三角函数有界性在求最值中应用

浅谈三角函数有界性在求最值中的应用
在中学数学中，求某些函数的最值或值域是经常遇到的问题，在这一问题上是大有技巧的，应用三角函数的有界性求某些函数的值域或最值是求最值问题中常用的方法，而且这种方法简便，易被学生们掌握，对提高学生的解题能力大为有益，下面略谈一下它在函数求值域或最值中的几点应用。

一、在三角函数求最值中的应用
这种类型是较为常见的，它往往涉及的知识面较广，要利用的公式较多，有时还要结合图象，这就要求学生有较强的逻辑思维能力。

求三角函数最大值、最小值的题目十分繁多，但最终都可化为两种类型的求最值问题:
y=asinx+b或者y=acosx+b
y=asinx+bcosx
第一种类型的求值域或最值问题是一目了然的，可直接用三角函数的有界性sinx≤1，cosx≤1求得。

第二种类型的题目应先把它化成一个三角函数，即化为
y=asinx+bcosx=sin（x+?渍），然后再利用三角函数的有界性求其值域或最值，下面我们通过几个例子来看这一类问题的解法。

例1.求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值。

分析:题中含有sin2x，3cos2x，使我们联想到把它化成统一的同名三角函数，使之成为二次函数型，然后求最小值，但本题还出现了2sinxcosx=sin2x，当我们变为同名函数后，自变量一个是x，
另一个是2x，这样又行不通了，须再使用公式cos2x=进行降幂，使之成为asinx+bcosx型，而y=asinx+bcosx=sin（x+?渍），这样，通过三角恒等变形，就可利用三角函数有界性来求最值了。

解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin（2x+）由此，当sin（2x+）=-1时，即2x+=2kπ-，x=kπ-π（k∈z），亦即x∈x｜x=kπ-π，k∈z时，函数有最小值2-。

上面的题目既要考虑到倍角公式，又要考虑到三角函数的有界性，否则就很难说了。

例2.求函数y=的值域。

分析：求函数的值域无非就是求出它的最大值及最小值，借以确定其值域。

解：由y=，可得：2y-ycosx=2+cosx，即cosx=
∵cosx≤1，∴≤1，∴2y-2≤y+1
∴（2y-2）2≤（y+1）2，即3y2-10y+3≤0
解得≤y≤3，∴函数的值域是，3。

以上两例都是直接利用三角函数的有界性，通过三角函数的公式推导，转化得出结论，不用我们去设法创造三角函数，也就是不用三角代换法，这类问题具有直观性，不会给我们带来很大的麻烦，下面我们来看另一类型。

二、在无理函数中的应用
这类问题一般不会出现sinx和cosx之类的三角函数，但是我们可以人为地创造出sinx，cosx，从而整理变形得到三角函数的单角
表达式，巧妙的运用三角函数的有界性，导出结论，这种三角代换的关键是按照题设变数的允许值的范围，选取相应的三角函数代换，使问题简化。

例3.求函数y=x+的最大值与最小值。

解:因为函数y=x+的定义域是［－1，1］，故可设x=sin?兹，?兹∈-，则=cos?兹，所以y=sin?兹+cos?兹=2sin?兹+
∵-≤?兹≤
∴-≤?兹+≤?仔
在-，?仔上，正弦函数的最大值是1，最小值是-。

所以-≤y≤2 即:ymax=2，ymin=-。

上述题目中的定义域是［－1，1］，故可设x=sin?兹，易得=cos?兹用sin?兹，cos?兹代换后得：y=sin?兹+cos?兹，到此我们自然会联想到y=2sin?兹+
进而利用三角函数的有界性求解，此题的巧妙之处就在于三角代换。

三、在圆锥曲线求最值问题中的应用
我们知道，几何中的圆锥曲线可用其参数方程来表示，那么，我们可以利用它的参数方程来解决一些题目，这里，有的题目会用到三角函数是有界性来达到求最值的目的。

例4.如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，求的最大值。

解：等式（x-2）2+y2=3，其实是以（2，0）为圆心，为半径的圆的标准方程，可以把它化为参数方程x=2+cos?兹y=sin?兹（?兹
为参数，?兹∈［0，2π］）
设=k，则有k=，则有
∵sin?兹-kcos?兹=2k，即sin?兹-kcos?兹
=
∴sin（?兹-?渍）=，其中?渍=arctgk.
∴sin（?兹-?渍）≤1
∴≤1
∴k2≤3，于是k∈-，
所以的最大值为。

解这道题首先运用以?兹为参数的参数方程整理化简，进而运用三角函数的有界性顺利地求出的最大值。

以上从三角函数、无理函数、圆锥曲线等几方面谈了一下三角函数有界性在求最值中的应用，而它的应用不仅限于此，希望同学们在学习过程中注意它在这方面的应用。

作者单位：吉林省松原市第二高级中学。