2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数与函数的极值精选教案 理.doc

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第15讲导数与函数的极值精选教案理1．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__都小__，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，则点x ＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)>0__，右侧__f′(x)<0__，则点x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．2．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数f (x )在区间(a ，b )内一定存在最值．( × ) (2)函数的极大值一定比极小值大．( × )(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件．( × ) (4)函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值．( √ ) 2．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，那么a ＝( A )A ．2B ．1C ．233D ．0解析 f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x (x ∈R )，又f (x )在x ＝π3处有最值，故x ＝π3是函数f (x )的极值点，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，即a ＝2，故选A ．3．函数y ＝x ·e －x，x ∈[0,4]的最小值为( A ) A ．0 B ．1e C ．4e4 D ．2e2 解析 ∵y ′＝e －x －x e －x ＝e －x(1－x )，令y ′＝0，则x ＝1，而f (1)＝1e>0，f (0)＝0，f (4)＝4e4>0，∴最小值为0，故选A ．4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，f ′(－3)＝0，∴a ＝5. 5．设函数f (x )＝x e x，则( D ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析 求导得f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．一 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数极值问题的步骤【例1】 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)可知，①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值． ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．【例2】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( A )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1(2)(2017·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a的取值范围是！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ###. 解析 (1)因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1．因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1＝(x ＋2)(x －1)·e x－1．令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )的极小值为f (1)＝－1，故选A ．(2)f ′(x )＝(ln x －ax )＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a ＝ln x ＋1－2ax ，令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1x.设φ(x )＝ln x ＋1x，则φ′(x )＝－ln xx2，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，则φ(x )的大致图象如图所示，若函数f (x )有两个极值点，则直线y ＝2a 和y ＝φ(x )的图象有两个交点，所以0<2a <1，得0<a <12.二 利用导数研究函数的最值求可导函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的基本步骤(1)求出函数f (x )在区间(a ，b )内的所有极值f (x 1)，f (x 2)，…，f (x n )； (2)计算函数f (x )在区间[a ，b ]上的两个端点值f (a )，f (b )； (3)对所有的极值和端点值作大小比较；(4)对比较的结果作出结论：所有这些值中最大的即是该函数在[a ，b ]上的最大值，所有这些值中最小的即是该函数在[a ，b ]上的最小值．【例3】 设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值． 解析 (1)由题意可知f (1)＝－12，f ′(1)＝0.由于f ′(x )＝ax－2bx (x >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝－b ＝－12，f ′(1)＝a －2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知f (x )＝ln x －x 22(x >0)，令f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x＝0(x >0)，得x ＝1．故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数，在[1，e]上是减函数， 所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12. 【例4】 (2018·湖北武昌实验中学月考)设f (x )＝ax －ln x ，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数f (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3， f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(0<x ≤e)．①a ≤0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e∉(－∞，0]；②当1a≥e 时，f ′(x )<0在(0，e]上恒成立，所以f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e ∉⎝⎛⎦⎥⎤0，1e；③当0<1a <e 时，令f ′(x )<0，得0<x <1a，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，所以f (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．综上，存在实数a ＝e 2，使得x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，故选D ．2．函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝__1__. 解析 f ′(x )＝(x －m )2＋2x (x －m )＝(x －m )(3x －m )． ∵f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，∴f ′(1)＝0，即(1－m )(3－m )＝0，解得m ＝1或m ＝3. 当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，即m ＝1符合题意． 当m ＝3时，f ′(x )＝(x －3)(3x －3)＝3(x －1)(x －3)． 当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <3时，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝1处取得极大值，不符合题意，即m ≠3.综上，m ＝1．3．已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极值．解析 (1)f ′(x )＝e x(ax ＋b )＋a e x－2x －4＝e x(ax ＋b ＋a )－2x －4.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4，f ′(0)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，b ＋a －4＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，a ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝e x (4x ＋8)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝－ln 2.令f ′(x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，e x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，e x －12<0.解得－2<x <－ln 2.令f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，e x －12<0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，e x －12>0.解得x <－2或x >－ln 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.由上表可知，函数f (x )的极大值为f (－2)＝4(1－e －2)，极小值为f (－ln 2)＝2＋2ln 2－(ln 2)2.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0 ，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0 ，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4，所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示.所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.易错点 分类不完全，混淆概念错因分析：对参数的分类讨论不完全．【例1】 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值． 解析 (1)当a ＝－4时，f (x )＝(4x 2－16x ＋16)x ， 则f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x，其中x >0.由f ′(x )>0，得0<x <25或x >2.故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4，即－8≤a <－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有，a ＝－10.【跟踪训练1】 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．解析 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． a ．当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点．b ．当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14.由g (－1)＝1>0，可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点．③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1．当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a >89时，函数f (x )有两个极值点．课时达标 第15讲[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( D ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32. 2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( A )A ．12 B ．1 C ．0D ．不存在解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1， ∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值， 且f (1)＝12－ln 1＝12，故选A ．3．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( D ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18解析 x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2.令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18，故选D ．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1，x ≤0，e ax，x >0，在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C ．(－∞，0)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2解析 当x ∈[－2,0)时，因为f ′(x )＝6x 2＋6x ＝6x (x ＋1)，所以在[－2，－1)上f ′(x )>0，在(－1,0]上，f ′(x )≤0，则当x ∈[－2,0]时函数有最大值，为f (－1)＝2.当a ≤0时，若x >0，显然e ax≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a >0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e 2a ≤2，得a ≤12ln 2，综上可知a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2，故选D ．5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( A )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37，故选A ．6．(2018·河北三市联考二)若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( A )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)． ∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b <1， 则由f ′(x )>0，得x <b 或x >2.由f ′(x )<0，得b <x <2， ∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43，故选A ．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝__32__.解析 f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x ＝2和x ＝－2为其两个极值点，f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24，∴M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32.8．(2018·东北八校月考)已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为__4__.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.9．已知函数f (x )的定义域是[－1,5]，部分对应值如下表.f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的极小值为__0__.解析 由y ＝f ′(x )的图象知，f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表.所以f (x )的极小值为f (2)＝0. 三、解答题10．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析 (1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝ e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1． (2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.11．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解析 (1)由f (x )＝x －1＋ae x ，得f ′(x )＝1－aex .由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．12．已知函数f (x )＝ax 2－e x(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)解关于x 的不等式：f (x )>f ′(x )；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝2ax －e x ，f (x )－f ′(x )＝ax (x －2)>0. 当a ＝0时，无解；当a >0时，解集为{x |x <0或x >2}； 当a <0时，解集为{x |0<x <2}．(2)设g (x )＝f ′(x )＝2ax －e x ，则x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根．g ′(x )＝2a －e x ，若a ≤0，g ′(x )<0恒成立，g (x )单调递减，方程g (x )＝0不可能有两个根；若a >0，则当x ∈(－∞，ln 2a )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． ∴g (x )max ＝g (ln 2a )＝2a ln 2a －2a >0，得a >e2.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞.。