线段的垂直平分线的性质-PPT课件
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《线段垂直平分线》课件
例题解析
通过解析一些例题，我们可以更好地理解线段垂直平分线的应用方法和解题 思路。
总结
通过本课件的学习，我们深入了解了线段垂直平分线的定义、性质、构造方法以及在几何问题中的重要应用。 掌握这些知识，我们可以更好地解决几何问题，并且提升我们的几何思维能力。
展示课件
谢谢大家的聆听！请在这个展示中享受线段垂直平分线的魅力，并通过实际 演示来加深对这一概念的理解。
《线段垂直平分线》PPT 课件
欢迎来到《线段垂直平分线》的PPT课件。在这个课件中，我们将探讨线段垂 直平分线的定义、性质、构造方法以及在几何问题中的应用。让我们一起开 始这个精彩而有趣的探索吧！
题目解析
在这一部分中，我们将深入探讨线段垂直平分线的题目解析，了解如何应对 不同类型的问题，找到解决方案。
线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线是指竖直切割一条线段，将其分成两个相等的部分的直线。
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线具有以下性质：
1 相等长度
线段垂直平分线将线段分成两个相等长度的部分。
2 垂直关系
线段垂直平分线与线段之间呈垂直关系。
3 对称性
线段垂直平分线能够使得两个部分严格对称。
线段垂直平分线的构造方法
线段垂直平分线在几何问题中的应用
线段垂直平分线在几何问题中有许多重要的应用，包括：
画图求解
通过线段垂直平分线可以确定图形的对称性，进而更容易解决涉及图形的问题。
定位点和线段
线段垂直平分线可以帮助我们更准确地定位点和线段的位置。
构造正方形
线段垂直平分线可以用于构造正方形，进而解决与正方形相关的问题。
我们可以使用以下方法构造线段的垂直平分线：
1
时线段的垂直平分线的性质与判定课件
如果一条直线上的点到线 段两个端点的距离相等， 那么这条直线是这条线段 的垂直平分线。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
线段的垂直平分线性质ppt课件
猜想：
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线 段AB 的垂直平分线上呢？
P
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A
B
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
拓展:
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点， 并且这点到三个顶点的距离相等.
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P.
求证：(1)PA=PB=PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你
还能得出什么结论？
C
P
A
B
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12.3 角的平分线
A DP C
O
EB
定理1 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
13.1 线段的垂直平分线
M P
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等.
定理2 到一个角的两边的距离相 等的点，在这个角的平分线上.
逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线ppt课件
C 3. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线上，且∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
D
A
B
变式 如图，在△ABC中，点D是△ABC三边的垂直平分线 的交点，若∠C=60°，则∠D=
C
D
A
B
能力提升
1. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD=30°， ∠BAD=50°，则∠BCD=
尺子作图 不精准
尺规作图
探究一：三角形三边的垂直平分线的性质
画出以下三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
ADຫໍສະໝຸດ MBCE
N
O
F
猜想：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点 到三个顶点的距离相等.
证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点 距离相等。
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的 垂直平分线交于P点.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC
归纳小结
三角形三边的垂直平分线的性质定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点
的距离相等.
A
几何语言： ∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点 B ∴ PA =PB=PC．
P C
探究二：尺规作图
议一议：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作 出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
的距离相等.
2. 尺规作图
2. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，AB的垂直 平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG.
(1)求证：BG=CG.
(2)若∠ABC=42°，求∠CGF的大 小.
