a a-'=，当()0,1x ∈时，()()0,g a g a '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,g a g a '<单调递减，所以()()max 10g a g ==，显然函数()g a 在1a =处有唯一零点，且()0g a ≤．而()0g a ≥恒成立，所以()0g a =，所以1a =．21．已知函数2()ln f x a x x =+(a 为实常数）．(1)若2a =-，求证：()f x 在(1,)+∞上是增函数；(2)当4a =-时，求函数()f x 在[1,e]上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在[1,e]x ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)当2x =时，函数()f x 有最小值为(2)22ln 2f =-，当e x =时，函数()f x 有最大值为2(e)e 4f =-.(3)[)1,-+∞【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.【详解】（1）由题可知函数的定义域(0,)+∞，因为2a =-,所以2()2ln f x x x =-+，所以221()22x f x x x x -'=-+=，令()0f x '>解得1x >，所以()f x 在(1,)+∞上是增函数.（2）因为4a =-,所以2()4ln f x x x =-+，所以242()22x f x x x x -'=-+=，令()0f x '>解得2x >，令()0f x '<解得02x <<，所以()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以()f x 在)1,2⎡⎣上单调递减，在2,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以当2x =时，函数()f x 有最小值为(2)22ln 2f =-，因为2(1)1,(e)e 41f f ==->，所以当e x =时，函数()f x 有最大值为2(e)e 4f =-.（3）由()(2)f x a x ≤+得2ln (2)x a x a x ++≤，即()2ln 2a x x x x -≤-，因为[1,e]x ∈，所以1,ln ln e 1x x ≥≤=，所以ln e ln x x ≥≥，且当1x =时ln 0x =，所以ln x x >在[1,e]x ∈恒成立，所以22ln x x a x x-≥-，即存在[1,e]x ∈时，22ln x x a x x-≥-，令22()ln -=-x x g x x x，()2(1)(22ln )()ln x x x g x x x -+-'=-，令22()22ln ,()1x h x x x h x x x -'=+-=-=，令2()0x h x x-'=>，解得2e x <≤，令2()0x h x x-'=<，解得12x ≤<，所以()h x 在[)1,2单调递减，(]2,e 单调递增，所以()(2)2(2ln 2)0h x h ≥=->，所以[1,e]x ∈时，()2(1)(22ln )()0ln x x x g x x x -+-'=≥-恒成立，所以min ()(1)1g x g ==-，所以实数a 的取值范围是[)1,-+∞.。
北京大学高等代数_I 2017 期中考试题-答案
北京大学数学学院期中试题考试科目 高等代数I 考试时间 2017年11月8日一． 1）（10分）叙述向量空间K n 的线性子空间的维数和基底的定义 ：若α1 , ... , α r 是K n 的子空间V 中的一组向量，满足以下两条件 （1） α1 , ... , α r 线性无关；（2） α1 , ... , α r 能线性表出子空间V 的每个向量；则称α1 , ... , α r 是子空间V 的一组基， 称基底包含的向量个数r 为 子空间V 的维数 （V 的不同基底包含的向量个数是一样的）。
2）（10分）已知向量组α1 , ... , α s 的秩为r , 且部分组α1 , ... , α r 的能线性表出α1 , ... , α s . 证明: α1 , ... , α r 线性无关 . 证：若部分组α1 , ... , α r 线性相关，则α1 , ... , α r 的秩 < r .另一方面, 部分组α1 , ... , α r 能线性表出α1 , ... , α s , 故 α1 , ... , α r 的秩 ≥ α1 , ... , α s 的秩 = r , 矛盾! 故α1 , ... , α r 线性无关 .二．（10分）计算n 阶行列式222222101000010*******000100001a aa a a a a a a a a a a a ++++++.解: 记此n 阶行列式为D n .我们用数学归纳法证明 D n = 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2n . 显然, D 1 = 1 + a 2 , 此时命题成立;以下假设公式对低于n 阶的行列式都成立, 考察n 阶行列式的情况.对D n 的第一列作代数余子式展开 :D n = ( 1 + a 2 ) D n-1 + ( –1 ) a22210100100a a a a a a a a a+++= ( 1 + a 2 ) D n-1 + ( –1 ) a a D n-2= ( 1 + a 2 ) ( 1 + a 2 +... + a 2n-2 ) + ( –1 ) ( a 2 + a 4 + ... + a 2n-2 ) （归纳假设） = 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2n .故此公式对任意n 阶行列式成立。
北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则28a a +=（ ）A ．6B ．10C ．7D ．52．已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项3．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为 A ．16329 B ．16129 C ．8115 D ．80154．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．-1B ．1C ．-2D ．25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a = )A ．4B ．10C ．16D ．326．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．157．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC ． D8．已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（ ）A ．1B ．12-C ．12-或1D ．1-或129．