乘法公式复习(附答案)

华夏教育 初二数学

乘法公式

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2

数形结合的数学思想认识乘法公式：

假设a 、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2与(a-b)2=a 2-2ab+b 2。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．

例1 计算：()()

53532

2

2

2

x y x y +- 解：原式()()

=

-=-532592

22

244

x y x y

例2 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．

解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．

例3 计算(-a 2+4b )2

分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；

若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2

”就是公式中的b ．（解略）

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例1 计算：()()()()

111124

-+++a a a a 解：原式()()()=-++111224a a a

()()=-+=-1114

4

8a a a

例2 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(24-1)(24+1)(28

+1) =（28-1）（28+1） =216-1

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例1 计算：()()

5785782

2

abc abc +---+ 解：原式()()[]()()[]

=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c ()=-=-101416140160a b c a b a c

例2 计算(2a +3b )2

-2(2a +3b )(5b -4a )+(4a -5b )2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

解：原式=(2a +3b )2+2(2a +3b )(4a -5b )+(4a -5b )2 =[(2a +3b )+(4a -5b )]2

=(6a -2b )2=36a 2-24ab +4b 2．

四、变用: 题目变形后运用公式解题。 例1 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)． 分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式． 解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2-(y -z )2

=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．

例2 计算：()()

x y z x y z +-++26 解：原式()[]()[]

=++-+++x y zz x y zz 2424 ()()

=++-=+-+++x y z z x y z x y x z y z

24122442

2

2

2

2

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

()()()()(

)

()()122232442

222

222

2

2

2

22

....a b ab a b a b ab a b a b a b a b

a b a b ab

+-=+-+=+++-=++--=

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例1 已知a b ab -==45，，求a b 22

+的值。 解：()

a ba

b a b 222

2242526+=-+=+⨯= 例2 计算：()()

a b c d b c d a ++-+++-22

解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 2

2

()(

)[

]

=++-=++++-222224422

2222

bc ad a b c d b c a d

三、巩固练习

1、已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 2、已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0

3、已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56。 4、计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 5、运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982

解：（1）10321003 2

10022100332 100006009 10609

（2）19822002 2 20022200222 40000800 4 39204 6、判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到