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
垂直平分线的性质ppt课件
解:
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
线段的垂直平分线的性质课件
例题：
如图：AB=AC，MB=MC，直线AM是线段
BC的垂直平分线吗？
A
M
B
C
如果我们感觉一个图形是轴对称图形，我 们如何验证呢？不折叠图形你能得出它的 对称轴吗？
A
Байду номын сангаас
A’
基本作图：
作线段的垂直平分线。
已知：线段AB，
A
求作：线段AB的垂直平分线。
作法：(大两1)于弧分—交别12—于以AC点B、的AD、长两B为点为半；圆径心作，弧以，
出的箭的方向与木棒垂直呢？
B
为什么？
结论：线段垂直平分线的判定定理：
与一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
已知：PA=PB，
P
求证：点P在线段AB的垂直
平分线上。
A
C
B
性质定理：在线段垂直平分线上的点到线段两 个端点距离都相等。
判定定理：与线段两个端点距离相等的点都在 线段的垂直平分线上。
1、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2、线段垂直平分线有什么性质？
线段垂直平分线上的点与这条线段的 两个端点的距离相等 。
如图：用一根木棒和一根弹性
C
均匀的橡皮筋，做一个简易的
“弓”，“箭”通过木棒中央
A
的孔射出去，怎样才能保证射
C
B D
（2）作直线CD。 CD即为所求。
结论：对于轴对称图形，
只要找到任意一组对应 点，作出对应点所连线 段的垂直平分线，就得 到此图形的对称轴。
如图，△ABC中，边AB、BC的垂
直平分线交于点P。
《线段的垂直平分线的性质》PPT课件 冀教版八年级数学上
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
回顾复习 线段是轴对称图形，线段的中垂线是它的对称轴.
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证ห้องสมุดไป่ตู้两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等！
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
巩固练习
回顾反思
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
回顾复习 线段是轴对称图形，线段的中垂线是它的对称轴.
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证ห้องสมุดไป่ตู้两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等！
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
巩固练习
回顾反思
线段的垂直平分线ppt课件
因为 OA =OB.由SSS可知△AOP ≌△BOP,
因为 所以 ∠AOP +∠ BOP=180°, ∠AOP = ∠ BOP，所以∠AOP = ∠ BOP=90°,即 B PO⊥ AB，所以PO是线段AB的垂直平分线，
这就是说，点P在线段AB的垂直平分线上.
CLL
新知学习
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3.在公路CD同侧有A、B两个村庄，现要在公路上
CLL
建一车站，使车站到两村距离相等，如何确定车
站的位置？
P
A C 点P就车站所在的位置.
B
P
D
CLL
CLL
布置作业
基础性作业：课本习题2.4 1、2题 拓展性作业：同步练习册35页第6题
CLL
谢谢大家
CLL
情景导入
在公路CD同侧有A、B 两个村庄，现要在公路上建 一车站，使车站到两村距离 相等，如何确定车站的位置？
CLL
2.4 线段的垂直平分线 （第1课时）
CLL
1.体会线段的轴对称性，认识线段垂直平分线。 2.掌握线段垂直平分线的性质并会应用. 3.知道到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
符号语言：
因为点P在 线段AB的垂直平分线上，
A
所以PA =PB.
M P
O N
CLL
B
CLL
学以致用
如图，点P、C、D是线段AB的垂直平分线MN上的任意 三点，分别连接PA，PB，AC，BC，AD，BD，指出图 中相等的线段
A
OA=OB,PA=PB,CA=CB,DA=DB
线上。 4.会用尺规作图作出一条线段的垂直平分线。
因为 所以 ∠AOP +∠ BOP=180°, ∠AOP = ∠ BOP，所以∠AOP = ∠ BOP=90°,即 B PO⊥ AB，所以PO是线段AB的垂直平分线，
这就是说，点P在线段AB的垂直平分线上.
CLL
新知学习
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3.在公路CD同侧有A、B两个村庄，现要在公路上
CLL
建一车站，使车站到两村距离相等，如何确定车
站的位置？
P
A C 点P就车站所在的位置.
B
P
D
CLL
CLL
布置作业
基础性作业：课本习题2.4 1、2题 拓展性作业：同步练习册35页第6题
CLL
谢谢大家
CLL
情景导入
在公路CD同侧有A、B 两个村庄，现要在公路上建 一车站，使车站到两村距离 相等，如何确定车站的位置？
CLL
2.4 线段的垂直平分线 （第1课时）
CLL
1.体会线段的轴对称性，认识线段垂直平分线。 2.掌握线段垂直平分线的性质并会应用. 3.知道到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
符号语言：
因为点P在 线段AB的垂直平分线上，
A
所以PA =PB.
