变分法第八章

现在来推导此解y（x）满足的常微分方程
设y=y（x）有变分 y t ( x) ， 则
J [ y( x) t ( x)]
可视为t 的函数
表示为 当t=0 时
(t ) J [ y( x) t ( x)]
y( x) t ( x) y( x)
即
J [ y( x) t ( x)] 取极值
[ F ( x, y t , y't ' ) F ( x, y, y' )]dx

a
b a
b
F F [ t t 't的高阶项 ]dx y y '
F ( x, y t , y't ' )
相对于y、y’作Tayler展开 抵消t的0次项，保留t的1次项，略去t的高阶项
可得
J
b
a
F F ( y y ' )dx y y '
上式称泛函 J [y（x）]第一次变分，简称变分，记为
J
b a
F F ( y y ' )dx y y '
3 泛函极值的必要条件——欧拉方程 设泛函 J [y（x）]的极值问题有解，记为y = y(x)
a
b
其中
F ( x, y, y ' )
称为泛函的核
2 泛函的极值与变分 在泛函的概念下，最速落径问题归结为泛函 T [ y( x)] 的极值问题，所谓变分法,就是求泛函的极值问题。 研究泛函极值问题的方法归为两类：直接法与间接法 要讨论间接法，先讨论泛函的变分问题。
设有连续函数
记为
y
y ( x) 将其微小变形为 y ( x) t ( x) x) 称为 y ( 的变分，
ds 2 gh dt
dt
B A B ds A 2 gy
2 gy
1 y '2 dx 2 gy
即 T T [ y ( x)] A
B
1 y '2 dx T称为y(x)的泛函 2 gy
y(x)可取的函数种类，称泛函的定义域,泛函是函数 的涵数（不指复合函数） 一般地， C是函数的集合， B是实数（或复数）的集 合，若对于C中的任一称元素y(x) ，在B中均有一元 素J与之对应，则称J为y(x) 的泛函是函数。 记为
a b
可得
F d F ( ) 0 i=1,2, … …n yi dx yi '
ⅱ）高阶导数的泛函 相应的欧拉方程为
n
取 J [ y( x)] F ( x, y, y' y' ' y ( n ) )dx 0
a
b
F d F d 2 F d 3 F ( ) 2 ( ) 3 ( ) 0 y dx yi ' dx yi ' ' dx yi ' ' '
b
b F y （分步积分） y ' a
在简单变分问题中， 端点是固定的

a
d F ( )ydx 0 dx y '
y xa 0,y xb 0
所以，得

b
a
F d F [ ( )](y )dx 0 y dx y '
F d F ( )0 y dx y '
§8.1泛函与泛函的极值
1 泛函的概念
A
(x,y,)
x
最速落径问题,如图所示
A、B两点不在同一铅 垂线，也不在同一高度
B
一质点在重力作用下无磨擦沿某曲线从A滑到B，求 下滑的最短时间。或沿哪条曲线用时最短。 我们知道，质点下落速率与下落高度间的关系为

所以
T
t2 ( B ) t1 ( A )
其中t是一个小参数， t ( x) 此时，函数
y ' ( x ) 相应变形为
( y t ) y lim t lim y ' (y )' lim x0 x x0 x x 0 x y ' ( x) t ' ( x) d (y ) 即 y ' t ' ( x ) dx
欧拉(Euler)方程，泛函有极值的必要条件。 以上为单变量单函数泛函极值问题的欧拉方程，较复 杂的泛函欧拉方程可仿照上述方法导出。 ⅰ）单变量多函数的泛函 与求多元函数的偏导数相似，分别对多函数泛函之 某一函数取变分，其余函数保持不变。 如 J [ y1 ( x) y2 ( x) yn ( x)] F ( x, y1 y2 yn , y1 ' y2 ' yn ' )dx
亦即, (t)函数取极值。 这样，就把原来的泛函的极值问题转变成(t)这种 普通函数的极值问题。 J [ y ( x) பைடு நூலகம் ( x)] d 0 令 t 0 0 即 t t 0 dt 将
J [ y( x)] F ( x, y, y' )dx 代入上式，得 a
b
b J [ y ( x) t ( x)] F ( x, y t , y 't ' ) t 0 dx 0 a t t t 0 b F F 即 a ( y y' ' )dx 0
F F 同乘t 得 ( y y ' )dx 0 a y y ' 即 J 0 泛函取极值的必要条件是其变分为0，或者说，泛函J 的极值函数y(x)必须是满足泛函的变分J=0的函数类 所以泛函的极值问题称为变分问题 b b F F d y ' dx (y )dx 又因为 a a y ' y ' dx b
J J [ y( x)]
与通常函数的定义不同，泛函的值决定于函数的取形。
) 如上例中，T的变化决定于 y ( x 的变化，而非某一个 自变量x的值进而某一个函数y的值。 而是决定于函数集合C中的函数关系，即决定于函数的 取形。
通常，泛函多以积分形式出现，如
J [ y( x)] F ( x, y, y' )dx
导数的变分等于变分的导数,变分微分运算可交换次序。
设 中
J [ y( x)] F ( x, y, y' )dx
a
b
F ( x, y, y ' ) 对x, y, y’二阶可导，y’’连续
y 有变分y 时，泛函J的变化为
则函数
J J [ y( x) t ( x)] J [ y( x)]