3.1复化数值求积法

b
对[a,b] 上的任何连续函数 f (x),都有
lim
n
Tn
a
f ( x)dx
但对代数多项式
f (x)
x2， b a
f ( x)dx Tn
0, n 1,2,
定义4将区间 [a, b]n等分，h b ，a 用某一基本求积公式
n
In
生成的复化求积公式，若对充分光滑的被积函数 f (，x)有
h2
12
证明： 因为 f ( x) C 2[a, b]时,由定理
xi xi 1
f
(
x
)dx
h 2
[
f
(
x
i 1
)
f ( xi )]
h3 12
f (i ),
xi1 i xi
又f ( x) C 2[a, b]，因此f ( x)存在最大值M与最小值m，
即
m f ( x) M， 又
m
1 n
n
又 h f ( i ) hf (1 ) hf ( 2 ) hf (n ) i 1
h[ f (1)
f ( x1) h
f ( x0 )] h[ f (2 )
f ( x2 ) h
f ( x1)]
h[ f (n )
f ( xn ) h
f ( x1)]
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn1 ) f ( xn )
n i 1
f ( i )
M，
再由闭区间上连续函数的介值定理知， (a, b)，使
f ( )
1 n
n i 1
f ( i )
n
f ( i ) nf ( )
i 1
h b a nh b a n
b a
f ( x)dx Tn
h3 12
n i 1
f (i )
h3 nf ( ) (b a)h2 f ( )，a b。
)]
b f (x)dx h[ f (a)
a
6
n1
n
f (b) 2 f (xi ) 4
i 1
i 1
f
(
x
i
1
)]
S
n
2
12 Sn 3 Tn 3 Hn
由
2T2n
Tn
H
，得
n
Sn
1 3 (4T2n
Tn )
4T2n Tn 3
4T2n Tn 41
定理8 当f ( x) C 4[a, b] 时,复化Simpson公式的余项有表达式
2
f (b)
记
Tn
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，
因为每个小区间上是N－C公式中当n=1时的梯形公式。
定理7 若f ( x) C 2[a, b] , 则复化梯形公式的余项为
b
a f ( x)dx Tn
(b a)h2 12
f ( ),
a b，
b
及渐近估计式 a f ( x)dx Tn 1 ( f (a) f (b)), h 0。
a
值就越精确。
f ( x)dx
n i 1
h 2
[
f
(
x
i
1
)
f ( xi )]
1
n1
1
h
2
f (a)
i 1
f (xi )
2
f (b)
记
Tn
b a 1
1
n1
ba
n
2 f (a) 2 f (b) i1 f (a i
n
)
即
b
f ( x)dx
a
1
n1
1
h 2
f (a)
i 1
f (xi )
b
a
f (x)dx In hp
Cp
(|C p | ),
h0
(3.7)
其中CP 独立于n,依赖于 f ( x)。称该复化求积公式的收敛阶为p。
若对某复化求积公式In有
(3.7)
b
a
f ( x)dx In hp
Cp
(| C p | ),
h 0，
则其收敛阶为p。
结论：
复化梯形公式的收敛阶是2。
且当 f (a) 时f (收b)敛阶大于2。
b
a f ( x)xdx Tn
1
( f (a)
f (b)),
(3.3)
h 0。
h2
12
复化Simpson公式的收敛阶是4，且当 f (a) f (b) 时，收敛阶
大于4。
复化m节点Causs-Legendre求积公式的收敛阶为2m。
注：
由
lim
n
Tn
b f ( x)dx ，收敛阶越高,当区间划分加密时,积分近似
n
n
所以 h f (i ) O(h2 ) f (a) f (b) f (a) f (b),(h 0)，
i 1
i 1
n
即 h f (i ) f (a) f (b) (h 0)。
#
i 1
3、复化中矩求积公式
在 [ xi1 , xi ]上采用中矩形公式，
x1 x3
2
2
a x0 x1 x2
{hf (1) [ f (x1) f (x0)]}{hf (2) [ f (x2) f (x1)]}