M P
O N
CLL
B
CLL
学以致用
如图，点P、C、D是线段AB的垂直平分线MN上的任意 三点，分别连接PA，PB，AC，BC，AD，BD，指出图 中相等的线段
A
OA=OB,PA=PB,CA=CB,DA=DB
线上。 4.会用尺规作图作出一条线段的垂直平分线。
《线段的垂直平分线》课件
详细描述
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
THANK YOU
《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
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《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
13.1.2线段垂直平分线性质课件(共34张PPT)
B的距离.你有什么发现？再取几个点试试.你能说明理由吗？
发现： P到A的距离与P到B的距离相等.
P
已知:如图.AC=BC. PC⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中:
PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
五角星的对称轴有什么特点？ 相交于一点．
练习
1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下.你们 作出的对称轴一样吗？
练习
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？
练习
3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的 对称轴．
A
B
C
D
做一做
1.正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点， 过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影 部分的面积之和等于 1 a 2 ．
B A
5.求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点 距离相等.
A
·P
B
C
试一试
N
已 知 ： P为 M ON内 一 点 。 P与 A关 于 ON对 称 ， A
P与 B关 于 OM 对 称 。 若 AB长 为 15cm
求 ： PCD的 周 长 .
D P
解: P与A关于ON对称
ON为PA的中垂线（
? …）
F
∴PA=PB 同理：PB=PC
P E
∴PA=PB=PC
A
N
B
结论：三角形三边的垂直平分线交于一 点，并且这点到三个顶点的距离相等.
1312线段的垂直平分线的性质课件
添加 标题
边的垂直平分线性质：垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，利用这一性质 可以证明等腰三角形的性质。
添加 标题
垂直平分线的性质在三角形中的应用：利用垂直 平分线的性质，可以证明三角形中的中垂线定理， 即三角形中垂线上的点到三角形三个顶点的距离 相等。
添加 标题
垂直平分线的性质在四边形中的应用：利用垂直 平分线的性质，可以证明四边形中的对角线性质， 即四边形中对角线被垂直平分线所截得的线段相 等。
通过线段中点作垂直平分线
连接线段两端点 分别以线段两端点为圆心，以线段长度为半径画圆 画出两个圆的交点 连接交点和线段中点
利用直角三角形的性质作垂直平分线
准备一张直角三角形纸片，并标记直角顶点为A，斜边中点为B。 将纸片沿中线对折，使斜边重合，得到一条折痕。 将纸片展开，再次沿中线对折，使斜边重合，得到另一条折痕。 连接两条折痕的交点，即为垂直平分线的中点。
分别过线段两端作中垂线的垂线
连接垂足，得到垂直平分线
汇报人：
应用：垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，例如在三角形、四边形等几何图形中。
垂直平分线的性质
定义：垂直平分线是一条线，它经过某一点并与该点相对的线段垂直。 性质：垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。 定理：垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离是垂直平分线最短的。
应用：在几何学中，垂直平分线是重要的概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。
判定定理的应用
三角形中的垂直平分线：判定三角形中的垂直平分线，并确定垂直平分线上的点到三角形顶 点的距离相等。
圆的垂直平分线：判定圆中的垂直平分线，并确定垂直平分线上的点到圆心的距离相等。
角的平分线：判定角的平分线，并确定角平分线上的点到角的两边距离相等。
线段的垂直平分线的性质课件ppt
平移等距性
在平移变换中，垂直平分线上的 点到线段两个端点的距离相等， 且等于平移的距离。
旋转变换中应用
旋转不变性
垂直平分线在旋转变换下保持不变， 即旋转后的图形仍然保持垂直平分线 的性质。
旋转等角性
以垂直平分线上一点为旋转中心，旋 转任意角度后，所得图形与原图形关 于该点对称。
对称变换中应用
对称中心
思路拓展与延伸
拓展1
探究线段垂直平分线与三角形的关系。例如，已知三角形ABC 中，D是AB的中点，DE垂直于AC于点E，求证：DE是AB的垂 直平分线。
拓展2
将线段垂直平分线的性质应用于实际问题中。例如，在建筑 设计或工程测量中，如何利用线段的垂直平分线性质来确定 某点的位置或某线段的长度。
易错点提示与防范策略
THANKS
感谢观看
线段的垂直平分线是对称中心，即关于垂直平分线的对称点连线的中点就是垂 直平分线与线段的交点。
对称轴
线段的垂直平分线也是对称轴，即关于垂直平分线对称的两个图形是全等的。
05
典型例题解析与思路拓展
典型例题解析
例题1
已知线段AB和点C，D分别是AB，BC的中点，求证：CD是AB的垂直平分线。
解析
根据中点的定义，可知AC=CB，BD=DA。因为CD是AB的中线，所以CD垂直于AB。 又因为AC=CB，所以角ACD=角BCD，从而角ADC=角BDC。根据角平分线的性质， 可知CD平分角ADB，所以CD是AB的垂直平分线。
