第四讲 岩石流变性质
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• 应力为恒定时，应变保持不变，故无 蠕变现象。
– 圣维南体：摩擦片，是理想刚塑性体，即屈服前为刚 体、屈服后为塑性流动； • 本构关系： 当 s 时： 当 s 时：
0
研究生思考：如果 摩擦片是有硬化特 性的理想塑性体， 其应力应变关系图 是怎样的？
s 为塑性屈服极限。
特点： •小于屈服极限时，应变为零； •超过屈服极限后，应变无限制增长（理论上）。
– 牛顿体：粘壶，是粘性体，其表示符号见图示。
• 它的本构关系：应力与应变速率成正比：
或
（2-45） （2-46）
d dt
特点： •无瞬时变形； •有永久变形，无弹性后效； •无应力松弛。
s0
σt o t
s∞
t
流变学家—袁龙蔚
• 袁龙蔚，流变学家，中国流变学研究的开拓者之 一。倡导缺陷体流变学、加工工艺流变学、中医 基础理论流变学三个新的分支学科。运用新技术 于材料破坏过程中裂尖断裂过程区内形成的温度 场、位移场、质量场、磁场的变化规律，建立了 缺陷体流变学的基本理论框架，应用于水电站混 凝土大坝的裂纹扩展分析及加固处理获得成功。 • 1. 袁龙蔚.流变性概论.上海：上海科技出版社， 1961. • 2. 袁龙蔚.流变力学.北京：科学出版社，1986. • 3. 袁龙蔚，智荣斌，李之达.流变断裂学基础.北 京: 防工业出版社，1992. • 5. 袁龙蔚.缺陷体流变学.北京：国防工业出版社， 1994.
• Kelvin模型的特点：
– 属于稳定蠕变； – 有弹性后效； – 没有应力松弛。
• 用途：描述具有上述特点的岩石模型。
Prandtl 体
• Prandtl体：由虎克体和库仑体串联组成，见图： • 本构关系：
s
s
k
遵循串联模型原理：ε=ε1+ε2。当σ<σs时，ε=ε1；当σ>=σs 时，ε=ε1+ε2，即由弹性和塑性流动变形组成。
（2-48）
根据虎克体和牛顿体各自的本构关系，利用上式的关 系，得到Maxwell模型的本构方程为：
（2-49）
或者：
d 1 1 d = dt E dt
（2-50）
• 蠕变特性：
蠕变方程：是指当应力值不变时，应变与时间的关系方 程（载荷恒定σ = σ0 ）： 在上式（2-49）中σ = σ0 时，本构方程中的项： 所以本构方程（2-49）可以简化为蠕变方程：
• 由此三种基本的力学模型，通过串联和并联的不同组合， 组成各种刻画不同性质的岩石的蠕变模型，岩石力学中常 见的几种模型（见教材图2-33）： –Maxwell体； –Kelvin体； –Prandtl体； –Modified Kelvin体（广义凯尔文体）； –Modified Maxwell体； –Poyting-Thomson体； –Burgers体； –理想粘塑性体； –Bingham体； –西原体。
d 0 dt
1
0
确定任意常数ε0=？
该本构方程的通解为：
1
0t 0
（a）
