2020高考数学数系的扩充与复数的引入练习题(含答案)
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mR
(2) 若 z 是虚数，则
m2－ 2m－ 15 ≠0 m≠5 且 m≠－3.
(3) 若 z 是纯虚数，则
m2 5m 6 0 m2 2m 15 0
m=－2
(4) 若 z 的对应点在第三象限，则
m2 5m 6 0 m2 2m 15 0
－ 3< m<－ 2
(5) 若 z 对应的点在直线 x+y+5=0 上，则（ m2+5 m+6 ）
R )是纯虚数，则
z=
___
三 .解答题
实数 m 分别取什么数时， 复数 z=（ 1+ i)m2+(5 －2i)m+6 －15 i
是： （ 1）实数；（ 2）虚数；（ 3）纯虚数；（ 4）对应点在
第三象限；（ 5）对应点在直线 x+y+5=0 上；（ 6）共轭复
数的虚部为 12.
答案：
一 .选择题
【答案】 A 二 .填空题 1. 【解析】 1 i i , a 0,b 1，因此 a b =1 。
1i
【答案】 1
2. 【解析】由 z i(2 z) z 2i 1 i .
1i
【答案】 1 i
3. 〖解析〗 z1 ＝ a 2i (a 2i )(3 4i) (3a 8) (4 a 6)i ，则由条件
z2
3 4i
5
5
可得 3a － 8=0, 得 a= 8 .
3
〖答案〗 8
3
4. 〖解析〗由 a2 1 0 a 1,所以 z =2.
a1 0
〖答案〗 .2
三 .解答题
解： z=(1+ i)m2+(5 － 2i)m+6 － 15 i=( m2+5 m+6)+( m2－ 2m －15) i
∵m∈R, ∴z 的实部为 m2+5 m+6, 虚部为 m2－2m－15. (1) 若 z 是实数，则 m2 2m 15 0 m=5 或 m=－3
数系的扩充与复数的引入
一 .选择题
１．已知 0 a 2 ，复数 z的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范
围是（
）
A． (1，5)
B． (1，3)
C． (1，5)
D ． (1，3)
２．已知复数 z=1-i, 则 z2 2z =（
）
z1
A． 2i
B ． -2i
C．2
D． -2
３．设 z 的共轭复数是 z ，或 z+ z =4, z·z ＝8，则 z 等于 (
)
z
A.1
B ． -i
C ． ±1
D ． ±i
4. 若 z cos i sin （ i 为虚数单位），则 z2 1的 值可能是
A
6
B
4
C
D
3
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2
5. 已知 2 ai , b i 是实系数一元二次方程 x2 px q 0 的两根， 则
p, q的值为 （
）
A、 p 4,q 5
B、 p 4,q 5
C 、 p 4,q 5
1. 【解析】由于 0＜a＜ 2 ，故 1 a2 1 5 ∴z a2 1 1, 5 。
【答案】Ｃ 2. 【解析】将 z 1 i 代入得 z2 2z
z1
2
1 i 21 i
1i 1
2 2 2i ，
ii
选Ｂ．
【答案】Ｂ
3. 【 解 析 】
可设 z2
4 b2 8,b
z z2 2.
2
2 2i
i.
z8
8
b ，i 由 z z 8 得
+(m2－ 2m－15)+5=0 m=－4 或 m=1.
(6) 若 z 的共轭复数的虚部为
12 ，则－ (m2 － 2m －
15)=12 m=－ 1 或 m=3.
【答案】 :D ．
4. 【解析】：把 代入验证即得。
2
【答案】 D
5. 【解析】 因为
a ， b （ i 是虚数单位）是实系
数一元二次方程 x2 px q 0 的两个根，所以 a= －1 ，b=2 ，所
以实系数一元二次方程
x2 px q 0 的两个根是
2 i 所以
p [( 2 i ) ( 2 i )] 4q, ( 2i )( 2i )
D、
p 4, q 5
二 .填空题
1. 1 i 表示为 a bi (a,b R) ，则 a b =
。
1i
2. 若复数 z 满足 z ＝i(2-z) （ i 是虚数单位），则 z ＝
３．若 z1=a＋2i，z2=3 － 4i，且 z1 为纯虚数，则实数 a 的值 z2
是
．
4. 若复数 z
2
a
1
(a
1)i ( a
(2) 若 z 是虚数，则
m2－ 2m－ 15 ≠0 m≠5 且 m≠－3.