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端的距离相等。
性质2
线段的垂直平分线是其对 称轴，即线段关于垂直平 分线对称。
判定方法
判定定理
一条直线是某线段的垂直 平分线当且仅当该直线过 线段的中点且与该线段垂 直。
在平移变换中，垂直平分线上的 点到线段两个端点的距离相等， 且等于平移的距离。
旋转变换中应用
旋转不变性
垂直平分线在旋转变换下保持不变， 即旋转后的图形仍然保持垂直平分线 的性质。
旋转等角性
以垂直平分线上一点为旋转中心，旋 转任意角度后，所得图形与原图形关 于该点对称。
对称变换中应用
对称中心
思路拓展与延伸
拓展1
探究线段垂直平分线与三角形的关系。例如，已知三角形ABC 中，D是AB的中点，DE垂直于AC于点E，求证：DE是AB的垂 直平分线。
拓展2
将线段垂直平分线的性质应用于实际问题中。例如，在建筑 设计或工程测量中，如何利用线段的垂直平分线性质来确定 某点的位置或某线段的长度。
易错点提示与防范策略
THANKS
感谢观看
线段的垂直平分线是对称中心，即关于垂直平分线的对称点连线的中点就是垂 直平分线与线段的交点。
对称轴
线段的垂直平分线也是对称轴，即关于垂直平分线对称的两个图形是全等的。
05
典型例题解析与思路拓展
典型例题解析
例题1
已知线段AB和点C，D分别是AB，BC的中点，求证：CD是AB的垂直平分线。
解析
根据中点的定义，可知AC=CB，BD=DA。因为CD是AB的中线，所以CD垂直于AB。 又因为AC=CB，所以角ACD=角BCD，从而角ADC=角BDC。根据角平分线的性质， 可知CD平分角ADB，所以CD是AB的垂直平分线。
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端的距离相等。
性质2
线段的垂直平分线是其对 称轴，即线段关于垂直平 分线对称。
判定方法
判定定理
一条直线是某线段的垂直 平分线当且仅当该直线过 线段的中点且与该线段垂 直。
《线段的垂直平分线》课件
《线段的垂直平分线》课件
目录
• 线段与垂直平分线基本概念 • 构造垂直平分线方法 • 垂直平分线与相关几何图形关系 • 垂直平分线在解决实际问题中应用 • 知识点总结与回顾 • 练习题及解答环节
01 线段与垂直平分线基本概 念
线段定义及性质回顾
01
02
03
线段定义
直线上两个点和它们之间 的所有点组成的图形叫做 线段。
关键概念梳理
线段的垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线。
线段的中点
线段上的一点，把线段分成两条相等的部分，这个点叫做线段的中 点。
垂直
两直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直。
重要性质归纳
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
利用尺规作图法
准备工具
直尺和圆规是尺规作图 的基本工具，需确保工 具准确无误。
确定线段
在图纸上确定需要作垂 直平分线的线段AB。
作法步骤
首先以线段AB的两个端 点为圆心，以大于线段 AB长度的一半为半径画 弧，两弧交于两点C和D； 然后连接CD，直线CD 即为线段AB的垂直平分 线。
使用几何画板辅助构造
在四边形中应用举例
在平行四边形中
平行四边形的对角线互相平分，因此可以利用垂直平分线的性质来证明对角线 的性质。
在菱形中
菱形的对角线互相垂直且平分，垂直平分线可以应用于证明菱形的性质和判定。
拓展到多边形和圆中
在多边形中
对于任意多边形，可以通过连接多边形的顶点与对边的中点，构造出多条垂直平 分线。这些垂直平分线会相交于多边形的质心，质心具有一些重要的几何性质。
目录
• 线段与垂直平分线基本概念 • 构造垂直平分线方法 • 垂直平分线与相关几何图形关系 • 垂直平分线在解决实际问题中应用 • 知识点总结与回顾 • 练习题及解答环节
01 线段与垂直平分线基本概 念
线段定义及性质回顾
01
02
03
线段定义
直线上两个点和它们之间 的所有点组成的图形叫做 线段。
关键概念梳理
线段的垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线。
线段的中点
线段上的一点，把线段分成两条相等的部分，这个点叫做线段的中 点。
垂直
两直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直。
重要性质归纳
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
利用尺规作图法
准备工具
直尺和圆规是尺规作图 的基本工具，需确保工 具准确无误。
确定线段
在图纸上确定需要作垂 直平分线的线段AB。
作法步骤
首先以线段AB的两个端 点为圆心，以大于线段 AB长度的一半为半径画 弧，两弧交于两点C和D； 然后连接CD，直线CD 即为线段AB的垂直平分 线。
使用几何画板辅助构造
在四边形中应用举例
在平行四边形中
平行四边形的对角线互相平分，因此可以利用垂直平分线的性质来证明对角线 的性质。
在菱形中
菱形的对角线互相垂直且平分，垂直平分线可以应用于证明菱形的性质和判定。
拓展到多边形和圆中
在多边形中
对于任意多边形，可以通过连接多边形的顶点与对边的中点，构造出多条垂直平 分线。这些垂直平分线会相交于多边形的质心，质心具有一些重要的几何性质。
《线段的垂直平分线》PPT课件
练习
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
答：∠CAE=50°.
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要 求写出作法）.
1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上, A
∴PA=PB
同理,PB=PC.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直
平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（ C ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