等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a L =---，则(0)f '= A ．62 B ．92 C ．122 D ．15210．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1[,2]2D ．1[,1]2二、填空题11．已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a = .12．已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为 ．13．n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a = ．公比q = ． 14．将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为 .15．小明用数列{an }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记ak ＝1，当第k 天没下过雨时，记ak ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{bn }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记bk ＝1，当预报第k 天没有雨时，记bk ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为 ；若a 1b 1+a 2b 2+…+akbk ＝m ，则气象台预报准确的天数为 （用m ，k 表示）.三、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最小值．17．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．18．已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的递增区间；(3)求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．19．已知函数()ln f x x x a =--．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.21．约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．(1)当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；(2)当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；(3)记12231k k A a a a a a a -=+++L ，求证：2A a <．。
北京市北京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
北京市北京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、双空题16．已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ^，则12Q FF V 的面积为______．四、填空题17．若函数32()2f x x ax =-+在区间(1,)+¥上单调递增，则实数a 的一个取值是__________.) +¥)+¥于是n n A a =，1n n B a +=．因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列． 解法二：反证法若n d d =-（1,2,3,n =L ），假设k a 是第一个使得1n n a a -<的项，即121k k a a a a ->L ≤≤≤，所以11k k A a --=，1k k A a -=，1k k B a -≤，进而可得1111110k k k k k k k d A B a B a a ------=-=-->≥，这与10k d d -=-≤矛盾.因此对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤．进而可得1n n n n n d A B a a d +=-=-=-，即1n n a a d +-=，因此{}na 是公差为d 的等差数列.（3）解法一：首先，{}na 中的项不能是0，否则1102d a =-=，矛盾.其次，{}na 中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{}na 中有超过2的项，设k a 是第一个大于2的项，{}n a 中一定存在某项为1，否则与11d =矛盾.当n k ³时，2n a ³，否则与1k d =矛盾；因此存在最大的i 在2到1k -之间，使得1i a =，此时2220i i i i d A B B =-=--=≤，综上，{}na 中没有超过2的项，所以{}na 中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若k a 为最后一个1，则220k k k d A B =-=-=，矛盾，因此1有无数个.解法二：因为12a =，11d =，所以112A a ==，1111B A d =-=．故对任意1n ³，11n a B =≥．假设{}n a （2n ³）中存在大于2的项．设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ³，并且对任意1k m £<，2k a ≤．又因为12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=，{}1min ,2m m m B a B -=³．故111220m m m d A B ---=--=≤，与11m d -=矛盾．所以对于任意1n ³，有2n a £，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2．因为对任意1n ³，12n a a =≤，所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1．【点睛】关键点睛：1.证明充要条件时，需要从充分性、必要性两个角度分析证明；2.当直接说明有困难，可以尝试利用反证法分析证明.。
2022-2023学年北京市海淀区北京大学附属中学行知学院高二下学期期中考试数学试卷