初始条件是当t=0时，施加恒定应力时牛顿体的惰性不产生 瞬时应变，只有虎克体产生瞬时应变，根据虎克体的本构关 系则有： 0 0 这是工程中一种有害 E 蠕变！如果隧道、边 带入通解（a）得到蠕变本构方程： 坡、基坑、地基变形 有这种特征时，说明 1 0 0t （2-51） 其变形不稳定。 E
1. 岩石松弛特性：
• 是指在保持应变（或变形）恒定时，应力随时间 逐渐减小的性质。 • 松弛方程可用以下通式表示：
f ( , const , t ) 0
σ
2. 松弛特性分为以下四类：
• • • • 瞬间松弛：曲线1； 完全松弛：曲线2； 不完全松弛：曲线3； 无松弛：曲线4。 1 2 3
上式说明应变与时间成线 性关系，见右图所示。 描述蠕变特点： ε 蠕变曲线
有瞬时弹性变形
等速蠕变
ε0＝σ0 /E
t
• 松弛特性：
松弛方程：应变不变时（ε=ε0=常数 ），应力与时 间之间的关系：
0 时，原方程变为： 由本构方程（2-49），当
1 1 0 分离变量得到： E
2.5 岩石的流变
• 岩石流变的定义：
– 岩石受力变形与时间相关的性质。
f ( , , t ) 0
• 岩石流变研究的内容：
研究岩石蠕变、松弛、粘滞性和长期强度等性质。 – 蠕变：应力不变时，应变随时间变化的性质；
f ( , t ) 0
ε
σ为常数 t
ε (t=∞)
– 松弛：
应变不变时，应力随时间变化的性质； f ( , t ) 0 σ ε 为常数 σ0 t –弹性后效（弹性滞后）： 卸载时，弹性应变滞后于应力的性质。也就是说，瞬时卸 去载荷时，全部弹性变形要经历一段时间后才能完全恢复。
d
E
dt
其通解为：
E
t ln C
（b）
确定常数C=？
初始条件是当t=0时，对应初始应变ε0，有初始应力 σ=σ0（虎克体的响应），得到：
C ln 0 将此式带入（b）式，然后整理得到下列松弛方程为：
0e
E t
σ
σ0
松弛曲线
即应力呈负指数衰减，见 图所示。 松弛特性： 按照指数函数衰减
0
E
(1 e
E t
)
（2-57）
蠕变方程的曲线形式见图所示，曲线随t的增加， 逐渐趋于一渐近线，说明为稳定蠕变。
•卸载特性：
卸载方程：即卸去应力时的方程：
当在t=t1时（对应的应变为ε1），突然卸去荷载即σ=0，则 由本构方程（2-55）得：
d 0 E dt
E
分离变量，并求得其通解为：
模型串联与并联的特点
这两个特点是从数学力学 理论上推导不同复杂组合 力学模型本构关系的依据。
Maxwell模型
• Maxwell体由虎克体与牛顿体串联组成，见下图所示；
σa σb
因为：
a b a b
E
（2-47）
解释一下 为何用率 形相加？
ln
t C
E
（b）
当t=t1时，ε=ε1，得到常数C为：
C ln 1
t1
带入式（b）中整理后得到下列卸载方程：
1e
E
( t1 t )
其曲线见前面的图 所示，是一条衰减 的曲线。
•松弛特性：
应变保持恒定时的应力－时间关系，即式（2-55）中应变 率等于0： 松弛方程： E 特性：当应变保持不变时，应力也保持不变，即应力与 时间没有关系，说明该模型没有蠕变
砂岩 花岗岩
稳定蠕变 有渐近线 很小的蠕变
t
2.