{hf (n ) [ f ( xn ) f ( x1)]} f ( x0 ) f ( xn )
n
h f (i ) hf (1 ) hf (2 ) hf (n )
{hf
i 1
进行等距细分：xi
a
i
b
a n
,i
0,1,, n，
在每个小区间 [xi1 , xi ]上用相同的“基本”求积公式计算出
xi f (x)dx xi 1
的近似值Si ， 即
xi xi 1
f
( x)dx
Si ,i
1,2,, n，
从而
b
f ( x)dx
a
n
n
Si , 即用和式
S i 作为
i 1
(1) [
f
( x1 )
f
( x0 )]}
{hf
(2 )
[
f
(x2)
f
( x1 )]}
{hf
(n )
[
f
( xn )
f
( xn1)]}
f ( x0 ) f ( xn ) f (a) f (b)
利用皮亚诺型Taylor公式有
记
O(h2 )
f ( xi1 ) f ( i ) f ( i )( xi1 i ) O(( xi1 i )2 )
记 h b a , xi f ( x)dx h f ( xi1 xi )， i 1,2,,n
n
x i 1
2
xn1 2 xn b x
所以
b
n
f ( x)dx
a i 1
xi xi 1
f
( x)dx
ba n
n i 1
f (a
(i
1 )h) 2
H
。
n
4、复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系
i 1
b f ( x)dx的近似值。
a
注：不能同时取两个或两个以上的公式。
3.2 复化梯形公式
1、 公式
在[ xi1
,
xi
]上采用梯形公式，记
h
b
n
a
,
xi xi 1
f ( x)dx
h[ 2
f ( xi1 )
f
( xi )]，i
1,2,, n
所以
b
n
f ( x)dx
a i 1
xi xi 1
§3 复化数值求积公式（复合数值求积公式）
3.1 复化数值求积法 问题：如何提高求积公式的精度？ 解决方法：
（1）增加求积节点 如：N－C公式。缺点：当n增大时，数值不稳定；
Gauss型求积公式。 缺点：节点是无理数，计算不方便。 （2）复化求积公式
复化求积公式的原则（基本思想）：
把求积区间 [a,b]
(1)
f ( xi ) f (i ) f ( i )( xi i ) O(( xi i )2 )
(2)
(2) (1)，得 f ( xi ) f ( xi1) hf (i ) O(h2 )，i 1，2，，n
即
hf (i ) [ f ( xi ) f ( xi1)] O(h2 )，i 1，2，，n
T2n
ba 2n
1
2
f
(a)
1 2
f
(b)
2n1
f
i 1
(a
i
ba 2n
)
1 2
ba n
[ Fra Baidu bibliotek
1 2
f (a)
1 2
f
(b)
n1 i 1
f
(a
i
b a )] n
n i 1
f [a
(i
1)ba] 2n
1( 2
Tn
Hn
)，
b
f ( x)dx
a
h 12
f
(a)
n1 i 1
f
( xi )
1 2
f
(b)
记
Tn
即 2T2n Tn H n , H n 2T2n Tn。
3.3 复化Simpson公式 （推导类似前面公式）
在每个小区间 [ xi1, xi ] 上采用Simpson公式，则
xi xi 1
f
( x)dx
h[ 6
f ( xi1 )
f
(xi ) 4
f ( xi
xi1 2
b
a
f
( x)dx
Sn
(b a) 2880
h4
f
(4) (
),a
b，
及渐近估计式
b
a f ( x)dx Sn 1 ( f (3) (a) f (3) (b)), h 0。
h4
2880
证明类似于定理7.
优点：复化Simpson公式精确度较好。
3.4 复化求积公式的收敛阶 (刻划求积公式收敛性)
12
12
下证式
b
a f ( x)dx Tn 1 ( f (a) f (b)), h 0。
h2
12
由
b a
f ( x)dx Tn
h3 12
n i 1
f (i )
要证该式，只要证
h
12
n i 1
f
(i )
1 (f 12
(a)
f
(b)), h 0，
n
即证 h f (i ) f (a) f (b)， i 1