M A
E C
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你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多 少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
l
与A，B 的距离相等的点
都在直线l上，所以直线l 可
以看成与A、B两点 的距离
A
相等的所有点的集合.
P
C
B
这是判断一条直
应用格式：
线是线段的垂直
∵ AB =AC，MB =MC， 平分线的方法.
P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…
到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P3
P1A _＝___P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
E B
F
（4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线.
想一想：
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 1 DE 的长为半径作弧？ 2
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
例3 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线
交于P.求证：PA=PB=PC.
例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C .
C
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和
点C在AB的两旁.
A
D
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，
K
交AB于点D和点E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 1 DE 2
的长为半径作弧，两弧相交于点F.
问题引入
A
某区政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区A、B、C之间修建一个购 物中心，试问该购物中心应建于何处， 才能使得它到三个小区的距离相等？
B C
讲授新课
一 线段垂直平分线的性质
探究发现
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上
的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
A
平分线．
M
B
D
C
课堂小结
性质
线段的垂直 平分的性质
和判定
判定
内 容 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等
作 用 见垂直平分线，得线段相等
内容
到线段的两个端点距离相等 的点在线段的垂直平分线上
作 用 判断一个点是否在线段的垂 直平分线上
二 线段垂直平分线的判定来自合作探究想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂 直平分线上呢？
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直
平分线上．
A
P B
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
P
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． A
∴ AC =BC．
C
B
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
知识要点 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．A
P B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
验证结论
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC， A
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB．
P
C
B
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂 直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周 长为35cm，则BC的长为( C )
解析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M'
P
PA=PB
PB=PC
B
C N
N'
PA=PB=PC
证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB. 同理 PB=PC. ∴PA=PB=PC.
现在你能想到方法确定购物 中心的位置，使得它到三个 小区的距离相等吗？
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等.
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋ CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝ 35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段 之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
第十三章 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． (重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际 问题．（难点）
导入新课