典型的岩石蠕变曲线：软岩蠕变曲线的四阶段：
– – 瞬时变形：O-A段（瞬时弹性变形） 初始蠕变：A-B段 • 随时间发展变形减缓,曲线上凸； • 如在此阶段快速卸去应力,则产生弹性后效(QR段)。但经过一定 时间td后，变形能完全恢复，仍表现为弹性性质。 – 等速蠕变：B-C段 • 变形曲线呈线性增长,稳定变形阶段； • 如在此阶段快速卸去应力则留有一个永久变形εr ,表现弹塑性性质。 – 加速蠕变：C-D段 • 随时间发展变形迅速增长，最后导致岩石破坏。
孙钧院士简介
章节作业
第37页：
2.4 2.7 2.8 2.15 2.20 2.21 2.23 两周以后交作业。
3. 岩石长期强度经验方程：
根据前述的岩石长期强度衰减的特征，我们可以得到 岩石长期强度的基本表达式为：
t A Beat
（2-58）
根据下图所示的初始条件和长期强度（试验得到），可得到岩石 任意时刻的强度表达式为：
t s ( s0 s )e-t
σ
（2-59）
如何求解这个以ε为变量的方程，是数 学问题，这里不做求解过程推导。
求解常数A=？
该方程的通解为：
0
E
E
Ae
t
（a）
根据初始条件，当t=0时的瞬间，由于牛顿体的惰性，其应变 也为零，由此条件据上式（a）可得：
0
E
A0
即得到： A
0
E
E
把A代入（a）式得到指数 函数形式的解：
ε
A
弹性后效
B
ε0 t0
C
t
在蠕变的某时刻A点，突然卸去 载荷时，开始有一个瞬间的弹 性恢复到B点，之后要经历一段 时间t0后弹性变形才完全恢复到 C点的现象。
2.5.1 岩石的蠕变
1. 稳定蠕变和不稳定蠕变：
（1）稳定蠕变：
①变形很小，很快随时间增长就稳定的蠕变：如图中的花岗岩
②有明显的蠕变变形，但最终趋于稳定的蠕变，如图中的砂岩，产 生一定的蠕变变形后，最终稳定在一个变形值范围之内。 （2）不稳定蠕变：软弱岩石，如页岩、泥岩等等，变形没有稳定值。
ε
Ⅰ
B P
Ⅱ
T
Ⅲ
C
D
A
U Q R
σ 一定时，ε与 时间的关系曲线
V
ε0
O
A
εr
t
td
2. 常见的三种基本力学模型：
– 虎克体：弹簧，是弹性体； • 其本构关系的数学表达式：
E
特点：
(2-44)
• 具有瞬时弹性变形性质，只要应力不 为零，就有应变存在；
• 应变为恒定时，应力保持不变，故无 应力松弛；
两式中应变相等！
(2-54)
(2-54)
根据模型串联的关系，得到本构关系：
E
或者：
d E dt
（2-55） （2-56）
• 蠕变特性：
–蠕变方程：应力不变时应变与时间之间的关系。
施加一个不变的应力σ0并保持为恒定，本构方程变为：
d 0 E dt
4
o
图2-34 松弛曲线
t
2.5.3岩石的长期强度（自学）
1. 岩石的长期强度：
工程中岩石在长期荷载作用下，其强度会随时间的延 长而降低。 把在荷载作用时间趋于无穷大时的岩石的强度称为岩 石的长期强度。
2. 长期强度的确定方法：两种确定方法：
（1）第一种方法：通过不同应力水平长期恒载试验来确 定“应变-时间” 曲线，再根据这些曲线作“应力-时 间” 曲线的方法。 （2）第二种方法：通过不同应力水平长期恒载试验来确 定“应变-时间” 曲线，再根据这些曲线作等时的“应 力-应变蔟”的方法。
• 蠕变和松弛特性：由于本构方程中无时间参数， 所以本模型没有蠕变和松弛特性； • 卸载特性：在某时刻卸载应力至零，则弹性变形 恢复，塑性变形不变。