(3) 若 z 是纯虚数，则
m2 5m 6 0 m2 2m 15 0
m=－2
(4) 若 z 的对应点在第三象限，则
m2 5m 6 0 m2 2m 15 0
－ 3< m<－ 2
(5) 若 z 对应的点在直线 x+y+5=0 上，则（ m2+5 m+6 ）
R )是纯虚数，则
z=
___
三 .解答题
实数 m 分别取什么数时， 复数 z=（ 1+ i)m2+(5 －2i)m+6 －15 i
是： （ 1）实数；（ 2）虚数；（ 3）纯虚数；（ 4）对应点在
第三象限；（ 5）对应点在直线 x+y+5=0 上；（ 6）共轭复
数的虚部为 12.
答案：
一 .选择题
【答案】 A 二 .填空题 1. 【解析】 1 i i , a 0,b 1，因此 a b =1 。
1i
【答案】 1
2. 【解析】由 z i(2 z) z 2i 1 i .
1i
【答案】 1 i
3. 〖解析〗 z1 ＝ a 2i (a 2i )(3 4i) (3a 8) (4 a 6)i ，则由条件
z2
3 4i
5
5
可得 3a － 8=0, 得 a= 8 .
3
〖答案〗 8
3
4. 〖解析〗由 a2 1 0 a 1,所以 z =2.
a1 0
〖答案〗 .2
三 .解答题
解： z=(1+ i)m2+(5 － 2i)m+6 － 15 i=( m2+5 m+6)+( m2－ 2m －15) i
∵m∈R, ∴z 的实部为 m2+5 m+6, 虚部为 m2－2m－15. (1) 若 z 是实数，则 m2 2m 15 0 m=5 或 m=－3
数系的扩充与复数的引入
一 .选择题
１．已知 0 a 2 ，复数 z的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范
围是（
）
A． (1，5)
B． (1，3)
C． (1，5)
D ． (1，3)
２．已知复数 z=1-i, 则 z2 2z =（
）
z1
A． 2i
B ． -2i
C．2
D． -2
３．设 z 的共轭复数是 z ，或 z+ z =4, z·z ＝8，则 z 等于 (
)
z
A.1
B ． -i
C ． ±1
D ． ±i
4. 若 z cos i sin （ i 为虚数单位），则 z2 1的 值可能是
A
6
B
4
C
D
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5. 已知 2 ai , b i 是实系数一元二次方程 x2 px q 0 的两根， 则
p, q的值为 （
）
A、 p 4,q 5
B、 p 4,q 5
C 、 p 4,q 5
1. 【解析】由于 0＜a＜ 2 ，故 1 a2 1 5 ∴z a2 1 1, 5 。
【答案】Ｃ 2. 【解析】将 z 1 i 代入得 z2 2z
z1
2
1 i 21 i
1i 1
2 2 2i ，
ii
选Ｂ．
【答案】Ｂ
3. 【 解 析 】
可设 z2
4 b2 8,b
z z2 2.
2
2 2i
i.
z8
8
b ，i 由 z z 8 得
+(m2－ 2m－15)+5=0 m=－4 或 m=1.
(6) 若 z 的共轭复数的虚部为
12 ，则－ (m2 － 2m －
15)=12 m=－ 1 或 m=3.
【答案】 :D ．
4. 【解析】：把 代入验证即得。
2
【答案】 D
5. 【解析】 因为
a ， b （ i 是虚数单位）是实系
数一元二次方程 x2 px q 0 的两个根，所以 a= －1 ，b=2 ，所
以实系数一元二次方程
x2 px q 0 的两个根是
2 i 所以
p [( 2 i ) ( 2 i )] 4q, ( 2i )( 2i )
D、
p 4, q 5
二 .填空题
1. 1 i 表示为 a bi (a,b R) ，则 a b =
。
1i
2. 若复数 z 满足 z ＝i(2-z) （ i 是虚数单位），则 z ＝
３．若 z1=a＋2i，z2=3 － 4i，且 z1 为纯虚数，则实数 a 的值 z2
是
．
4. 若复数 z
2
a
1
(a
1)i ( a