2022-2023学年北京市海淀区北京大学附属中学行知学院高二下学期期中考试数学试卷1.函数在区间上的平均变化率等于（）A．2B．C．D．02.下列求导结论错误的题（）A．B．C．D．3.下列导数计算错误的是（）A．B．C．D．4.实数在上的极大值点为（）A．B．C．D．5.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，6.已知函数，给出下列结论:①的零点是0；②时，；③若直线与曲线总有两个不同交点，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③7.若函数在上不单调，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知函数，下列叙述中不正确的一项是（）A．在上单调递增B．无极值点C．有唯一零点D．曲线只有一条斜率为0的切线9.下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．10.数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值；过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系.给出以下结论:①切线的方程为；②；③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为.其中所有正确结论的个数为（）A．3B．2C．1D．011.已知函数，其定义域为____________，导函数____________.12.已知曲线，则在处的切线方程为____________，过原点的切线方程为____________.13.函数的对称中心为____________，零点个数为____________.14.已知函数，①若函数有极大值，则的取值范围是____________.②若存在实数使得方程无实根，则的取值范围是____________.15.已知函数，若对于任意，存在，都有，则的取值范围为____________.16.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：①的图象在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数，使得.这就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中称为拉格朗日中值.请阅读以上内容，回答以下问题:⑴函数在区间上的拉格朗日中值为____________；⑵下列函数，是否存在以0为拉格朗日中值的区间?若存在，请将函数对应的序号全部填在横线上____________.①；②；③；④；⑤17.已知函数.(1)求函数单调区间与极值；(2)求函数在区间上的最值.18.已知函数.(1)求的单调区间；(2)设函数，求证：当时，在上存在极小值，且极小值大于1.19.已知函数.(1)比较与0.33的大小，并加以证明；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：当时，.。
北大代数结构与组合数学期中试题_计算机基础数学
信息科学技术学院2003-2004学年第二学期本科生期末考试试卷一、（每小题3分,共18分）判断以下命题的真假.如果为真在后面括弧内打√，否则打⨯.1．A ={x |x ∈N 且(x ,5)=1}，则<A ,+>构成代数系统，+为普通加法 （ ）2．∀x , y ∈R ，x o y =|x -y |，则0为<R ,o>的单位元 （ ）3．∀x , y ∈R ，x o y =x +y +xy ，则∀x ∈R ，x -1=-x /(1+x ) （ ）4．整环的积代数不一定是整环 （ ）5．格同态具有保序性 （ ）6．在有补格中，∀a ∈L ，求a 的补是L 的一元运算 （ ）解答：1. ⨯ 2. ⨯ 3. ⨯. 4. √ 5. √ 6. ⨯评分标准：每题3分，错一题扣3分。
二、（12分）A ={a ,b ,c }, o 是A 上的二元运算，在V =<A ,o>的运算表中，除了a ob =a 以外，其余运算结果都等于b .1．试给出V =<A ,o>的两个非恒等映射的自同态.2．给出这两个自同态导出的关于V 的商代数. 解答：1. f ={<a ,b >,<b ,b >,<c ,b >}, g ={<a ,b >,<b ,b >,<c ,c >} 2. f 导出的商代数为<{{a ,b ,c }},*>, 其运算为{a ,b ,c }*{a ,b ,c }={a ,b ,c } g 导出的商代数为<{{a ,b },{c }},*>, ∀x ,y ∈{{a ,b },{c }}, x *y ={a ,b }评分标准：给对一个自同态得３分，给对一个商代数得３分． 注意结果不惟一，但是自同态满足将ｂ映到ｂ．三、（10分）设N 是群G 的一个正规子群，且[G :N ]=m ，证明∀a ∈G 都有a m ∈N .解答与评分标准：证 根据商群定义 |G /N |=[G :N ]，因此|G /N | = m . （2分）∀a ∈G , Na ∈G /N ，(Na )m = N （3分）根据商群运算有, (Na )m =Na m , 从而Na m = N （3分）由陪集相等条件得 a m ∈N . （2分）四、（10分）证明有理数域的自同构只有恒等自同构.装订线 内请 勿 答 题解答与评分标准：证 任何有理数表为p /q ，其中p ,q 为整数，q >0，p 与q 互素 （1分）自同构满足f :Q →Q , 且 f (0)=0, f (1)=1, （2分）∀x ∈Z +，f (x )=f (1+1+1+…+1)=f (1)+f (1)+…+f (1)=x . （2分）∀x ∈Z -, 令x =-y ，则f (x )=f (-y )= -f (y )= -y =x （1分）∀x ∈Q +, x =p /q , f (x )=f (pq -1)=f (p )f (q -1)=p (f (q ))-1=pq -1=p /q =x （2分）∀x ∈Q -, x =-p /q , f (x )=f (-p )f (q -1)= -f (p )f (q -1)= -p /q =x （2分） f 为恒等映射。
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代数结构小测验（2015年5月）姓名：学号：
一、（25分）设A=Q⨯Q，Q为有理数集，∘为A上的二元运算，∀<a,b>, <c,d>∈A定义
<a, b>∘<c, d>=<ac, ad+b>
(1) 判断∘运算是否满足交换律和结合律。
（仅写结果即可）
(2) 求出∘运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
二、（25分）设 V=<S,o> 是半群，∅≠I⊆S，且满足 IS⊆I 和 SI⊆I. 在S上如下定义二元关系R：xRy⇔x=y 或 (x∈I且 y∈I).
(1) 证明R是V上的同余关系。
(2) 描述商代数<S/R, ō>，即给出S/R中元素及运算ō.（仅写结果即可）
三、（25分）(1) 设G，H是两个群，在其卡氏积G ⨯H上如下定义二元运算：
∀ 〈g1,ℎ1〉,〈g2,ℎ2〉∈G×H,〈g1,ℎ1〉〈g2,ℎ2〉=〈g1g2, ℎ1ℎ2〉
证明：关于上面定义的二元运算，G ⨯H是一个群。
(2) 若A⊴G,B⊴G,并且G=AB,证明：G/(A∩B)≅G/A×G/B.
四、（25分）事实（素理想的定义）：设R是含幺交换环，D是R的理想。
若对∀a, b∈R,
ab∈D⇒ a∈D或b∈D，则称D为R的素理想。
(1) 写出<Z10, ⊕, ⊗>的全部素理想。
（仅写结果即可）
(2) 证明：D是R的素理想当且仅当商环R/D是整环。
（请在背面作答该题）。