• 模型特点：无蠕变、无松弛、无弹性后效，有残余 变形。 • 用途：描述理想弹塑性模型。
这是我们在工程中应用最广、 也是最简单的一种弹塑性力学 模型-理想弹塑性模型。
加载 卸载
ε1
ε2
需要指出的是，在ε=ε1+ε2中， 如果ε2>>ε1,则弹性应变ε1可以 忽略不计。
学生思考？
1. 建立具有下列应力-应变本构关系的力学模型，绘 制力学模型组成图。 2. 写出其本构关系的数学表达式。 3. 分析该模型的蠕变特性。 4. 分析该模型的卸载特性。
s
2.5.2 岩石的松弛性质
t
•Maxwell模型的特点：
具有瞬时变形； 等速蠕变； 具有应力松弛性质； •用途：属于不稳定蠕变模型，可以用来描述具有这种性质 的岩石受力变形特征。
Kelvin模型 • Kelvin体由虎克体和牛顿体并联组成，见下图；
• 并联时：σ =σ1+σ 2 。
1 E 1 2 2
– 圣维南体：摩擦片，是理想刚塑性体，即屈服前为刚 体、屈服后为塑性流动； • 本构关系： 当 s 时： 当 s 时：
0
研究生思考：如果 摩擦片是有硬化特 性的理想塑性体， 其应力应变关系图 是怎样的？
s 为塑性屈服极限。
特点： •小于屈服极限时，应变为零； •超过屈服极限后，应变无限制增长（理论上）。
– 牛顿体：粘壶，是粘性体，其表示符号见图示。
• 它的本构关系：应力与应变速率成正比：
或
（2-45） （2-46）
d dt
特点： •无瞬时变形； •有永久变形，无弹性后效； •无应力松弛。
s0
σt o t
s∞
t
流变学家—袁龙蔚
• 袁龙蔚，流变学家，中国流变学研究的开拓者之 一。倡导缺陷体流变学、加工工艺流变学、中医 基础理论流变学三个新的分支学科。运用新技术 于材料破坏过程中裂尖断裂过程区内形成的温度 场、位移场、质量场、磁场的变化规律，建立了 缺陷体流变学的基本理论框架，应用于水电站混 凝土大坝的裂纹扩展分析及加固处理获得成功。 • 1. 袁龙蔚.流变性概论.上海：上海科技出版社， 1961. • 2. 袁龙蔚.流变力学.北京：科学出版社，1986. • 3. 袁龙蔚，智荣斌，李之达.流变断裂学基础.北 京: 防工业出版社，1992. • 5. 袁龙蔚.缺陷体流变学.北京：国防工业出版社， 1994.
• Kelvin模型的特点：
– 属于稳定蠕变； – 有弹性后效； – 没有应力松弛。
• 用途：描述具有上述特点的岩石模型。
Prandtl 体
• Prandtl体：由虎克体和库仑体串联组成，见图： • 本构关系：
s
s
k
遵循串联模型原理：ε=ε1+ε2。当σ<σs时，ε=ε1；当σ>=σs 时，ε=ε1+ε2，即由弹性和塑性流动变形组成。
（2-48）
根据虎克体和牛顿体各自的本构关系，利用上式的关 系，得到Maxwell模型的本构方程为：
（2-49）
或者：
d 1 1 d = dt E dt
（2-50）
• 蠕变特性：
蠕变方程：是指当应力值不变时，应变与时间的关系方 程（载荷恒定σ = σ0 ）： 在上式（2-49）中σ = σ0 时，本构方程中的项： 所以本构方程（2-49）可以简化为蠕变方程：
• 由此三种基本的力学模型，通过串联和并联的不同组合， 组成各种刻画不同性质的岩石的蠕变模型，岩石力学中常 见的几种模型（见教材图2-33）： –Maxwell体； –Kelvin体； –Prandtl体； –Modified Kelvin体（广义凯尔文体）； –Modified Maxwell体； –Poyting-Thomson体； –Burgers体； –理想粘塑性体； –Bingham体； –西原体。
