线性系统部分总复习(2015)分解
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总复习：现代控制理论
百度文库
2) 约当规范形 1) 化为约当规范形的条件 对于n阶线性定常系统
x Ax Bu
当系统矩阵A有重特征值，且矩阵A的线性无关的 特征向量个数少于n时，则可以通过线性非奇异变
换变换为约当规范形。
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总复习：现代控制理论
3） 特征值的代数重数和几何重数 （a）代数重数 设λi为系统矩阵A的一个特征值，且有
n 1
a1 a2
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4 主目录
总复习：现代控制理论
2）可观测规范形实现
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的状态方程和输出方程为
所有属于特征值λi的约当小块的阶数之和。
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总复习：现代控制理论
（b）几何重数 设 λi 为系统矩阵 A的一个特征值， λi的几何重 数可由下式计算
i n rank (i I A)
说明：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化 为约当规范形时，λi的几何重数αi为该规 范形中特征值λi对应的约当小块的个数。
外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
2、状态空间描述（内部描述）
(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
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总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
x A x bu
式中：
友矩阵
y cx
0 0 1 0 a0 0 a1 0 a2 ; 1 an 1 0 0 1 ; c 0 0 b n2 n 1
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det( s A) ( s - i ) i i ( s) i (i ) 0
则称σi为特征值λi的代数重数。
说明1：矩阵A的重特征值λi的重数σi 就是特征值λi的 代数重数。 说明2：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化为 约当规范形时， λi的代数重数σi为该规范形中
x Ax + bu y cx
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , b = , c = 0 1 0 an 1 1
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式中：
友矩阵
0 0 A 0 a0
1
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总复习：现代控制理论
说明：约当规范形的特点
对包含重特征值的n维线性时不变系统，系统矩阵 的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵。 “外层”反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特 征值的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个 数等于相异特征值个数 l ，约当块的维数等于相应 特征值的代数重数。 “中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元 的对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值 的几何重数。 “内层”为约当小块，约当小块为“以相应特征值 为对角元，其右邻元均为 1，其余元素均为 0”的矩 14 阵。
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总复习：现代控制理论
四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性
非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函 数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控 性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变. 2. 线性系统等价状态空间描述
对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规 范型、能控规范型和能观规范型。
0 1 A 0 0
0 1
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三、传递函数矩阵的计算
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
x (t ) Ax (t ) Bu(t ) y (t ) Cx (t ) Du (t )
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
G(s) C(sI A)1 B D
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总复习：现代控制理论
2. 线性时不变系统等价状态空间描述
n阶线性定常系统的状态空间描述为：
x Ax Bu y Cx Du
(a)
对状态向量x引入线性非奇异变换 x P 1 x，则变换后的 状态空间描述
x Ax Bu y Cx Du
(b)
其中：
A P1 AP,
能控标准型实现 能观测标准型实现
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1. 可控规范形实现 设
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的可控规范形实现为
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1) 对角线规范形 1) 可化为对角线规范形的条件
已知n阶线性定常系统的状态方程为
x Ax Bu
当系统矩阵A具有n个线性无关的特征向量 1,2 , ,n 时， 可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形 。即以
下2种情况下可化为对角线规范形：
（1）系统矩阵A的n个特征值两两互异； （2）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几何 重数都等于其代数重数。
B P1B, C CP, D D
称系统两种不同的状态空间描述 (a)， (b)为代数等价的， 对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统。
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3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
对角规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有对角形的形 式。
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 绪论
Ch2 线性系统的状态空间描述
Ch3 线性系统的运动分析
Ch4 线性系统的能控性和能观性
Ch5 系统运动的稳定性
Ch6 线性反馈系统的时间域综合
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总复习：现代控制理论
第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的
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2) 约当规范形 1) 化为约当规范形的条件 对于n阶线性定常系统
x Ax Bu
当系统矩阵A有重特征值，且矩阵A的线性无关的 特征向量个数少于n时，则可以通过线性非奇异变
换变换为约当规范形。
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3） 特征值的代数重数和几何重数 （a）代数重数 设λi为系统矩阵A的一个特征值，且有
n 1
a1 a2
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2）可观测规范形实现
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的状态方程和输出方程为
所有属于特征值λi的约当小块的阶数之和。
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（b）几何重数 设 λi 为系统矩阵 A的一个特征值， λi的几何重 数可由下式计算
i n rank (i I A)
说明：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化 为约当规范形时，λi的几何重数αi为该规 范形中特征值λi对应的约当小块的个数。
外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
2、状态空间描述（内部描述）
(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
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二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
x A x bu
式中：
友矩阵
y cx
0 0 1 0 a0 0 a1 0 a2 ; 1 an 1 0 0 1 ; c 0 0 b n2 n 1
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det( s A) ( s - i ) i i ( s) i (i ) 0
则称σi为特征值λi的代数重数。
说明1：矩阵A的重特征值λi的重数σi 就是特征值λi的 代数重数。 说明2：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化为 约当规范形时， λi的代数重数σi为该规范形中
x Ax + bu y cx
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , b = , c = 0 1 0 an 1 1
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式中：
友矩阵
0 0 A 0 a0
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说明：约当规范形的特点
对包含重特征值的n维线性时不变系统，系统矩阵 的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵。 “外层”反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特 征值的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个 数等于相异特征值个数 l ，约当块的维数等于相应 特征值的代数重数。 “中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元 的对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值 的几何重数。 “内层”为约当小块，约当小块为“以相应特征值 为对角元，其右邻元均为 1，其余元素均为 0”的矩 14 阵。
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四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性
非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函 数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控 性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变. 2. 线性系统等价状态空间描述
对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规 范型、能控规范型和能观规范型。
0 1 A 0 0
0 1
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三、传递函数矩阵的计算
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
x (t ) Ax (t ) Bu(t ) y (t ) Cx (t ) Du (t )
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
G(s) C(sI A)1 B D
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2. 线性时不变系统等价状态空间描述
n阶线性定常系统的状态空间描述为：
x Ax Bu y Cx Du
(a)
对状态向量x引入线性非奇异变换 x P 1 x，则变换后的 状态空间描述
x Ax Bu y Cx Du
(b)
其中：
A P1 AP,
能控标准型实现 能观测标准型实现
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1. 可控规范形实现 设
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的可控规范形实现为
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1) 对角线规范形 1) 可化为对角线规范形的条件
已知n阶线性定常系统的状态方程为
x Ax Bu
当系统矩阵A具有n个线性无关的特征向量 1,2 , ,n 时， 可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形 。即以
下2种情况下可化为对角线规范形：
（1）系统矩阵A的n个特征值两两互异； （2）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几何 重数都等于其代数重数。
B P1B, C CP, D D
称系统两种不同的状态空间描述 (a)， (b)为代数等价的， 对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统。
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总复习：现代控制理论
3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
对角规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有对角形的形 式。
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 绪论
Ch2 线性系统的状态空间描述
Ch3 线性系统的运动分析
Ch4 线性系统的能控性和能观性
Ch5 系统运动的稳定性
Ch6 线性反馈系统的时间域综合
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总复习：现代控制理论
第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的