17知识讲解_空间向量及其线性运算

空间向量及其线性运算

【学习目标】

1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法； 2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律； 3．掌握数量积的概念及其几何意义，掌握数量积的运算律；

4．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题． 【要点梳理】

要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义：

空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；

空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；

一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示． 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a .

向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则 AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作 a b ， ，规定0 a b ， ．如图：

要点诠释：

（1）空间中点的一个平移就是一个向量；

（2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；

（3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点；

（4）当 a b ， =0或 时，向量a ，b 平行，记作a b ；当 a b ， =

2

π

时，向量 a b ，垂直，记作a b .

2．空间向量的有关概念：

零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．

单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =．

相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平

行向量．a 平行于b 记作b a

//，此时． a b ， =0或 a b ， = ．

共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：

（1）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b

的有向线段所在的直线可能是同一直线，

也可能是平行直线．

（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间

任意两个向量是共面的．

（3）对于任意一个非零向量a ，我们把

a

a

叫作向量a 的单位向量，记作0a .0a 与a 同向. 要点二：空间向量的加减法 1．向量加法与减法的定义

空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．

2．向量加减法的运算律 交换律：a b b a +=+； 结合律：()()a b c a b c ++=++.

要点诠释：

（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；

（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧：

① 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：

12233411n n n A A A A A A A A A A -+++

+=

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ② 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：

122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；

要点三：空间向量的数乘运算

1．向量数乘的定义：空间向量a 与实数λ的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．满足： （1）| a |=| ||a |．当λ＞0时，a λ与a 方向相同；

（2）当λ＞0时，a λ与a 方向相同；当λ< 0时，a λ与a 方向相反；当λ= 0时，a λ=0．

如右图所示．

2．向量数乘的运算律

分配律：λ (a +b )=a λ+b λ，（λ+μ）a =a λ+μa （λ ，μ R ）；

结合律：λ (μa )= (λμ) a （λ ，μ R ）． 要点诠释：

（1）实数λ与空间向量a 的乘积a λ（λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向

伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量． （2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，a λ=0；当λ≠0时．若a ≠0时，有a λ≠0．

（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义． 要点四：空间向量的数量积 1．数量积的定义

空间中两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉．

要点诠释：

（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．

（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其

符号由夹角的余弦值决定．

（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定

要将它们区别开来，不可混淆． 2.空间向量数量积的性质

设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则 （1）||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>； （2）0a b a b ⊥⇔⋅=； （3）2

||a a a =⋅或||a a a =⋅；

（4）cos ,||||

a b

a b a b ⋅<>=

⋅；

（5）||||||a b a b ⋅≤⋅.

3．空间向量的数量积满足如下运算律： （1）交换律：a ·b b =·a ； （2）分配律：a ·b c +=（）a ·b a?c + b+a ·c ；

（3）(λa )·b =λ()a?

b ． 要点诠释：

（1） 对于三个不为0的实数a b c 、、，若a?b a?c =，则b c =；对于三个不为0的向量，

若a b b c =不能得出b c =，即向量不能约分．

（2） 若a?b k =，不能得出a b k =

（或b a

k

=），就是说，向量不能进行除法运算． （3） 对于三个不为0的实数，a b c 、、有()()ab c a bc =，对于三个不为0的向量a b c 、、，