d 0 dt
1
0
确定任意常数ε0=？
该本构方程的通解为：
1
0t 0
（a）
初始条件是当t=0时，施加恒定应力时牛顿体的惰性不产生 瞬时应变，只有虎克体产生瞬时应变，根据虎克体的本构关 系则有： 0 0 这是工程中一种有害 E 蠕变！如果隧道、边 带入通解（a）得到蠕变本构方程： 坡、基坑、地基变形 有这种特征时，说明 1 0 0t （2-51） 其变形不稳定。 E
1. 岩石松弛特性：
• 是指在保持应变（或变形）恒定时，应力随时间 逐渐减小的性质。 • 松弛方程可用以下通式表示：
f ( , const , t ) 0
σ
2. 松弛特性分为以下四类：
• • • • 瞬间松弛：曲线1； 完全松弛：曲线2； 不完全松弛：曲线3； 无松弛：曲线4。 1 2 3
上式说明应变与时间成线 性关系，见右图所示。 描述蠕变特点： ε 蠕变曲线
有瞬时弹性变形
等速蠕变
ε0＝σ0 /E
t
• 松弛特性：
松弛方程：应变不变时（ε=ε0=常数 ），应力与时 间之间的关系：
0 时，原方程变为： 由本构方程（2-49），当
1 1 0 分离变量得到： E
2.5 岩石的流变
• 岩石流变的定义：
– 岩石受力变形与时间相关的性质。
f ( , , t ) 0
• 岩石流变研究的内容：
研究岩石蠕变、松弛、粘滞性和长期强度等性质。 – 蠕变：应力不变时，应变随时间变化的性质；
f ( , t ) 0
ε
σ为常数 t
ε (t=∞)
– 松弛：
应变不变时，应力随时间变化的性质； f ( , t ) 0 σ ε 为常数 σ0 t –弹性后效（弹性滞后）： 卸载时，弹性应变滞后于应力的性质。也就是说，瞬时卸 去载荷时，全部弹性变形要经历一段时间后才能完全恢复。
d
E
dt
其通解为：
E
t ln C
（b）
确定常数C=？
初始条件是当t=0时，对应初始应变ε0，有初始应力 σ=σ0（虎克体的响应），得到：
C ln 0 将此式带入（b）式，然后整理得到下列松弛方程为：
0e
E t
σ
σ0
松弛曲线
即应力呈负指数衰减，见 图所示。 松弛特性： 按照指数函数衰减
0
E
(1 e
E t
)
（2-57）
蠕变方程的曲线形式见图所示，曲线随t的增加， 逐渐趋于一渐近线，说明为稳定蠕变。
•卸载特性：
卸载方程：即卸去应力时的方程：
当在t=t1时（对应的应变为ε1），突然卸去荷载即σ=0，则 由本构方程（2-55）得：
d 0 E dt
E
分离变量，并求得其通解为：
模型串联与并联的特点
这两个特点是从数学力学 理论上推导不同复杂组合 力学模型本构关系的依据。
Maxwell模型
• Maxwell体由虎克体与牛顿体串联组成，见下图所示；
σa σb
因为：
a b a b
E
（2-47）
解释一下 为何用率 形相加？
ln
t C
E
（b）
当t=t1时，ε=ε1，得到常数C为：
C ln 1
t1
带入式（b）中整理后得到下列卸载方程：
1e
E
( t1 t )
其曲线见前面的图 所示，是一条衰减 的曲线。
•松弛特性：
应变保持恒定时的应力－时间关系，即式（2-55）中应变 率等于0： 松弛方程： E 特性：当应变保持不变时，应力也保持不变，即应力与 时间没有关系，说明该模型没有蠕变
砂岩 花岗岩
稳定蠕变 有渐近线 很小的蠕变
t
2.
典型的岩石蠕变曲线：软岩蠕变曲线的四阶段：
– – 瞬时变形：O-A段（瞬时弹性变形） 初始蠕变：A-B段 • 随时间发展变形减缓,曲线上凸； • 如在此阶段快速卸去应力,则产生弹性后效(QR段)。但经过一定 时间td后，变形能完全恢复，仍表现为弹性性质。 – 等速蠕变：B-C段 • 变形曲线呈线性增长,稳定变形阶段； • 如在此阶段快速卸去应力则留有一个永久变形εr ,表现弹塑性性质。 – 加速蠕变：C-D段 • 随时间发展变形迅速增长，最后导致岩石破坏。
孙钧院士简介
章节作业
第37页：
2.4 2.7 2.8 2.15 2.20 2.21 2.23 两周以后交作业。
3. 岩石长期强度经验方程：
根据前述的岩石长期强度衰减的特征，我们可以得到 岩石长期强度的基本表达式为：
t A Beat
（2-58）
根据下图所示的初始条件和长期强度（试验得到），可得到岩石 任意时刻的强度表达式为：
t s ( s0 s )e-t
σ
（2-59）
如何求解这个以ε为变量的方程，是数 学问题，这里不做求解过程推导。
求解常数A=？
该方程的通解为：
0
E
E
Ae
t
（a）
根据初始条件，当t=0时的瞬间，由于牛顿体的惰性，其应变 也为零，由此条件据上式（a）可得：
0
E
A0
即得到： A
0
E
E
把A代入（a）式得到指数 函数形式的解：
ε
A
弹性后效
B
ε0 t0
C
t
在蠕变的某时刻A点，突然卸去 载荷时，开始有一个瞬间的弹 性恢复到B点，之后要经历一段 时间t0后弹性变形才完全恢复到 C点的现象。
2.5.1 岩石的蠕变
1. 稳定蠕变和不稳定蠕变：
（1）稳定蠕变：
①变形很小，很快随时间增长就稳定的蠕变：如图中的花岗岩
②有明显的蠕变变形，但最终趋于稳定的蠕变，如图中的砂岩，产 生一定的蠕变变形后，最终稳定在一个变形值范围之内。 （2）不稳定蠕变：软弱岩石，如页岩、泥岩等等，变形没有稳定值。
ε
Ⅰ
B P
Ⅱ
T
Ⅲ
C
D
A
U Q R
σ 一定时，ε与 时间的关系曲线
V
ε0
O
A
εr
t
td
2. 常见的三种基本力学模型：
– 虎克体：弹簧，是弹性体； • 其本构关系的数学表达式：
E
特点：
(2-44)
• 具有瞬时弹性变形性质，只要应力不 为零，就有应变存在；
• 应变为恒定时，应力保持不变，故无 应力松弛；
两式中应变相等！
(2-54)
(2-54)
根据模型串联的关系，得到本构关系：
E
或者：
d E dt
（2-55） （2-56）
• 蠕变特性：
–蠕变方程：应力不变时应变与时间之间的关系。
施加一个不变的应力σ0并保持为恒定，本构方程变为：
d 0 E dt
4
o
图2-34 松弛曲线
t
2.5.3岩石的长期强度（自学）
1. 岩石的长期强度：
工程中岩石在长期荷载作用下，其强度会随时间的延 长而降低。 把在荷载作用时间趋于无穷大时的岩石的强度称为岩 石的长期强度。
2. 长期强度的确定方法：两种确定方法：
（1）第一种方法：通过不同应力水平长期恒载试验来确 定“应变-时间” 曲线，再根据这些曲线作“应力-时 间” 曲线的方法。 （2）第二种方法：通过不同应力水平长期恒载试验来确 定“应变-时间” 曲线，再根据这些曲线作等时的“应 力-应变蔟”的方法。
• 蠕变和松弛特性：由于本构方程中无时间参数， 所以本模型没有蠕变和松弛特性； • 卸载特性：在某时刻卸载应力至零，则弹性变形 恢复，塑性变形不变。
• 模型特点：无蠕变、无松弛、无弹性后效，有残余 变形。 • 用途：描述理想弹塑性模型。
这是我们在工程中应用最广、 也是最简单的一种弹塑性力学 模型-理想弹塑性模型。
加载 卸载
ε1
ε2
需要指出的是，在ε=ε1+ε2中， 如果ε2>>ε1,则弹性应变ε1可以 忽略不计。
学生思考？
1. 建立具有下列应力-应变本构关系的力学模型，绘 制力学模型组成图。 2. 写出其本构关系的数学表达式。 3. 分析该模型的蠕变特性。 4. 分析该模型的卸载特性。
s
2.5.2 岩石的松弛性质
t
•Maxwell模型的特点：
具有瞬时变形； 等速蠕变； 具有应力松弛性质； •用途：属于不稳定蠕变模型，可以用来描述具有这种性质 的岩石受力变形特征。
Kelvin模型 • Kelvin体由虎克体和牛顿体并联组成，见下图；
• 并联时：σ =σ1+σ 2 。
1 E 1 2 2